Lorenz tizimi

Bu maqola Lorenz curve haqidadir. Lorentz distribution —  bilan adashtirmang.

ρ = 28, σ = 10 va β = 8/3 boʻlganda Lorenz attraktoridagi namunali yechim.

Lorenz tizimi oddiy differensial tenglamalar tizimi boʻlib, birinchi marta matematik va meteorolog Edvard Lorenz tomonidan oʻrganilgan. Muayyan parametr qiymatlari va boshlangʻich shartlar uchun xaotik echimlarga ega boʻlishi bilan ajralib turadi. Xususan, Lorenz attraktori Lorenz tizimining xaotik yechimlari toʻplamidir. Ommabop ommaviy axborot vositalarida „kapalak effekti“ Lorenz attraktorining real dunyo taʼsiridan kelib chiqadi, yaʼni bir nechta turli xil boshlangʻich xaotik sharoitlar faza fazosida hech qachon takrorlanmaydigan tarzda rivojlanadi, shuning uchun barcha tartibsizliklarni oldindan aytib boʻlmaydi. Bu xaotik tizimlar butunlay deterministik boʻlishi mumkinligini va shunga qaramay, uzoq vaqt davomida oldindan aytib boʻlmaydigan boʻlishi mumkinligini taʼkidlaydi. Tizimlarda tartibsizlik doimiy ravishda kuchayib borayotganligi sababli, biz tizimlarning kelajagini yaxshi bashorat qila olmaymiz. EG, hatto kapalak qanotlarining kichik qopqogʻi ham dunyoni butunlay boshqacha traektoriyaga, masalan, dovul keltirib chiqarishi mumkin. Lorenz attraktorining oʻzi fazali fazoda chizilganida, kapalakka oʻxshashligini ham koʻrish mumkin.

Lorens kuchi deyiladi. Lorens kuchi: (19.1) ifoda bilan aniqlanadi. Bu formulada v- zaryadning magnit maydonidagi chiziqli tezligi, – zaryad tezligi va magnit induksiya vektorlari orasidagi burchak. Harakatlanuvchi zaryad bilan magnit maydon orrasidagi oʻzaro taʼsir G.Lorens formulasi deyiladi. Bu formulani vektor koʻrinishda quyidagicha yozishimiz mumkin:

Umumiy koʻrinish

1963 yilda Edvard Lorenz raqamli simulyatsiyalar va raqamlar uchun mas’ul boʻlgan Ellen Fetter va Lorenz modelining topilmalariga olib keladigan dastlabki, raqamli hisob-kitoblarda yordam bergan Margaret Hamilton yordamida ishlab chiqdi. atmosfera konveksiyasining soddalashtirilgan matematik modeli. Model uchta oddiy differentsial tenglamalar tizimi boʻlib, hozirda Lorenz tenglamalari deb nomlanadi:Zaryadga taʼsir etuvchi magnit maydonning taʼsir kuchini oʻng parma qoidasiga asosan aniqlanadi. Agar parmaning dastasini dan ga qarab burasak, parmaning ilgarilanma harakat yoʻnalishi, zaryadga taʼsir etuvchi kuchni aniqlaydi.

Lorens kuchi tezlikka tik yoʻnalgan boʻlib, tezlik vektorining yoʻnalishini oʻzgartiradi va bu kuch ish bajarmaydi. Lorens kuchining bajargan ishi nolga teng, yaʼni zaryadning kinetik energiyasini oʻzgartirmaydi. Agar zaryad bir vaqtning oʻzida magnit va elektr maydonda harakat qilsa, natijaviy taʼsir etuvchi kuch:

Markazga intilma kuch

MARKAZGA INTILMA KUCH – moddiy nuqta (jism)ning tezlik yoʻnalishiga tik taʼsir etib, unga markaz tomon yoʻnalgan intilma tezlanish beradigan kuch. Uning taʼsirida moddiy nuqta egri chiziq boʻyicha harakatlanganida miqsor jihatdan Markazga intilma kuchga teng, lekin unga qarama-qarshi yoʻnalgan markazdan kochma kuch hosil boʻladi.

