Impuls markazi ramkasi

Fizikada impuls markazining ramkasi (COM — „center of momentium“ ramkasi), shuningdek, nol momentli ramka sifatida ham tanilgan, tizimning umumiy impulsi yoʻqolib ketadigan inertial ramkadir . Bu tezlik boʻyicha yagona, lekin kelib chiqishi emas.

Tizimning impuls markazi joylashuv emas, balki nisbiy impuls / tezliklar toʻplamidir: mos yozuvlar tizimi. Shunday qilib, „momentum markazi“ „momentum markazi“ ning frame.

Impuls markazi ramkasining alohida holati — massa markazi ramkasi: massa markazi (yagona nuqta) boshida qoladigan inertial ramka. Impuls markazining barcha ramkalarida massa markazi tinch holatda boʻladi, lekin u koordinata tizimining boshida boʻlishi shart emas.

Maxsus nisbiylik nuqtai nazaridan, impuls saqlanish ramkasi faqat tizim izolyatsiya qilingan taqdirdagina noyob boʻlishi shart.

Xususiyatlari

Asosiysi

Impuls doirasining markazi barcha zarralarning chiziqli momentlarining yigʻindisi 0 ga teng boʻlgan inertial tizim sifatida aniqlanadi. S laboratoriya mos yozuvlar tizimini, S ′ esa impuls markazining sanoq sistemasini bildirsin. Galiley transformatsiyasidan foydalanib, zarracha tezligi S ′ ga teng

$v'=v-V_{c},$

bu yerda

$V_{c}={\frac {\sum _{i}m_{i}v_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}$

massa markazining tezligi. Impuls markazi tizimidagi jami impuls keyin yoʻqoladi:

$\sum _{i}p'_{i}=\sum _{i}m_{i}v'_{i}=\sum _{i}m_{i}(v_{i}-V_{c})=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{i}m_{i}{\frac {\sum _{j}m_{j}v_{j}}{\sum _{j}m_{j}}}=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{j}m_{j}v_{j}=0.$

Shuningdek, tizimning umumiy energiyasi barcha inertial mos yozuvlar tizimlaridan koʻrinib turganidek minimal energiyadir .

Maxsus nisbiylik

Nisbiylik nuqtai nazaridan, impuls saqlanish ramkasi izolyatsiya qilingan massiv tizim uchun mavjud. Bu Noeter teoremasining natijasidir. impuls saqlanish ramkasida tizimning umumiy energiyasi dam olish energiyasidir va bu miqdor (c² omiliga boʻlinganda, bu yerda c — yorugʻlik tezligi) tizimning dam olish massasini (oʻzgarmas massasini) beradi:

$m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}.$

Tizimning oʻzgarmas massasi har qanday inertial tizimda relativistik invariant munosabat bilan berilgan.

$m_{0}{}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2},$

lekin nol impuls uchun impuls muddati (p/c)² yoʻqoladi va shuning uchun umumiy energiya qolgan energiya bilan mos keladi.

Energiya nolga teng boʻlmagan, ammo tinch massasi nolga teng boʻlgan tizimlarda (masalan, bitta yoʻnalishda harakatlanadigan fotonlar yoki ekvivalenti tekis elektromagnit toʻlqinlar) impuls saqlanish ramkalari yoʻq, chunki ularda aniq momentum nolga teng boʻlgan ramka yoʻq. Yorugʻlik tezligining oʻzgarmasligi sababli, massasiz tizim har qanday ramkada yorugʻlik tezligida harakatlanishi va har doim aniq impulsga ega boʻlishi kerak. Uning energiyasi har bir mos yozuvlar tizimi uchun yorugʻlik tezligiga koʻpaytirilgan impuls kattaligiga teng:

