Konfiguratsiya maydoni (fizika)

Klassik mexanikada tizim konfiguratsiyasini belgilaydigan parametrlar umumlashtirilgan koordinatalar deb ataladi va bu koordinatalar bilan belgilangan boʻshliq jismoniy tizimning konfiguratsiya maydoni deb ataladi. Koʻpincha bu parametrlar matematik cheklovlarni qondiradi, shuning uchun tizimning haqiqiy konfiguratsiyasi toʻplami umumlashtirilgan koordinatalar fazosida koʻp qirrali hisoblanadi. Bu kollektor tizimning konfiguratsiya manifolti deb ataladi. Eʼtibor bering, bu „cheklanmagan“ konfiguratsiya maydoni tushunchasi, yaʼni turli nuqta zarralari bir xil pozitsiyani egallashi mumkin. Matematikada, xususan, topologiyada asosan „cheklangan“ konfiguratsiya maydoni tushunchasi qoʻllanadi, bunda „toʻqnashuvchi“ zarralarni ifodalovchi diagonallar olib tashlanadi.

Misol: 3D fazodagi zarracha

Oddiy Evklid 3-fazoda harakatlanuvchi bitta zarrachaning holati vektor bilan aniqlanadi. $q=(x,y,z)$ , va shuning uchun uning konfiguratsiya maydoni $Q=\mathbb {R} ^{3}$ . Belgidan foydalanish odatiy holdir $q$ konfiguratsiya maydonidagi nuqta uchun; Bu klassik mexanikaning Gamilton formülasyonunda ham, Lagranj mexanikasida ham konventsiyadir. Belgisi $p$ momentni bildirish uchun ishlatiladi; ramzi ${\dot {q}}=dq/dt$ tezliklarga ishora qiladi.

Zarracha maʼlum bir manifoldda harakat qilish uchun cheklangan boʻlishi mumkin. Misol uchun, agar zarracha qattiq bogʻlanishga bogʻlangan boʻlsa, kelib chiqishi boʻyicha erkin aylansa, u sferada yotishi samarali tarzda cheklanadi. Uning konfiguratsiya maydoni koordinatalarning kichik toʻplamidir $\mathbb {R} ^{3}$ shardagi nuqtalarni belgilaydi $S^{2}$ . Bunday holda, biri manifold deb aytadi $Q$ shar, yaʼni $Q=S^{2}$ .

n ta uzilgan, oʻzaro taʼsir qilmaydigan nuqta zarralari uchun konfiguratsiya maydoni $\mathbb {R} ^{3n}$ . Umuman olganda, zarrachalar oʻzaro taʼsir qiladigan holat qiziqtiradi: masalan, ular koʻpincha sirpanishsiz harakatlanish uchun cheklangan tishli gʻildiraklar, gʻaltaklar, aylanma sharlar va boshqalarning baʼzi yigʻilishlarida aniq joylardir. Bunday holda, konfiguratsiya maydoni hammasi emas $\mathbb {R} ^{3n}$ , lekin nuqtalar olishi mumkin boʻlgan ruxsat etilgan pozitsiyalarning pastki boʻshligʻi (submanifold).

Misol: 3D fazoda qattiq jism

Uch oʻlchovli makonda qattiq jismga biriktirilgan mos yozuvlar nuqtasining oʻrnini va koordinata ramkasining yoʻnalishini aniqlaydigan koordinatalar toʻplami uning konfiguratsiya maydonini tashkil qiladi, koʻpincha belgilanadi. $\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ qayerda $\mathbb {R} ^{3}$ tanaga biriktirilgan ramkaning kelib chiqishi koordinatalarini ifodalaydi va $\mathrm {SO} (3)$ zamin ramkasiga nisbatan ushbu ramkaning yoʻnalishini belgilaydigan aylanish matritsalarini ifodalaydi. Qattiq jismning konfiguratsiyasi oltita parametr bilan belgilanadi, uchtasi $\mathbb {R} ^{3}$ va uchtasi $\mathrm {SO} (3)$ , va olti erkinlik darajasiga ega deyiladi.

Bunday holda, konfiguratsiya maydoni $Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ olti oʻlchovli va nuqtadir $q\in Q$ bu makonda faqat bir nuqta. ning „joylashuvi“ $q$ bu konfiguratsiya maydonida umumlashtirilgan koordinatalar yordamida tasvirlangan; Shunday qilib, koordinatalarning uchtasi qattiq jismning massa markazining joylashishini tasvirlashi mumkin, yana uchtasi esa uning yoʻnalishini tavsiflovchi Eyler burchagi boʻlishi mumkin. Koordinatalarning kanonik tanlovi yoʻq; qattiq jismning massa markazi oʻrniga uning uchini yoki oxirgi nuqtasini ham tanlash mumkin; Eyler burchaklari oʻrniga kvaternionlardan foydalanishni tanlash mumkin va hokazo. Biroq, parametrizatsiya tizimning mexanik xususiyatlarini oʻzgartirmaydi; har xil parametrlashlarning barchasi oxir-oqibat bir xil (olti oʻlchovli) manifoldni, bir xil mumkin boʻlgan pozitsiyalar va yoʻnalishlarni tavsiflaydi.

