Maydon (algebra)

A birli kommutativ halqada har bir noldan farqli elementi teska-rilanuvchi bŏlsa, u holda A kommutativ xalqa maydon deyiladi.

• Maydon tushunchasining juda muhim ekanligini nazarda tutib uning halqa tushunchasiga asoslanmaydigan ta’rifini keltiramiz.$(K,+)$ - abel halqa; b) $(K,\cdot )$- gruppoid, (K\{0}_,*)abel gruppa; s) (K\{0}) qo’shish bilan ko’paytirish amallari distributivlik qonuni bilan bog’langan (uni ikki formasining ixtiyoriy bittasi bilan ifodalash mumkin), bo’lsa$(K,+,\cdot )$ algebraik sistema maydon deyiladi.

Misol. x, y, z, t - lar$(P,+,\cdot )$ maydonning ixtiyoriy elementlari va y$\neq$0, t$\neq$0 bo’lsin.

${x \over y}$$\pm$${z \over t}$ = ${xt\pm yz \over yt}$ ni isbot qiling.

Yechish. Maydonda ko’paytirish kommutativ bo’lgani uchun ixtiyoriy y$\neq$0 uchun $xy^{-1}$= $y^{-1}x$ va bu ifodalarning har birini ${\frac {x}{y}}$ kasr shaklida ifodalash hech qanday aniqsizlikka olib kelmaydi.Shuning uchun isbotlanayotgan tenglikning chap tomoni $xy^{-1}\pm zt^{-1}=xy^{-1}tt^{-1}\pm zt^{-1}yy^{-1}=xt(yt)^{-1}\pm yz(yt)^{-1}=(xt\pm yz)(yt)^{-1},$ yaʼni oʻng tomoniga teng.shu bilan birga nolning boʻluvchilari mavjud emasligi sababidan $y\neq 0,t\neq 0$ dan $yt\neq 0$ kelib chiqadi.

Agar $(P,+,\cdot )$ maydon biri (birlik elementi) ning hamma butun karralilari P ning elementlaridan iborat bo’lsa, ya’ni $k=\ell$ uchun $k\cdot 1\neq l\cdot 1$ bo’lsa R maydon nol xarakteristikaga ega deyiladi va $charP=0$ shaklda yoziladi. Aks holda $1<m<p$ uchun $p\cdot 1=0,$ ammo $m\cdot 1\neq 0$ bo’lsa, r natural son R maydonning xarakteristikasi deyiladi va $charP=p$ qilib yoziladi. Boshqacha qilib aytganda, maydonning biri uning additiv gruppasida cheksiz tartibli element bo’lsa, maydonning xarakteristikasi nolga teng deyiladi, aks holda maydonning xarakteristikasi deb maydon birining uning additiv gruppasidagi tartibiga aytiladi.