Italiya algebraik geometriya maktabi

Matematika tarixi bilan bogʻliq holda, Italiya algebraik geometriya maktabi matematiklar va ularning biratsion geometriyadagi ishlariga, xususan, taxminan 1885-yildan 1935-yilgacha Rim atrofida joylashgan algebraik yuzalarga ishora qiladi. Katta hissa qoʻshgan 30 dan 40 gacha etakchi matematiklar bor edi, ularning yarmi italiyaliklar edi. Yetakchilik Gvido Kastelnuovo, Federigo Enrikes va Franchesko Severi Rimdagi guruhga tushadi, ular eng chuqur kashfiyotlarda ishtirok etgan, shuningdek, yangi uslubni oʻrnatgan.

Algebraik yuzalar

Algebraik sirtlarga urgʻu — ikkinchi oʻlchovning algebraik navlari — algebraik egri chiziqlarning toʻliq geometrik nazariyasidan kelib chiqqan (1-oʻlchov). Taxminan 1870-yildagi pozitsiya shundan iboratki, egri chiziq nazariyasi Brill-Noeter nazariyasi bilan Riemann-Roch teoremasini oʻzining barcha takomillashtirishlarida (teta-boʻlinuvchining batafsil geometriyasi orqali) birlashtirgan edi.

Algebraik sirtlarning tasnifi algebraik egri chiziqlarning g jinsiga boʻlinishini takrorlash uchun kuchli va muvaffaqiyatli urinish edi. Egri chiziqlarning boʻlinishi uch turga boʻlgan qoʻpol tasnifga mos keladi: g = 0 (proektiv chiziq); g = 1 (elliptik egri); va g > 1 (mustaqil golomorf differentsiallarga ega Riman sirtlari). Sirtlarga kelsak, Enrikes tasnifi oʻxshash beshta katta sinfga boʻlingan, ulardan uchtasi egri chiziqlarning oʻxshashlari va yana ikkitasi (elliptik fibratsiyalar va K3 sirtlari, ular hozir deyiladi) „oʻrta“ hududda ikki oʻlchovli abelian navlari hisoblanadi. Bu 1950-yillarda Kunixiko Kodaira tomonidan zamonaviy murakkab koʻp tilda tiklangan va taxminan 1960-yillarda Zariski, Shafarevich maktabi va boshqalar tomonidan mod p fenomenlarini oʻz ichiga olgan holda aniqlangan, mohiyatan asosli, yutuqli tushunchalar toʻplami boʻlgan edi. Riemann-Roch teoremasining sirtdagi shakli ham ishlab chiqilgan.

Asosiy masalalar

Maktab tomonidan ishlab chiqarilgan baʼzi dalillar asosli qiyinchiliklar tufayli qoniqarli deb hisoblanmaydi. Bular sirtlarning uchinchi oʻlchamida biratsion modellardan tez-tez foydalanishni oʻz ichiga oladi, ular faqat yuqori oʻlchamli proyektiv fazoga kiritilganda yagona boʻlmagan modellarga ega boʻlishi mumkin. Ushbu muammolarni oldini olish uchun chiziqli boʻlinuvchilar tizimini boshqarishning murakkab nazariyasi ishlab chiqildi (aslida proektiv fazoda taxminiy oʻrnatishlarning giperplan boʻlimlari uchun chiziqli toʻplam nazariyasi). Koʻpgina zamonaviy texnikalar embrion shaklda topildi va baʼzi hollarda bu gʻoyalarning ifodasi mavjud texnik tildan oshib ketdi edi.