Baʼzi parametrlar bilan ishlash boshqalarga qaraganda osonroq va koʻplab muhim bayonotlar koordinatalarsiz ishlash orqali amalga oshirilishi mumkin. Koordinatalarsiz ifodalarga misol qilib tangens fazoni keltirish mumkin $TQ$ nuqtalarning tezliklariga mos keladi $q\in Q$ , kotangent fazoda esa $T^{*}Q$ momentiga mos keladi. (Tezlik va momentni bogʻlash mumkin; eng umumiy, mavhum holatda, bu tavtologik bir shaklning juda mavhum tushunchasi bilan amalga oshiriladi)

Misol: robot qoʻl

Koʻp sonli qattiq bogʻlanishlardan iborat boʻlgan robot qoʻl uchun konfiguratsiya maydoni har bir bogʻlanishning joylashuvidan (yuqoridagi boʻlimda boʻlgani kabi qattiq jism sifatida qabul qilingan) iborat boʻlib, u bogʻlanishlarning bir-biriga qanday bogʻlanishiga bogʻliq cheklovlarni hisobga olgan holda va ularning ruxsat etilgan harakat doirasi. Shunday qilib, uchun $n$ ulanishlar, umumiy boʻshliqni hisobga olish mumkin

\left[\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)\right]^{n}

bundan mustasno, barcha turli qoʻshimchalar va cheklovlar bu boʻshliqning har bir nuqtasiga etib boʻlmaydi. Shunday qilib, konfiguratsiya maydoni $Q$ ning pastki fazosi boʻlishi shart $n$ -qattiq jismli konfiguratsiya maydoni.

Shuni yodda tutingki, robototexnikada konfiguratsiya maydoni atamasi yana qisqartirilgan kichik toʻplamga ham tegishli boʻlishi mumkin: robotning yakuniy effekti bilan erishish mumkin boʻlgan pozitsiyalar toʻplami^[1]. Biroq, bu taʼrif golonomiya bilan tavsiflangan murakkabliklarga olib keladi: yaʼni maʼlum bir yakuniy effektni olish uchun robot qoʻlini joylashtirishning bir necha xil usullari boʻlishi mumkin va hatto robot qoʻlini ushlab turganda harakatlanishi mumkin. oxirgi effektor statsionar. Shunday qilib, kinematikada foydalanish uchun mos boʻlgan qoʻlning toʻliq tavsifi ularning baʼzilarini emas, balki barcha boʻgʻinlar pozitsiyalarini va burchaklarini tavsiflashni talab qiladi.

Robotning qoʻshma parametrlari konfiguratsiyalarni aniqlash uchun umumlashtirilgan koordinatalar sifatida ishlatiladi. Qoʻshma parametr qiymatlari toʻplami deyiladi qoʻshma boʻshliq . Robotning toʻgʻridan-toʻgʻri va teskari kinematik tenglamalari konfiguratsiyalar va oxirgi effektor pozitsiyalari yoki qoʻshma boʻshliq va konfiguratsiya maydoni oʻrtasidagi xaritalarni aniqlaydi. Robot harakatini rejalashtirish ushbu xaritalashdan soʻnggi effektorning konfiguratsiya maydonida erishish mumkin boʻlgan marshrutni taʼminlovchi qoʻshma makonda yoʻlni topish uchun foydalanadi.

Rasmiy taʼrif

Klassik mexanikada tizimning konfiguratsiyasi tizimning barcha tashkil etuvchi nuqta zarralarining holatini bildiradi^[2].

Faza maydoni

Konfiguratsiya maydoni mexanik tizimni toʻliq tavsiflash uchun etarli emas: u tezliklarni hisobga olmaydi. Tizim uchun mavjud boʻlgan tezliklar toʻplami tizimning konfiguratsiya manifoltiga tekis tangensni belgilaydi. Bir nuqtada $q\in Q$ , bu tangens tekislik bilan belgilanadi $T_{q}Q$ . Impuls vektorlari kotangens vektorlari deb nomlanuvchi tangens tekislikning chiziqli funksiyalari; bir nuqta uchun $q\in Q$ , bu kotangens tekislik bilan belgilanadi $T_{q}^{*}Q$ . Mexanik tizimning pozitsiyalari va momentlari toʻplami kotangens toʻplamini tashkil qiladi $T^{*}Q$ konfiguratsiya manifoldidan $Q$ . Bu kattaroq manifold tizimning faza fazosi deb ataladi.

Moddiy maydoni

Kvant mexanikasida oʻxshash tushuncha holat fazosi deb ataladi. Bu holatda juda boshqacha rasmiyatchilik va belgilar toʻplami qoʻllanadi. „Nuqta zarrasi“ ning analogi bitta nuqtaga aylanadi $\mathbb {CP} ^{1}$ , Bloch sferasi deb ham ataladigan murakkab proyektiv chiziq . U murakkab, chunki kvant-mexanik toʻlqin funksiyasi murakkab fazaga ega; u proyektivdir, chunki toʻlqin funksiyasi birlik ehtimollik darajasiga normallashtirilgan. Yaʼni toʻlqin funksiyasi berilgan $\psi$ biri uni umumiy ehtimollik bilan normallashtirish uchun ${\textstyle \int \psi ^{*}\psi }$ , shuning uchun uni proyektiv qiladi.

Manbalar

↑ John J. Craig, Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 3rd Ed. Prentice-Hall, 2004
↑ Sussman, Gerald Jay. Structure and interpretation of classical mechanics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 2001 — 9-bet. ISBN 0262194554.

Havolalar

[1] John J. Craig, Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 3rd Ed. Prentice-Hall, 2004

[2] Sussman, Gerald Jay. Structure and interpretation of classical mechanics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 2001 — 9-bet. ISBN 0262194554.

[1]

[2]