Galileyning toq sonlar qonuni

Klassik mexanika va kinematikada Galileyning toq sonlar qonuni ketma-ket teng vaqt oraligʻida tushayotgan jismning bosib oʻtgan masofasi toq sonlarga chiziqli proportsional ekanligini taʼkidlaydi. Yaʼni, agar tinch holatdan erkin tushgan jism ixtiyoriy vaqt oraligʻida maʼlum masofani bosib oʻtsa, u bir xil uzunlikdagi keyingi vaqt oraliqlarida bu masofaning 3, 5, 7 va boshqa qismlarini bosib oʻtadi. Agar jismga bir xil tortishish kuchidan tashqari hech qanday kuchlar taʼsir qilmasa, yaʼni, tezlanishi oʻzgarmasa bu matematik model aniq boʻladi (masalan, u bir xil tortishish maydonida vakuumda tushsa). Ushbu qonunni birinchi boʻlib erkin tushishni miqdoriy tadqiq qilgan Galileo Galiley aniqlagan.

Tushuntirish

Tezlik-vaqt grafigidan foydalanish

Rasmdagi grafik vaqtga nisbatan tezlikning syujetidir. Qoplangan masofa — chiziq ostidagi maydon. Har bir vaqt oraligʻi har xil rangda. Ikkinchi va keyingi oraliqlarda bosib oʻtilgan masofa uning trapetsiyasining maydoni boʻlib, u koʻrsatilgandek uchburchaklarga boʻlinishi mumkin. Har bir uchburchakning asosi va balandligi bir xil boʻlgani uchun ular birinchi oraliqdagi uchburchak bilan bir xil maydonga ega. Koʻrinib turibdiki, har bir intervalda oldingisiga qaraganda ikkita koʻproq uchburchak mavjud. Birinchi intervalda bitta uchburchak boʻlgani sababli, bu toq raqamlarga olib keladi^[1].

Birinchi n ta toq sonlar yigʻindisidan foydalanish

Bir tekis chiziqli tezlanish uchun tenglamadan bosib oʻtgan masofa

$s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$

boshlangʻich tezligi uchun $u=0,$ doimiy tezlashuv $a$ (havo qarshiligisiz tortishish tufayli tezlashuv) va vaqt oʻtdi $t,$ masofadan kelib chiqadi $s$ ga proportsionaldir $t^{2}$ (ramzlarda, $s\propto t^{2}$ ), shuning uchun boshlangʻich nuqtadan masofa oʻtgan vaqtning butun qiymatlari uchun ketma-ket kvadratlardir. Diagrammadagi oʻrta raqam birinchisining yigʻindisi ekanligining vizual dalilidir $n$ toq raqamlar $n^{2}.$ Tenglamalarda^[2]:

1	= 1	= 1²
1 + 3	= 4	= 2²
1 + 3 + 5	= 9	= 3²
1 + 3 + 5 + 7	= 16	= 4²
1 + 3 + 5 + 7 + 9	= 25	= 5²

Qonun abadiy davom etishini algebraik jihatdan ham isbotlash mumkin: ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)&={\frac {1}{2}}\,\left(\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)+\sum _{k=1}^{n}(2\,(n-k+1)-1)\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{n}(2\,(n+1)-1-1)\\&=n^{2}\end{aligned}}$ Ushbu dalilni aniqlashtirish uchun, chunki musbat butun son $m\,\colon =\,2n-1,$ agar $S\,\colon =\,\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)\,=\,1+3+\cdots +(m-2)+m$ birinchisining yigʻindisini bildiradi $n$ u holda toq sonlar

${\begin{alignedat}{4}S+S&=\;\;1&&+\;\;3&&\;+\cdots +(m-2)&&+\;\;m\\&+\;\;m&&+(m-2)&&\;+\cdots +\;\;3&&+\;\;1\\&=\;(m+1)&&+(m+1)&&\;+\cdots +(m+1)&&+(m+1)\quad {\text{ (}}n{\text{ terms)}}\\&=\;n\,(m+1)&&&&&&&&\\\end{alignedat}}$

Shuning uchun; … uchun; … natijasida $S={\tfrac {1}{2}}\,n\,(m+1).$ Oʻrnini bosish $n={\tfrac {1}{2}}(m+1)$ va $m+1=2\,n$ mos ravishda formulalarni beradi

$1+3+\cdots +m\;=\;{\tfrac {1}{4}}(m+1)^{2}\quad {\text{ and }}\quad 1+3+\cdots +(2\,n-1)\;=\;n^{2}$

bu yerda birinchi formula yigʻindini toʻliq butun sonda ifodalaydi $m$ ikkinchisi esa uni butunlay ifodalaydi $n,$ qaysi $m$ ning toq butun sonlar roʻyxatidagi tartib oʻrni $1,3,5,\ldots .$