Kvadrat tenglama

Real qiymatga ega ax² + bx + c funksiyasining har bir koeffitsiyentini alohida oʻzgartirib chizilgan grafiklar

Kvadrat tenglama — matematikada koʻp hadli, bir oʻzgaruvchili va ikkinchi darajali tenglama. Umumiy koʻrinishi odatda quyidagicha ifodalanadi:

$ax^{2}+bx+c=0.\,$

Bu yerda $a,b,c$ — haqiqiy sonlar va $a\neq 0$. Agar $a=1$ boʻlsa, kvadrat tenglama keltirilgan tenglama, agar $a\neq 1$ boʻlsa, keltirilmagan tenglama deyiladi. $a$, $b$, $c$ sonlari quyidagicha ataladi:

• $a$ — birinchi (bosh) koeffitsiyent;
• $b$ — ikkinchi koeffitsiyent;
• $c$ — ozod had.

Kvadrat tenglamalarni yechish

I. $ax^{2}+bx+c=0$ kvadrat tenglama ildizlari

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

formula boʻyicha topiladi.

II. $ax^{2}+bx+c=0$ kvadrat tenglamani to'la kvadratga keltirish usuli bilan ham yechish mumkin.

1. Tenglamaning ikkala tarafini $a$ ga bo'lib yuborib, $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ ga erishish mumkin.
2. Tenglamaning ikkala tarafidan ${\frac {c}{a}}$ ayirib yuboriladi: $x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$
3. Tenglamaning ikkala tarafiga ${\frac {b}{2a}}$ ning kvadrati qo'shib yuboriladi: $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$
4. Natijada: $(x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$ ga erishiladi.
5. Tenglamaning ikkala tarafidan ildiz olgan holda, $x$ topiladi.

Misol:

$2x^{2}+7x+3=0$

$x^{2}+{\frac {7}{2}}x+{\frac {3}{2}}=0$

$x^{2}+{\frac {7}{2}}x=-{\frac {3}{2}}$

$x^{2}+{\frac {7}{2}}x+{\frac {49}{16}}=-{\frac {3}{2}}+{\frac {49}{16}}$

$(x+{\frac {7}{4}})^{2}={\frac {25}{16}}$

I. $x+{\frac {7}{4}}={\frac {5}{4}}\Rightarrow x=-{\frac {1}{2}}$

II. $x+{\frac {7}{4}}=-{\frac {5}{4}}\Rightarrow x=-3$

Kvadrat funksiyani ko'paytuvchilarga ajratish

$ax^{2}+bx+c=0$ tenglama ildizlari $m$ va $n$ bo'lsa, kvadrat tenglamani $a(x-m)(x-n)=0$ ko'rinishida yozish mumkin. Bu usul kvadrat funksiyani ko'paytuvchilarga ajratishda keng qo'llanilinadi

Diskriminant

$D=b^{2}-4ac$

kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi.

Agar $D<0$ boʻlsa, kvadrat tenglama ildizlarga ega boʻlmaydi.

Agar $D=0$ boʻlsa, tenglama bitta ildizga ega boʻladi. $D=0$ boʻlgan holda baʼzan kvadrat tenglama ikkita bir xil ildizga ega ham deyiladi.

Agar $D>0$ boʻlsa, tenglama ikkita ildizga ega boʻladi.

$D=b^{2}-4ac$

belgilashdan foydalanib,

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

formulani

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$

koʻrinishda qayta yozish mumkin.

Chala kvadrat tenglamalar

Agar

$ax^{2}+bx+c=0\,$

kvadrat tenglamada ikkinchi koeffitsiyent $b$ yoki ozod had $c$ nolga teng boʻlsa, tenglama chala kvadrat tenglama deyiladi. Chala kvadrat tenglamani ajratib koʻrsatishdan maqsad uning ildizini topishda kvadrat tenglama ildizlari formulasidan foydalanish shart emasligida — chala kvadrat tenglamani uning chap tomonini koʻpaytuvchilarga ajratib yechish qulaydir.

Yana qarang

• Bikvadrat tenglama

Havolalar

• Kvadrat tenglama MathWorld saytida ^(ingl.)
• Kvadrat tenglamaning 101 foydasi ^(ingl.)