$E=pc.$

Ikki jism muammosi

Ushbu ramkadan foydalanishga misol quyida keltirilgan — ikki jismli toʻqnashuvda, elastik boʻlishi shart emas (kinetik energiya saqlanadi). Impuls saqlanish ramkasidan zarrachalarning momentumini laboratoriya ramkasiga qaraganda osonroq topish uchun foydalanish mumkin: oʻlchash yoki hisoblash amalga oshiriladigan ramka. Vaziyat Galiley oʻzgarishlari va impulsning saqlanishi (faqat kinetik energiya uchun emas, balki umumiylik uchun), m ₁ va m ₂ boshlangʻich tezliklarda (toʻqnashuvdan oldin) mos ravishda u ₁ va u ₂ boʻlgan ikkita zarrachalar uchun tahlil qilinadi. Transformatsiyalar ramka tezligini har bir zarrachaning tezligidan laboratoriya ramkasidan (astarlanmagan miqdorlar) impuls saqlanishi ramkasiga (astarlangan miqdorlar) olish uchun qoʻllanadi:

$\mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V}$

bu yerda V - impuls saqlanish ramkasining tezligi. Chunki V impuls saqlanish tezligi, yaʼni uning joylashuvi R ning vaqt hosilasi (tizimning massa markazining pozitsiyasi):

${\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}$

shuning uchun impuls saqlanish ramkasining kelib chiqishida R' = 0 ni bildiradi

$m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}$

Xuddi shu natijalarni laboratoriya ramkasida impulsning saqlanishini qoʻllash orqali olish mumkin, bu yerda momentlar p ₁ va p ₂:

$\mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

va impuls saqlanish ramkasida, zarrachalarning umumiy momentlari, p₁' va p₂' yoʻqolishi qatʼiy tasdiqlanadi:

$\mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}$

V uchun echish uchun impuls saqlanishi ramka tenglamasidan foydalanish yuqoridagi laboratoriya ramkasi tenglamasini qaytaradi, zarrachalar momentini hisoblash uchun har qanday ramka (jumladan, impuls saqlanishi ramkasi) koʻrsatilishi mumkin. Aniqlanishicha, impuls saqlanishi kadrining tezligini yuqoridagi kadr yordamida hisoblashdan olib tashlash mumkin, shuning uchun impuls saqlanishi ramkasidagi zarrachalarning momentini laboratoriya ramkasidagi miqdorlar (yaʼni berilgan boshlangʻich qiymatlar) bilan ifodalash mumkin:

${\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{aligned}}$

1 dan 2 gacha boʻlgan zarrachaning laboratoriya doirasidagi nisbiy tezligiga eʼtibor beramiz:

$\Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}$

va 2-jismning kamaytirilgan massasi

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

shuning uchun zarrachalarning momentlari ixcham ravishda kamayadi

$\mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u}$

Bu ikkala zarracha momentini sezilarli darajada soddaroq hisoblash; kamaytirilgan massa va nisbiy tezlikni laboratoriya ramkasidagi boshlangʻich tezliklardan va massalardan hisoblash mumkin va bir zarraning impulsi boshqasining manfiyligidir. Hisoblashni yakuniy v ₁ va v ₂ tezliklar uchun u ₁ va u ₂ boshlangʻich tezliklar oʻrniga takrorlash mumkin, chunki toʻqnashuvdan keyin ham tezliklar yuqoridagi tenglamalarni qanoatlantiradi:

${\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}$

shuning uchun impuls saqlanish ramkasining kelib chiqishida, R = 0, bu toʻqnashuvdan keyin nazarda tutadi

$m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}$

Laboratoriya ramkasida impulsning saqlanishi toʻliq oʻqiydi:

$m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V}$

Bu tenglama quyidagini anglatmaydi

$m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V}$

Buning oʻrniga u oddiygina M umumiy massani massa markazining tezligiga koʻpaytiruvchi V tizimning umumiy impuls P ni koʻrsatadi:

${\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}$

Yuqoridagi kabi tahlillar olinadi

$\mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u}$

1 dan 2 gacha boʻlgan zarrachaning laboratoriya doirasidagi oxirgi nisbiy tezligi bu yerda:

$\Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .$

Manbalar

• Dynamics and Relativity, J. R. Forshaw, A. G. Smith, Wiley, 2009