Elliptik silindrning elektr maydoni
Cheksiz uzun silindr sirti boʻylab zaryadlar bir jinsli taqsimlangan boʻlsin. Zaryadlarning sirt zichligi
. Shu bir jinsli cheksiz uzun silindr sirtidagi elektr maydonini hisoblaymiz.
Ellipsning x va z oʻqlari boʻyicha yarim oʻqlari a va b ga teng deylik. U holda, zaryadlar hosil qiladigan potensial quyidagi koʻrinishda boʻladi:
Endi esa, zaryadlar silindrdan tashqarida hosil qilgan maydonning z oʻqi boʻyicha tashkil etuvchisini koʻrib chiqamiz:
Uni quyidagicha ifodalashimiz mumkin:
Bu integralni hisoblash uchun yangi oʻzgaruvchilar kiritamiz:
U holda
boʻladi hamda
boʻlganda,
. Bu oʻtishning uzluksizligidan foydalanib integral ostidagi ifodani quyidagicha yozib olishimiz mumkin:
Birinchi integralda integrallash oʻzgaruvchisini almashtiramiz:
.
Natijada
bu yerda
Yuqoridagi integralni boʻlaklab integrallash mumkin:
Koʻrinib turibdiki, yuqorida berilgan integraldagi birinchi had nolga teng. Ikkinchi hadda integral ostidagi funksiyaning
va
intervallardagi qiymati bir-biriga mos keladi. Natijada,
ni quyidagi koʻrinishda yozishimiz mumkin:
hol uchun integral oson hisoblanadi va
ga teng.
uchun esa
yoki
Shundan soʻng, (12) tenglamani (7)ifodagaa qoʻyamiz va (4)formulani hisobga olgan holda, elliptik silindr maydoni uchun quyidagi ifodani yozamiz:
- M.Reiser, IEEE Trans. Nucl. Sci., 13, 171 (1966)