Foydalanuvchi:SamanwikiTJK/qumloq

MATLABda eng kichik kvadratlar usulining umumiy qoʻyilishi

Kirish

Eng kichik kvadratlar usuli (EKU) statistika va ma'lumotlarni tahlil qilishda keng qo'llaniladi. Bu usul berilgan kuzatishlarga mos keladigan eng yaxshi yechimni topish uchun mos keladigan parametrlarni hisoblaydi. MATLAB dasturlash muhiti ushbu usulning turli variantlarini amalga oshirishda keng imkoniyatlar yaratadi.

Oddiy eng kichik kvadratlar (Oddiy chiziqli model)

Oddiy chiziqli modelni yechish uchun quyidagi matematik ifoda ishlatiladi:

$y=X\beta +\epsilon$

Bu yerda, $X$ — kuzatuvchilar matritsasi, $y$ — natijalar vektori, va $\beta$ — model parametrlari. MATLAB dasturida bunday modelni yechish oddiy bo'lib, kod quyidagicha yoziladi:

 % Misol ma'lumotlari X = [1, 2; 3, 4; 5, 6]; y = [7; 8; 9];
% Yechim beta = (X' * X) \ (X' * y);

Cheklangan eng kichik kvadratlar

Agar parametrlar cheklovlar bilan chegaralangan bo'lsa, MATLAB lsqlin funksiyasidan foydalanishga imkon beradi. Masalan, agar $A\beta \leq b$ sharti bajarilishi kerak bo'lsa:

 % Misol ma'lumotlari X = [1, 2; 3, 4; 5, 6]; y = [7; 8; 9]; A = [1, 1]; b = 5;
% Cheklangan eng kichik kvadratlar yechimi beta = lsqlin(X, y, A, b);

Noan’anaviy eng kichik kvadratlar (chiziqsiz model)

Agar model noan’anaviy bo'lsa, masalan, kvadratli yoki boshqa murakkab funksiyalardan iborat bo'lsa, MATLAB lsqnonlin funksiyasini qo'llash mumkin. Bu usul funktsiyaning kvadratini minimallashtirishga qaratilgan.

 % Noan’anaviy funksiya fun = @(beta) [beta(1) + beta(2)^2 - 3; beta(1)^2 + beta(2) - 1]; initialGuess = [0; 0];
% Noan’anaviy eng kichik kvadratlar yordamida yechim beta = lsqnonlin(fun, initialGuess);

Og'irlikli eng kichik kvadratlar

Kuzatuvlarning og'irligi har xil bo'lganda, og'irlikli eng kichik kvadratlar usulidan foydalaniladi. Bu usulda har bir kuzatuv og'irligi bilan tortilgan bo'ladi, va MATLABda bu quyidagi tarzda amalga oshiriladi:

 % Misol ma'lumotlari X = [1, 2; 3, 4; 5, 6]; y = [7; 8; 9]; W = diag([1, 2, 3]);
% Og'irlikli eng kichik kvadratlar yechimi beta = (X' * W * X) \ (X' * W * y);

Xulosa

MATLABda eng kichik kvadratlar usulining umumlashtirilgan ko'rinishlarini yechish usullari mavjud bo'lib, bu murakkab masalalarni yechishda yuqori darajada moslashuvchanlik va qulaylik yaratadi. MATLABning lsqlin, lsqnonlin kabi funksiyalari oddiy va murakkab EKU masalalarini turli cheklov va og'irliklar bilan yechishga yordam beradi.

Tavsiya etilgan kitoblar

Eng kichik kvadratlar usulini umumlashtirish va MATLABda dasturlash uchun quyidagi kitoblar tavsiya etiladi. Har bir kitob uchun mos bo'limlar ko'rsatilgan.

"Numerical Linear Algebra" - Lloyd N. Trefethen va David Bau

• Mos bo'limlar: 4-5-bo'limlar — bu bo'limlar eng kichik kvadratlar va ortogonalizatsiya usullari haqida :

Bizga foydali tarafi: Ushbu kitob chiziqli algebra va sonli usullar bo'yicha mustahkam asos yaratib beradi, eng kichik kvadratlar usuli va uning umumlashgan shakllarini tushunishga yordam beradi.

"Applied Numerical Methods Using MATLAB" - Won Young Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, John Morris

• Mos bo'limlar: 5-6-bo'limlar — bu bo'limlar eng kichik kvadratlar va MATLAB dasturlash bo‘yicha misollarni o‘z ichiga oladi. :*

Bizga foydali tarafi: Kitob MATLAB bilan sonli usullarni integratsiyalashni o‘rgatadi va eng kichik kvadratlar hamda cheklovli optimallashtirish muammolari uchun bosqichma-bosqich misollar beradi.

"Matrix Computations" - Gene H. Golub va Charles F. Van Loan

• Mos bo'limlar: 5-6-bo'limlar, ayniqsa, og'irlikli va cheklovli eng kichik kvadratlar masalalariga bag'ishlangan. :*

Bizga foydali tarafi: Ushbu kitob sonli chiziqli algebra sohasida klassik asar bo‘lib, og'irlikli va nolinear eng kichik kvadratlar kabi ilg‘or masalalarni qamrab oladi.

"MATLAB for Engineers" - Holly Moore

• Mos bo'limlar: 11-bo'lim, unda egri chizish va optimallashtirish bo‘yicha asosiy eng kichik kvadratlar qo‘llanmalari berilgan. :*

Bizga foydali tarafi: Ushbu kitob MATLABda amaliy dasturlash ko‘nikmalariga e'tibor qaratib, eng kichik kvadratlar usulini MATLABda to‘g‘ridan-to‘g‘ri amalga oshirishni o‘rgatadi.

"Numerical Methods for Engineers" - Steven C. Chapra va Raymond P. Canale

• Mos bo'limlar: 18-bo'lim, unda egri chizish, eng kichik kvadratlar va og'irlikli eng kichik kvadratlar MATLAB misollari bilan qamrab olingan :

Bizga foydali tarafi: Muhandislar uchun mo'ljallangan ushbu kitob eng kichik kvadratlar usulini MATLABda oddiy tushuntirishlar va misollar bilan bajarishni osonlashtiradi.