Newton qonunlari

Nyutonning harakat qonunlari uning tortishish qonuni bilan birgalikda sayyoralar, oylar va boshqa jismlarning Quyosh tizimi boʻylab qanday aylanishlarini bashorat qilishga imkon beradi va ular kosmik sayohatni rejalashtirishning muhim qismidir. 1968-yilgi Apollon 8 missiyasi davomida astronavt Bill Anders ushbu suratni oldi, *Earthrise* ; Yerga qaytib ketayotganda, Anders shunday dedi: „Menimcha, hozirda Isaak Nyuton koʻp mashinani boshqarmoqda“^[1]

.

Nyutonning harakat qonunlari klassik mexanikaning uchta asosiy qonuni boʻlib, jismning harakati va unga taʼsir qiluvchi kuchlar oʻrtasidagi munosabatni tavsiflaydi. Harakatning uchta qonuni birinchi boʻlib Isaak Nyuton tomonidan 1687-yilda chop etilgan "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica" ("Tabiiy falsafaning matematik asoslari ") asarida bayon etilgan^[2].

Ushbu qonunlarni quyidagicha izohlash mumkin:

Agar kuch taʼsir qilmasa, tana tinch holatda yoki toʻgʻri chiziqli tekis harakat qiladi.
Jismga kuch taʼsir qilganda, uning impulsining oʻzgarish tezligi kuchga teng boʻladi.
Agar ikkita jism bir-biriga kuch taʼsir qilsa, bu kuchlar bir xil kattalikka ega, ammo qarama-qarshi yoʻnalishga ega^[3].

Nyuton ulardan klassik mexanikaga asos solgan koʻplab jismoniy ob’ektlar va tizimlarning harakatini tadqiq qilish va tushuntirish uchun foydalangan. Nyutondan keyin klassik fizikaning kontseptual mazmuni turli xil matematik yondashuvlarni oʻz ichiga olgan muqobil usullar bilan qayta ishlab chiqilgan boʻlib, ular asl Nyuton formulasida yashiringan tushunchalarni keltirib chiqardi. Nyuton qonunlarining cheklanishi ham aniqlangan; Ob’ektlar juda yuqori tezlikda harakat qilganda (maxsus nisbiylik), juda massiv (umumiy nisbiylik) yoki juda kichik (kvant mexanikasi) boʻlganda yangi nazariyalar zarur.

Birinchi qonun

Lotin tilidan tarjima qilingan Nyutonning birinchi qonunida shunday deyilgan:

Har bir jism oʻzining tinch holatida yoki toʻgʻri chiziqda bir tekis harakatda davom etadi, agar unga taʼsir qiladigan kuchlar bu holatni oʻzgartirishga majbur boʻlmasa^[4].

Nyutonning birinchi qonuni inersiya prinsipini ifodalaydi: tananing tabiiy harakati toʻgʻri chiziqda doimiy tezlikda harakat qilishdir. Tashqi taʼsirlar boʻlmasa, tananing harakati hozirgi holatini saqlab qoladi.

Ikkinchi qonun

Jismning harakatining oʻzgarishi taʼsirlangan kuchga proportsionaldir; va kuch taʼsirlangan toʻgʻri chiziq yoʻnalishi boʻyicha amalga oshiriladi^[4].

„Harakat“ deganda Nyuton hozirgi impuls deb ataladigan miqdorni nazarda tutgan, bu jismdagi materiya miqdoriga, bu jismning harakat tezligiga va harakat yoʻnalishiga bogʻliq. Zamonaviy yozuvda jismning impulsi uning massasi va tezligining mahsulotidir:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}\,.$

Nyutonning ikkinchi qonuni, zamonaviy shaklda, impulsning vaqt hosilasi kuch ekanligini aytadi:

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\,.$

Agar massa $m$ vaqt oʻtishi bilan oʻzgarmaydi, keyin hosila faqat tezlikka taʼsir qiladi va shuning uchun kuch massa va tezlikning vaqt hosilasi koʻpaytmasiga teng boʻladi, bu tezlanishdir:

${\vec {F}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=m{\vec {a}}\,.$

Tezlanish vaqtga nisbatan pozitsiyaning ikkinchi hosilasi boʻlgani sababli, buni ham yozish mumkin:

${\vec {F}}=m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {s}}\,.$

Uchinchi qonun

Har bir harakatga har doim teng reaktsiya qarshi boʻladi; yoki, ikki jismning bir-biriga oʻzaro harakatlari doimo teng boʻlib, qarama-qarshi qismlarga qaratilgan^[4].

