Gamov nazariyasi

Gamov nazariyasi - radioaktiv yadrolarning $\alpha$-parchalanishini kvant tasavvurlar asosida tushuntirib beruvchi nazariya.

$\alpha$-parchalanish deganda, ogʻir yadrolarning oʻzidan geliy atomining yadrosini chiqarib, boshqa yadroga aylanishi tushuniladi. $\alpha$-parchalanish uchun energetik shart quyidagi koʻrinishga ega:

$M(A,\ Z)>M(A-4,\ Z-2)+M_{\alpha }$

Parchalanishda hosil boʻlgan energiya quyidagi ifoda orqali topiladi:

$Q_{\alpha }=(M(A,\ Z)-M(A-4,\ Z-2)-M_{\alpha })c^{2},$

Energiya va impulsning saqlanish qonunlaridan foydalanib, $\alpha$-zarra yadroni tark etayotganida ega boʻladigan kinetik energiyasini aniqlash mumkin:

$T_{\alpha }={\dfrac {M(A-4,\ Z-2)}{m_{\alpha }+M(A-4,\ Z-2)}}Q_{\alpha }$

$\alpha$-parchalanishda hosil boʻlgan $\alpha$-zarra kinetik energiyasi 2-8 MeV atrofida boʻladi, $\alpha$-zarraning yadroga bogʻlanish energiyasi esa 28.3 MeV ga teng. U holda $\alpha$-zarra yadroni qanday tark etadi, degan tabiiy savol tugʻiladi. Bunga G. A. Gamov kvant tasavvurlar asosida ishlab chiqqan nazariyasi orqali javob topish mumkin.

Gamov nazariyasi quyidagi prinsiplarga asoslanadi:

• $\alpha$-zarra yadro ichida tayyor holda mavjud boʻladi.
• $\alpha$-zarra tinimsiz harakatda boʻladi va potensial toʻsiq orqali yadro ichida tutib turiladi.
• $\alpha$-zarra ushbu potensial toʻsiq orqali oʻtishi mumkin.

Vaqt birligidagi parchalanish ehtimolligi $\lambda$ ni quyidagi ifoda orqali aniqlash mumkin:

$\lambda =nT$

$n$ — $\alpha$-zarraning yadro ichida potensial toʻsiq bilan toʻqnashishlari soni, $T$ — $\alpha$-zarraning toʻsiq orqali oʻtish ehtimolligi.

Aytaylik, ixtiyoriy vaqt momentida yadro ichida faqat bitta $\alpha$-zarra mavjud boʻlsin va u yadro diametri boʻylab oldinga va orqaga harakatlanayotgan boʻlsin.

$\nu ={\dfrac {v}{2R_{0}}}$

$v$ — $\alpha$-zarraning yadroni tark etayotgandagi tezligi.

Kengligi $L$ boʻlgan toʻsiqdan zarraning oʻtish ehtimolligi:

$T=e^{-2k_{2}L},\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

$k_{2}={\dfrac {\sqrt {2m(U-E)}}{\hbar }}$

(1) tenglama toʻgʻri burchakli potensial toʻsiqni ifodalaydi, $\alpha$-zarra yadro ichida toʻsiq bilan koʻp marta toʻqnashadi.

$\ln T=-2k_{2}L,\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

$\ln T=-2\int \limits _{0}^{L}k_{2}(r)\,dr=-2\int \limits _{R_{0}}^{R}k_{2}(r)\,dr,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

$R_{0}$ — yadro radiusi, $R$ — $U=E$ boʻlganda, yadrogacha masofa

$\alpha$-zarraning $r$ masofadagi elektr potensial energiyasi:

$U(r)={\dfrac {2Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}$

U holda,

$k_{2}={\dfrac {\sqrt {2m(U-E)}}{\hbar }}=\left({\dfrac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{1/2}\cdot \left({\dfrac {2Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}-E\right)^{1/2}$

$r=R$ boʻlganda $U=E$ boʻlgani uchun,

$E={\dfrac {2Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}R}}$

$k_{2}$ ni quyidagicha yozish mumkin:

$k_{2}=\left({\dfrac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{1/2}\cdot \left({\dfrac {R}{r}}-1\right)^{1/2}$

$\ln T=-2\int \limits _{R_{0}}^{R}k_{2}(r)\,dr=-2\left({\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\right)^{1/2}\cdot \left({\dfrac {R}{r}}-1\right)^{1/2}\,dr\ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

$\left[r=R\cos ^{2}\theta ,\ \ \ dr=-2R\sin \theta \cos \theta d\theta \right]$

$\left[\int \left({\dfrac {R}{r}}-1\right)^{1/2}\,dr=-2R\int \sin ^{2}\theta \,d\theta \right]$

$\ln T=-2\left({\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\right)^{1/2}R\left[\cos ^{-1}\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}-\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\left(1-{\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\right]$

Potensial toʻsiq yetarlicha keng boʻlgani uchun, $R\gg R_{0}$ hamda

$\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$

$\sin \left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\approx \left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}$

$\cos ^{-1}\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\approx {\dfrac {\pi }{2}}-\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}$

$1-\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\approx 1$

$\ln T=-2\left({\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\right)^{1/2}r\left[{\dfrac {\pi }{2}}-2\left({\dfrac {R_{0}}{R}}\right)^{1/2}\right]$

$\left[R={\dfrac {2Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}E}}\right]$

Bundan kelib chiqadiki,

$\ln T={\dfrac {4e}{\hbar }}\left({\dfrac {m}{\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{1/2}Z^{1/2}R_{0}^{1/2}-{\dfrac {e^{2}}{\hbar \varepsilon _{0}}}\left({\dfrac {m}{2}}\right)^{1/2}ZE^{-1/2}$

Tenglamadagi doimiylarning qiymatlarini oʻrniga qoʻyib hisoblasak:

$\ln T=2,97Z^{1/2}R_{0}^{1/2}-3,95ZE^{-1/2}$

$E$ — energiya, $R_{0}$ — yadro radiusi, $Z$ — hosilaviy yadroning tartib raqami.

$\log _{10}A=\left(\log _{10}e\right)(\ln A)=0,4343\ln A$

$\log _{10}T=1,29Z^{1/2}R_{0}^{1/2}-1,72ZE^{-1/2}$

Taʼrifga binoan, parchalanish doimiysi

$\lambda =\nu T={\dfrac {v}{2R_{0}}}T$

Tenglamaning ikkala tomonidan $\log _{10}$ olamiz va $T$ bilan almashtiramiz:

$\log _{10}\lambda =\log _{10}\left({\dfrac {v}{2R_{0}}}\right)+1,92Z^{1/2}R_{0}^{1/2}-1,72ZE^{-1/2}$

Hosil boʻlgan bu formulaga Geyger-Nettol qonuni deyiladi. Ushbu qonun $\alpha$-parchalanish energiyasi va radioaktiv yadrolarning yarim yemirilish davrlari orasidagi bogʻliqlikni ifodalaydi va katta amaliy ahamiyatga ega.

Shuningdek qarang

Beta-yemirilish

Gamma nurlanish

Radioaktivlik qonuni

Manbalar

1. Yoon, Jin-Hee; Wong, Cheuk-Yin (February 9, 2008). „Relativistic Modification of the Gamow Factor“. Physical Review C. 61. arXiv:nucl-th/9908079. Bibcode:2000PhRvC..61d4905Y. doi:10.1103/PhysRevC.61.044905
2. Quantum Theory of the Atomic Nucleus, G. Gamow. Translated to English from: G. Gamow, ZP, 51, 204