Garmonik funksiyalar

Garmonik funksiyalar - Laplas tenglamasini kanoatlantiradigan biror sohada birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz boʻlgan haqiqiy funksiyalar.

Tarif n o'lchamli fazodagi D sohada aniqlangan ikki marta differensiallanuvchi u funksiya Δu=0 tenglamani qanoatlantirsa u holda u funksiya D sohada garmonik funksiya deyiladi. D sohada garmonik funksiyalar sinfi h(D) bilan belgilanadi.

Xossalari

1. D sohada garmonik funksiya har qanday tartibli xususiy hosilalarga ega, ya'ni cheksiz marta differensiallanuchi bo'ladi.

2. Garmonik funksiyani D sohadagi S⊂D sfera bo'yicha o'rta qiymati S sfera markazidagi qiymatiga teng.

3. Garmonik funksiyani D sohadagi B⊂D shar bo'yicha o'rta qiymati B shar markazidagi qiymatiga teng.

4. Agar D⊂C kompleks tekislikdagi bir bog'lamli sohada u - garmonik bo'lsa u holda shunday f - D sohada analitik funksiya mavjudki u = Re f tenglik o'rinli.

Muhim vektor maydonlarning potensiallari (mas, siqilmaydigan bir jinsli suyuqlik harakatida tezlik potensiali, jism ichida temperaturaning tarqalishi va b.) G.f. hisoblanadi. Ikki x, u oʻzgaruvchining G. f. i kompleks z = x + iy oʻzgaruvchining analitik funksiyasi / (x) bilan uzviy bogʻlangan. Har bir i (x, u) G.f. biror analitik / (x) funksiyaning haqiqiy yoki mavhum qismi va, aksincha, ixtiyoriy analitik funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari G. f. boʻladi. G. f. nazariyasining eng muhim masalalari chegaraviy masalalardan ibo-rat. Bulardan biri Dirixle masalasi boʻlib, bunda biror soha ichidagi G. f. soha chegarasida berilgan qiymatlariga asosan izlanadi. G. f. nazariyasining bu va b. chegaraviy masalalarini yechish uchun nazariy va amaliy jihatdan ahamiyati katta boʻlgan turli usullar ishlab chiqilgan. G.f. nazariyasini fizika va texnika masalalariga tatbiq qilishda chegaraviy masalalarni sopli yechish usullarini ishlab chiqish juda muhim (qarang Matematik fizika tenglamalari).

Adabiyotlar

• OʻzME. Birinchi jild. Toshkent, 2000-yil