Uchinchi qonunning „harakat reaksiyaga teng“ kabi haddan tashqari qisqacha ifodalari oʻquvchilar avlodlari orasida chalkashliklarga sabab boʻlishi mumkin edi: „harakat“ va „reaktsiya“ turli organlarga tegishli. Masalan, stol ustida dam olayotgan kitobni koʻrib chiqing. Yerning tortishish kuchi kitobni pastga tortadi. Oʻsha „harakat“ ga „reaktsiya“ kitobni ushlab turgan stoldan tayanch kuchi emas, balki kitobning Yerga taʼsir qiladigan tortishish kuchidir.

Nyutonning uchinchi qonuni koʻproq asosiy printsipga, impulsning saqlanishiga tegishli. Ikkinchisi Nyutonning bayonoti boʻlmagan hollarda ham, masalan, kuch maydonlari, shuningdek, moddiy jismlar impulsga ega boʻlganda va impuls toʻgʻri aniqlanganda, kvant mexanikasida ham toʻgʻri boʻladi. Nyuton mexanikasida ikkita jism momentiga ega boʻlsa ${\vec {p}}_{1}$ va ${\vec {p}}_{2}$ mos ravishda, u holda juftlikning umumiy impulsi ${\vec {p}}={\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}$ , va oʻzgarish tezligi ${\vec {p}}$ hisoblanadi:

${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d{\vec {p}}_{1}}{dt}}+{\frac {d{\vec {p}}_{2}}{dt}}.$

Qoʻshimcha qonunlar uchun nomzodlar

Turli manbalar klassik mexanikada qoʻllaniladigan boshqa gʻoyalarni Nyuton qonunlari maqomiga koʻtarishni taklif qildilar. Masalan, Nyuton mexanikasida ikkita kichikroq jismni birlashtirish natijasida hosil boʻlgan jismning umumiy massasi ularning alohida massalarining yigʻindisidir. Frank Vilchek ushbu farazni „Nyutonning nolinchi qonuni“ deb belgilash orqali eʼtiborni jalb qilishni taklif qildi^[5]. „Nolinchi qonun“ga yana bir nomzod — bu har qanday lahzada tananing oʻsha lahzada unga qoʻllaniladigan kuchlarga munosabat bildirishidir^[6]. Xuddi shunday, kuchlarning vektorlarga oʻxshash qoʻshilishi (yoki boshqacha aytganda, superpozitsiya prinsipiga boʻysunadi) va kuchlar jismning energiyasini oʻzgartirishi haqidagi gʻoyalar ikkalasi ham „toʻrtinchi qonun“ sifatida tavsiflangan. Butun olam tortishish qonuni haqida ham shunday deyish mumkin.

Misollar

Tekis tezlanuvchan harakat

Agar jism Yer yuzasiga yaqin joyda dam olishdan yiqilsa, u holda havo qarshiligi boʻlmasa, u doimiy tezlikda tezlashadi. Bu erkin tushish deb nomlanadi. Erkin tushish vaqtida erishilgan tezlik oʻtgan vaqtga, bosib oʻtgan masofa esa oʻtgan vaqtning kvadratiga proportsionaldir^[7]. Muhimi, tezlanish barcha jismlar uchun, ularning massasidan qatʼi nazar, bir xil boʻladi. Bu Nyutonning ikkinchi harakat qonuni bilan uning universal tortishish qonunini birlashtirishdan kelib chiqadi. Ikkinchisi, Yerdan tanaga taʼsir qiladigan tortishish kuchining kattaligi ekanligini taʼkidlaydi:

$F={\frac {GMm}{r^{2}}},$

bu yerda $m$ tushgan jismning massasi, $M$ Yerning massasi, $G$ Nyuton doimiysi va $r$ Yerning markazidan tananing joylashuvigacha boʻlgan masofa, bu Yerning radiusiga juda yaqin. Buni sozlash $ma$ , tananing massasi $m$ ga bogʻliq boʻlgan tezlanishni qoldirib, tenglamaning har ikki tomonidan bekor qilinadi $G$ , $M$ , va $r$ , va $r$ doimiy deb qabul qilish mumkin. Tezlashtirishning bu maxsus qiymati odatda belgilanadi $g$ :

$g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .$

Agar tana dam olishdan boʻshatilmasa, aksincha, yuqoriga va/yoki gorizontal ravishda nol boʻlmagan tezlikda uchilsa, erkin tushish snaryad harakati boʻladi^[8]. Havoning qarshiligini eʼtiborsiz qoldirish mumkin boʻlsa, snaryadlar parabola shaklidagi traektoriyalarni kuzatib boradi, chunki tortishish tananing gorizontal emas, balki vertikal harakatiga taʼsir qiladi. Snaryad traektoriyasining eng yuqori nuqtasida uning vertikal tezligi nolga teng, lekin tezlashishi $g$ har doimgidek pastga qarab. Notoʻgʻri vektorni nolga tenglashtirish fizika talabalari orasida keng tarqalgan chalkashlikdir^[9].

