Hosilaviy funksiyalar (fizika)

Fizikada, aniqrogʻi, Gamilton mexanikasida generatsiya qiluvchi funksiya erkin maʼnoda qisman hosilalari tizim dinamikasini aniqlaydigan differensial tenglamalarni hosil qiluvchi funksiyadir. Umumiy misollar — statistik mexanikaning boʻlinish funksiyasi, Gamiltonian va kanonik oʻzgarishlarni amalga oshirishda kanonik oʻzgaruvchilarning ikkita toʻplami oʻrtasida koʻprik vazifasini bajaradi.

Kanonik transformatsiyalarda

Quyidagi jadvalda umumlashtirilgan toʻrtta asosiy ishlab chiqaruvchi funksiya mavjud:

Natijaviy funksiya	Uning hosilalari
$F=F_{1}(q,Q,t)\,\!$	$p=~~{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}}\,\!$ va $P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}}\,\!$
$F=F_{2}(q,P,t)=F_{1}+QP\,\!$	$p=~~{\frac {\partial F_{2}}{\partial q}}\,\!$ va $Q=~~{\frac {\partial F_{2}}{\partial P}}\,\!$
$F=F_{3}(p,Q,t)=F_{1}-qp\,\!$	$q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}\,\!$ va $P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}\,\!$
$F=F_{4}(p,P,t)=F_{1}-qp+QP\,\!$	$q=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial p}}\,\!$ va $Q=~~{\frac {\partial F_{4}}{\partial P}}\,\!$

Misollar

Baʼzan berilgan Gamiltonian garmonik osilatorga oʻxshab ketadigan Gamiltonianga aylantirilishi mumkin:

$H=aP^{2}+bQ^{2}.$

Masalan, Gamiltonian bilan

$H={\frac {1}{2q^{2}}}+{\frac {p^{2}q^{4}}{2}},$

Bu yerda p — umumlashtirilgan impuls va q — umumlashtirilgan koordinata, tanlash uchun yaxshi kanonik transformatsiya boʻladi.

$P=pq^{2}{\text{ and }}Q={\frac {-1}{q}}.\,(1)$

Bu Gamiltonianni quyidagiga aylantiradi:

$H={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}},$

Bu garmonik osilator Gamiltonian shaklida boʻladi.

Ushbu transformatsiya uchun F hosil qiluvchi funksiya uchinchi turdagi,

$F=F_{3}(p,Q).$

F ni aniq topish uchun yuqoridagi jadvaldagi hosila uchun tenglamadan foydalaning,

$P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},$

va (1) tenglamadagi P ifodasini p va Q bilan ifodalangan holda almashtiring:

${\frac {p}{Q^{2}}}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}$

Buni Q ga nisbatan integrallash natijasida (1) tenglama bilan berilgan transformatsiyaning hosil qiluvchi funksiyasi tenglamasi olinadi:

$F_{3}(p,Q)={\frac {p}{Q}}$

Bu toʻgʻri ishlab chiqarish funksiyasi ekanligini tasdiqlash uchun uning (1) mos kelishini tekshiring:

$q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}={\frac {-1}{Q}}$

Manbalar

• Goldstein, Herbert; Poole, C. P.; Safko, J. L. (2001). Classical Mechanics (3rd ed.)