Feynman–Kac formulasi

Feynman-Kac formulasi — Richard Feynman va Mark Kac nomi bilan ataladigan formula boʻlib, xususiy hosilali parabolik differensial tenglamalar hamda tasodifiy jarayonlarni oʻzaro bogʻlashga xizmat qiladi.

Xususan, ushbu formula xususiy hosilali differensial tenglamalarni tasodifiy hodisalar trayektoriyasi (Monte-Karlo metodi deb ham ataladi) yordamida yechish imkonini beradi. Shuningdek, tasodifiy jarayonning matematik kutilmasi, xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi sifatida hisoblanishi mumkin.

Bir oʻlchamli holat

Quyidagi differensial tenglamani koʻrib chiqamiz:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-V(x,t)u+f(x,t)=0\qquad (*)$

bu yerda $u=u(x,t)$ nomaʼlum funksiya, $x\in \mathbb {R}$ va $t\in [0,T]$ esa — mustaqil oʻzgaruvchilar, $\mu ,\sigma ,V,f$ — maʼlum funksiyalar. Feynman-Kac formulasiga binoan, (*) tenglamaning boshlangʻich shartlarga nisbatan yechimi

$u(x,T)=\psi (x),$

shartli matematik kutilma koʻrinishida ifodalanishi mumkin:

$u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }f(X_{s},s)ds+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau })\,d\tau }\psi (X_{T})\ {\bigg |}\ X_{t}=x\right],$

bu yerda $Q$ — tasodifiy oʻlcham, $X_{t}$ esa Ito protsessi deb ataladi. Ushbu protsess quyidagi tasodifiy tenglama bilan ifodalanadi:

$dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q},\qquad (**)$

bu yerda $W_{t}^{Q}$ jarayon uchun boshlangʻich shart quyidagi koʻrinishda boʻladi:

$X_{0}=x$.

Koʻp oʻlchamli holat

Feynman-Kac formulasining koʻp oʻlchamli analogi ham mavjud boʻlib, oʻzgaruvchi quyidagi shartga boʻysunsagina uni qoʻllash mumkin: $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$.

Bu holda (*) differensial tenglama quyidagi koʻrinishga keladi:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-V(x,t)u+f(x,t)=0$

va n-oʻchamli $X_{t}$ tasodifiy jarayon quyidagi tenglama orqali ifodalanadi:

$dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\Sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q},$

bu yerda $\mu$ — $(\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})$ elementlardan tuzilgan vektor-ustun, $W_{t}^{Q}$ — n-oʻlchamli tasodifiy protsess, $\Sigma =(\sigma _{ij})$ — n-tartibli kvadat matritsa boʻlib, $\Gamma =(\gamma _{ij})$ matritsa bilan quyidagi formula orqali bogʻlangan:

$\Gamma =\Sigma \cdot \Sigma ^{*},$

yulduzcha (*) belgisi transponirlashni bildiradi.