Tekis aylanma harakat

Barisentr atrofida aylanib yuruvchi bir xil aylanma harakatdagi ikkita jism (har ikkala jismning massa markazi)

Jism bir tekis aylanma harakatda boʻlsa, unga taʼsir qiladigan kuch uning harakat yoʻnalishini oʻzgartiradi, lekin tezligini oʻzgartirmaydi. Radiusli aylana boʻylab harakatlanuvchi tana uchun $r$ doimiy tezlikda $v$ , uning tezlashuvi kattalikka ega:

$a={\frac {v^{2}}{r}}$

va aylananing markaziga yoʻnaltirilgan. Ushbu tezlanishni ushlab turish uchun zarur boʻlgan markazga tortish kuchi deb ataladigan kuch ham aylananing markaziga yoʻnaltirilgan va kattalikka ega. $mv^{2}/r$ . Koʻpgina orbitalar, masalan, Oyning Yer atrofidagi orbitalari, bir xil aylana harakati bilan yaqinlashishi mumkin. Bunday hollarda markazga tortish kuchi tortishish hisoblanadi va Nyutonning universal tortishish qonuniga koʻra kattalikka ega. $GMm/r^{2}$ , bu yerda $M$ orbitada aylanayotgan katta jismning massasi. Shuning uchun jismning massasini uning atrofida aylanayotgan boshqa jismni kuzatishlar asosida hisoblash mumkin^[10].

Garmonik harakat

Garmonik osilator

Oddiy garmonik harakat

Massa $m$ trayektoriya boʻylab harakatlana oladi $x$ oʻqni va pozitsiyada muvozanat nuqtasi mavjud deb faraz qilaylik $x=0$ . Yaʼni, at $x=0$ , jismga aniq kuch nol vektor va Nyutonning ikkinchi qonuniga koʻra, tana tezlashmaydi. Agar tanaga taʼsir qiladigan kuch muvozanat nuqtasidan siljish bilan mutanosib boʻlsa va muvozanat nuqtasiga yoʻnaltirilgan boʻlsa, u holda tana oddiy garmonik harakatni amalga oshiradi. Kuchni quyidagicha yozish $F=-kx$ , Nyutonning ikkinchi qonuni boʻladi:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\,.$ Bu differensial tenglama yechimga ega:

$x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,$

chastota bu yerda $\omega$ ga teng ${\sqrt {k/m}}$ , va doimiylar $A$ va $B$ Masalan, tananing maʼlum bir vaqtda ega boʻlgan pozitsiyasi va tezligini bilib, hisoblash mumkin $t=0$ .

Oʻzgaruvchan massaga ega ob’ektlar

Nyuton fizikasi materiyani yaratilmagan yoki yoʻq qilinmagan deb hisoblaydi, garchi u qayta tartibga solinsa ham. Qiziqarli ob’ekt massasini oshirishi yoki yoʻqotishi mumkin, chunki unga materiya qoʻshiladi yoki undan chiqariladi. Bunday vaziyatda Nyuton qonunlari materiyaning alohida qismlariga nisbatan qoʻllanishi mumkin, vaqt oʻtishi bilan qaysi qismlar qiziqish ob’ektiga tegishli ekanligini kuzatib boradi. Masalan, agar massali raketa $M(t)$ , tezlikda harakatlanadi ${\vec {v}}(t)$ , materiyani tezlikda chiqarib yuboradi ${\vec {u}}$ raketaga nisbatan, keyin

${\vec {F}}=M{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}-{\vec {u}}{\frac {dM}{dt}}\,$

bu yerda ${\vec {F}}$ aniq tashqi kuch (masalan, sayyoraning tortishish kuchi)

Nyuton qonunlarining aylanish analoglari

Nyuton qonunlari aylanuvchi kengaytirilgan jismlarga qoʻllanilganda, ular dastlabki qonunlarda chaqirilganlarga oʻxshash yangi miqdorlarga olib keladi. Massaning analogi inersiya momentidir, momentumning oʻxshashi burchak momentidir va kuchning oʻxshashi momentdir .

Burchak momenti mos yozuvlar nuqtasiga nisbatan hisoblanadi^[11]. Agar mos yozuvlar nuqtasidan jismga siljish vektori boʻlsa ${\vec {r}}$ va tana impulsga ega ${\vec {p}}$ , u holda tananing oʻsha nuqtaga nisbatan burchak momenti vektor oʻzaro koʻpaytmasidan foydalangan holda,

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}.$

Burchak momentining vaqt hosilasi olinadi:

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=\left({\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\right)\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {v}}\times m{\vec {v}}+{\vec {r}}\times {\vec {F}}.$

Birinchi atama yoʻqoladi, chunki ${\vec {v}}$ va $m{\vec {v}}$ bir xil yoʻnalishda ishora qiling. Qolgan atama moment,

${\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}.$

Moment nolga teng boʻlganda, burchak impulsi doimiy boʻladi, xuddi kuch nolga teng boʻlganda, impuls doimiy boʻladi^[12].

