Klassik markaziy kuch masalalarining aniq yechimlari

Klassik mexanikaning klassik markaziy kuch muammosida baʼzi potentsial energiya funktsiyalari $V(r)$ trigonometrik funktsiyalar va elliptik funktsiyalar kabi taniqli funktsiyalar bilan ifodalanishi mumkin boʻlgan harakatlar yoki orbitalarni hosil qiladi. Ushbu maqolada ushbu funktsiyalar va orbitalar uchun tegishli yechimlar tasvirlangan.

Umumiy muammo

Mayli $r=1/u$ boʻlsin. Keyin $u(\varphi )$ uchun Binet tenglamasi deyarli har qanday $F(1/u)$ markaziy kuch uchun raqamli hal qilish mumkin. Biroq, $u$ maʼlum funksiyalar nuqtai nazaridan faqat bir nechta kuchlar uchun formulalar paydo boʻladi. $\varphi$ uchun yechim integral ustida ifodalanishi mumkin:

$\varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-V(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}$

Agar ushbu integratsiyani maʼlum funksiyalar nuqtai nazaridan hal qilish mumkin boʻlsa, markaziy kuch muammosi „integral“ deb ataladi.

Agar kuch kuch qonuni boʻlsa, yaʼni agar $F(r)=ar^{n}$, keyin $u$ aylana funktsiyalari va/yoki elliptik funksiyalar bilan ifodalanishi mumkin, agar $n$ 1, −2, −3 (aylana funksiyalari) va −7, −5, −4, 0, 3, 5, −3/2, −5/2, −1/3, −5/3 va −7/3 ga teng (elliptik funktsiyalar).

Agar kuch teskari kvadratik qonun va chiziqli hadning yigʻindisi boʻlsa, yaʼni agar $F(r)={\frac {a}{r^{2}}}+cr$, muammo Weierstrass elliptik funktsiyalari nuqtai nazaridan ham aniq hal qilinadi.

Adabiyotlar

• Whittaker ET. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies, 4th, New York: Dover Publications, 1937. ISBN 978-0-521-35883-5. 
• Izzo,D. and Biscani, F.. Exact Solution to the constant radial acceleration problem. Journal of Guidance Control and Dynamic, 2014.