Geometrlar

Guerraggio & Nastasi (2005-yil 9-bet) maʼlumotlariga koʻra, Luidji Cremona „italyan algebraik geometriya maktabining asoschisi hisoblanadi“. Keyinchalik ular Turinda Enriko D’Ovidio va Korrado Segrening hamkorligi „oʻz saʼy-harakatlari yoki talabalarining saʼy-harakatlari bilan italyan algebraik geometriyasini toʻliq yetuklikka olib kelishini“ tushuntirishdi. Segrening bir martalik talabasi HF Beyker yozgan, Korrado Segre „ehtimol, algebraik lokuslarning biratsion nazariyasida juda koʻp yutuqlarga erishgan ajoyib italyan maktabining otasi deb aytish mumkin“. Ushbu mavzu boʻyicha Brigaglia & Ciliberto (2004) „Segre 1860-yilda Luidji Cremona tashkil etgan geometriya maktabiga rahbarlik qilgan va uni qoʻllab-quvvatlagan“ deydi. Matematika nasabnomasi loyihasiga havola shuni koʻrsatadiki, italiyalik doktorlik darajasida maktabning haqiqiy mahsuldorligi Guido Castelnuovo va Federigo Enrikes bilan boshlangan. AQShda Oskar Zariski koʻplab fan nomzodlarini ilhomlantirgan edi.

Maktabning faxriy yorligʻiga boshqa italiyaliklar ham kiradi: Giakomo Albanese, Eugenio Bertini, Luidji Kampedelli, Oskar Kishisini, Mishel De Franchis, Pasquale del Pezzo, Beniamino Segre, Franchesko Severi, Gvido Zappa (shuningdek, Gino Fano hissalari bilan) Rosati, Juzeppe Torelli, Juzeppe Veroneze).

Boshqa joylardan HF Beyker va Patrik du Val (Buyuk Britaniya), Artur Bayron Kobl (AQSh), Jorj Xumbert va Charlz Emil Pikar (Fransiya), Lyusen Godo (Belgiya), Hermann Shubert va Maks Noeter, keyinchalik Erich Kehler (Germaniya) ishtirok etdi. HG Zeuthen (Daniya) ham kiradi.

Bu raqamlarning barchasi proyektiv geometriyani sintetik geometriya sifatida qoʻllashdan koʻra algebraik geometriya bilan bogʻliq edi, bu muhokama qilinayotgan davrda juda katta (hajm jihatidan), lekin ikkinchi darajali mavzu boʻlgan edi (tadqiqot sifatidagi ahamiyatiga koʻra).

Topologiyaning paydo boʻlishi

1950-yilda Genri Forder algebraik egri chiziqlar bilan bogʻliq holda italyan maktabini eslatib oʻtdi.

Tekis egri chiziqlar nazariyasining keyingi rivojlanishi Rieman sirtlari nazariyasi va Abel funktsiyalari bilan bogʻlangandagina samarali boʻladi. Bu soʻnggi ellik yil davomida italyan geometriyalarining sevimli tadqiqoti boʻldi va ular xuddi shunday sirt nazariyasiga va yuqori oʻlchamdagi " turlar " ga ajoyib nazaryalari bilan hissa qoʻshdilar. Bu yerda navlar boʻyicha integrallar nazariyasi va ularning topologiyasining kombinatsiyasi hal qiluvchi natijalarni beradi. Shunday qilib, egri chiziqlar va sirtlar nazariyasi zamonaviy algebra va topologiya bilan bogʻliq boʻlgan. . .

Italiya maktabining oʻrnini bosadigan yangi algebraik geometriya algebraik topologiyadan intensiv foydalanish bilan ajralib turardi. Bu tendentsiyaning asoschisi Anri Puankare edi; 1930-yillarda Lefschetz, Xodj va Todd tomonidan ishlab chiqilgan. Zamonaviy sintez ularning Kartan maktabi va WL Chow va Kunixiko Kodaira asarlarini anʼanaviy material bilan birga birlashtirdi.