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}$

Tenglamalar pastdan bir xilda isitiladigan va yuqoridan sovutilgan ikki oʻlchovli suyuqlik qatlamining xususiyatlarini bogʻlaydi. Xususan, tenglamalar uch miqdorning vaqtga nisbatan oʻzgarish tezligini tavsiflaydi: x – konvektsiya tezligiga, y – gorizontal harorat oʻzgarishiga va z – vertikal harorat oʻzgarishiga. σ, ρ va β konstantalari Prandtl soni, Rayleigh soni va qatlamning oʻzining maʼlum fizik oʻlchamlariga proportsional tizim parametrlaridir.

Lorenz tenglamalari lazerlar, dinamolar, termosifonlar, choʻtkasiz DC motorlar, elektr zanjirlari, kimyoviy reaktsiyalar va oldinga osmos uchun soddalashtirilgan modellarda paydo boʻlishi mumkin. Lorenz tenglamalari, shuningdek , Malkus suv gʻildiragi uchun Furye fazosida boshqaruvchi tenglamalardir. Malkus suv gʻildiragi tartibsiz harakatni namoyon qiladi, bunda uning aylanishi doimiy tezlikda bir yoʻnalishda aylanish oʻrniga tezlashadi, sekinlashadi, toʻxtaydi, yoʻnalishni oʻzgartiradi va bunday xatti-harakatlarning kombinatsiyasi oʻrtasida oldindan va oldindan aytib boʻlmaydigan tarzda tebranadi.

Texnik nuqtai nazardan, Lorenz tizimi chiziqli boʻlmagan, aperiodik, uch oʻlchovli va deterministikdir . Lorenz tenglamalari yuzlab tadqiqot maqolalari va kamida bitta kitobgacha boʻlgan tadqiqot mavzusi boʻlgan. Markazga intilma kuch t>2/p ga teng; V—moddiy nukta tezligi, r – moddiy nuqta t-rayektoriyasining egrilik radiusi. Agar moddiy nukta g radiusli aylana boʻyicha harakatlansa, Markazga intilma kuch tezlanishi v2/r yoki coV boʻladi; so – moddiy nuqta harakatining burchak tezligi. Moddiy nuqta toʻgʻri chiziq boʻyicha harakat qilganda Markazga intilma kuch va markazga intilma tezlanish nolga teng boʻladi.

Tahlil

Agar ρ < 1 boʻlsa, u holda faqat bitta muvozanat nuqtasi mavjud boʻlib, u boshida joylashgan. Bu nuqta hech qanday konvektsiyaga mos kelmaydi. Barcha orbitalar ρ < 1 boʻlganda global attraktor boʻlgan koordinataga yaqinlashadi.$$\left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)\quad {\text{and}}\quad \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).$$Ular barqaror konvektsiyaga mos keladi. Bu juft muvozanat nuqtalari faqat agar barqaror boʻlsa

$\rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},$

ρ = 28, σ = 10 va β = 8/3 boʻlganda

Dastlabki holatga sezgir bogʻliqlik
Vaqt t = 1 (kattalashtirish)	Vaqt t = 2 (kattalashtirish)	Vaqt t = 3 (kattalashtirish)
</img>	</img>	</img>
Bu raqamlar – ρ = 28, σ = 10 va β = 8/3 yordamida tuzilgan

Mathematica -da yaratilgan Lorenz natijalarining rekreatsiyasi. Qizil chiziq ustidagi nuqtalar tizimni almashtirish loblariga mos keladi.

Oʻz maqolasining 4-rasmida Lorenz tizim tomonidan erishilgan z yoʻnalishidagi nisbiy maksimal qiymatni z yoʻnalishidagi oldingi nisbiy maksimalga qarshi chizdi. Keyinchalik bu protsedura Lorenz xaritasi sifatida maʼlum boʻldi (belgilangan sirt bilan traektoriyaning kesishishlarini chizadigan Puankare uchastkasi bilan adashtirmaslik kerak). Olingan uchastka, chodir xaritasiga juda oʻxshash shaklga ega. Lorenz shuningdek, maksimal z qiymati maʼlum bir chegaradan yuqori boʻlsa, tizim keyingi lobga oʻtishini aniqladi. Buni chodir xaritasi tomonidan koʻrsatilgan tartibsizlik bilan birlashtirib, u tizim ikki lob oʻrtasida tartibsiz ravishda oʻtishini koʻrsatdi.