Maktabning qulashi

Kastelnuovo qoshidagi italyan maktabining dastlabki yillarida qatʼiylik meʼyorlari matematikaning aksariyat sohalari kabi yuqori edi. Enrikes davrida toʻliq qatʼiy dalillar oʻrniga biroz norasmiy dalillarni qoʻllash asta-sekin maʼqul boʻldi, masalan, „davomiylik printsipi“ chegaragacha toʻgʻri boʻlgan narsa chegarada toʻgʻri boʻladi, degan daʼvo na qatʼiy isbotga ega edi. Hatto aniq bayonotham yoʻq edi. Avvaliga bu unchalik muhim emas edi, chunki Enrikesning intuitsiyasi shunchalik yaxshi ediki, u daʼvo qilgan barcha natijalar aslida toʻgʻri edi va bu norasmiy argument uslubidan foydalanish unga algebraik yuzalar boʻyicha ajoyib natijalarga erishish imkonini bergan. Afsuski, taxminan 1930-yildan boshlab Severi rahbarligida aniqlik meʼyorlari yanada pasayib ketdi, natijada daʼvo qilingan natijalarning baʼzilari etarli darajada isbotlay olmagan, koʻpincha notoʻgʻri boʻlgan. Misol uchun, 1934-yilda Severi algebraik sirtdagi tsikllarning ratsional ekvivalentlik sinflari fazosi chekli oʻlchovli ekanligini daʼvo qildi, ammo Mumford (1968) bu ijobiy geometrik jinsli sirtlar uchun notoʻgʻri ekanligini koʻrsatdi va 1946-yilda Severi daʼvo qilgan qogʻozni nashr etdi. 3 oʻlchovli proyektiv fazoda 6-darajali sirt koʻpi bilan 52 tugunga ega ekanligini isbotlash uchun, lekin Barth sextic 65 tugunga ega. Severi oʻzining dalillari etarli emasligini qabul qilmadi, bu esa baʼzi natijalarning holati boʻyicha baʼzi keskin tortishuvlarga olib keldi.

Taxminan 1950-yildan 1980-yilgacha iloji boricha qutqarish va uni qatʼiy algebraik uslubga aylantirish uchun katta harakatlar boʻlgan algebraik geometriya Vayl va Zariski tomonidan oʻrnatilgan. Xususan, 1960-yillarda Kodaira va Shafarevich va uning shogirdlari algebraik sirtlarning Enrikes tasnifini yanada qatʼiy uslubda qayta yozdilar va uni barcha ixcham murakkab sirtlarga kengaytirdilar, 1970-yillarda Fulton va Makferson kesishish nazariyasining klassik hisob-kitoblarini qatʼiy asoslarga qoʻyishdi.

Manbalar

• Babbitt, Donald; Goodstein, Judith (August 2009), „Guido Castelnuovo and Francesco Severi: Two Personalities, Two Letters“ (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 56 (7): 800–808, MR 2546822, Zbl 1221.01101.
• Aldo Brigaglia (2001) „The creation and the persistence of national schools: The case of Italian algebraic geometry“, Chapter 9 (pages 187–206) of Changing Images in Mathematics, Umberto Bottazzini and Amy Delmedico editors, Routledge .
• Brigaglia, Aldo; Ciliberto, Ciro (2004). "Remarks on the relations between the Italian and American schools of algebraic geometry in the first decades of the 20th century". Historia Mathematica 31 (3): 310–319. doi:10.1016/j.hm.2003.09.003. 
• Brigaglia, Aldo; Ciliberto, Ciro; Pedrini, Claudio (2004), „The Italian school of algebraic geometry and Abel's legacy“, The legacy of Niels Henrik Abel, Berlin: Springer, 295–347-bet, ISBN 3-540-43826-2, MR 2077577
• Coolidge, J. L. (May–June 1927), „Corrado Segre“, Bulletin of the American Mathematical Society, 33 (3): 352–357, doi:10.1090/S0002-9904-1927-04373-7, JFM 53.0034.09, MR 1561376.
• Guerraggio, Angelo; Nastasi, Pietro (2005), Italian mathematics between the two World Wars, Science Networks. Historical Studies, 29-jild, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-6555-4, MR 2188015
• Mumford, David (1968), „Rational equivalence of 0-cycles on surfaces“, Journal of Mathematics of Kyoto University, 9 (2): 195–204, doi:10.1215/kjm/1250523940, ISSN 0023-608X, MR 0249428
• Vesentini, Edoardo (2005), „Beniamino Segre and Italian geometry“ (PDF), Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni, 25 (2): 185–193, MR 2197882, Zbl 1093.01009.

Havolalar

• Devid Mumford , Severi ostidagi italyan algebraik geometriya maktabining xatolari haqida elektron pochta orqali
• Kevin Bazzard italyan algebraik geometriyalari aslida qanday xatolarga yoʻl qoʻygan?
• Palermo universitetida A. Brigaglia, C. Ciliberto va E. Sernesi Geometria algebraica italiana (Wayback Machine saytida 2005-05-16 sanasida arxivlangan) .