Agar tana mos yozuvlar nuqtasida joylashgan boʻlsa, kuch nolga teng boʻlmaganda ham moment yoʻqolishi mumkin ( ${\vec {r}}=0$ ) yoki kuch boʻlsa ${\vec {F}}$ va siljish vektori ${\vec {r}}$ bir xil chiziq boʻylab yoʻnaltiriladi.

Nuqta massalari yigʻindisining burchak impulsi va shuning uchun choʻzilgan jismning har bir nuqtasining hissalarini qoʻshish orqali topiladi. Bu tananing alohida qismlarining burchak momentlarini qoʻshish orqali oʻq atrofida aylanishini tavsiflash uchun vositani beradi. Natija tanlangan oʻqga, tananing shakliga va aylanish tezligiga bogʻliq^[12].

Manbalar

Chakrabarty, Deepto; Dourmashkin, Peter; Tomasik, Michelle; Frebel, Anna; Vuletic, Vladan (2016). „Classical Mechanics“. MIT OpenCourseWare. Retrieved 17 January 2022.
Thomson, W.; Tait, P. G. (1867). „242, Newtonʼs laws of motion“. Treatise on natural philosophy. Vol. 1.

↑ See, for example:
↑ Newton, Isaac. Newton's Principia: The Mathematical Principles of Natural Philosophy, University of California Libraries, Daniel Adee, 1846.
↑ Thornton, Stephen T.. Classical Dynamics of Particles and Systems, 5th, Brooke Cole, 2004 — 49-bet. ISBN 0-534-40896-6.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 Frautschi, Steven C.. The Mechanical Universe: Mechanics and Heat, Advanced, Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-71590-4. OCLC 227002144.
↑ Wilczek. „The Origin of Mass“. MIT Physics Annual 2003 (2003). Qaraldi: 2022-yil 13-yanvar.
↑ Scherr, Rachel E.; Redish, Edward F. (2005-01-01). "Newton's Zeroth Law: Learning from Listening to Our Students". The Physics Teacher 43 (1): 41–45. doi:10.1119/1.1845990. ISSN 0031-921X. https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1845990.
↑ Nicodemi, Olympia (2010-02-01). "Galileo and Oresme: Who Is Modern? Who Is Medieval?". Mathematics Magazine 83 (1): 24–32. doi:10.4169/002557010X479965. ISSN 0025-570X. https://doi.org/10.4169/002557010X479965.
↑ Scholberg. „Frequently Asked Questions: Projectile Motion“. Physics 361 (2020). Qaraldi: 2022-yil 16-yanvar.
↑ Carli, Marta; Lippiello, Stefania; Pantano, Ornella; Perona, Mario; Tormen, Giuseppe (2020-03-19). "Testing students ability to use derivatives, integrals, and vectors in a purely mathematical context and in a physical context" (en). Physical Review Physics Education Research 16 (1): 010111. doi:10.1103/PhysRevPhysEducRes.16.010111. ISSN 2469-9896.
↑ Brown, Mike. How I Killed Pluto and Why It Had It Coming, 1st, New York: Spiegel & Grau, 2010. ISBN 978-0-385-53108-5. OCLC 495271396.
↑ Close, Hunter G.; Heron, Paula R. L. (October 2011). "Student understanding of the angular momentum of classical particles" (en). American Journal of Physics 79 (10): 1068–1078. doi:10.1119/1.3579141. ISSN 0002-9505. http://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.3579141.
↑ ^12,0 ^12,1 José, Jorge V.. Classical dynamics: A Contemporary Approach. Cambridge [England]: Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-1-139-64890-5. OCLC 857769535.

[1] See, for example:

[2] Newton, Isaac. Newton's Principia: The Mathematical Principles of Natural Philosophy, University of California Libraries, Daniel Adee, 1846.

[Thornton-3] Thornton, Stephen T.. Classical Dynamics of Particles and Systems, 5th, Brooke Cole, 2004 — 49-bet. ISBN 0-534-40896-6.

[:0-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 Frautschi, Steven C.. The Mechanical Universe: Mechanics and Heat, Advanced, Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-71590-4. OCLC 227002144.

[5] Wilczek. „The Origin of Mass“. MIT Physics Annual 2003 (2003). Qaraldi: 2022-yil 13-yanvar.

[6] Scherr, Rachel E.; Redish, Edward F. (2005-01-01). "Newton's Zeroth Law: Learning from Listening to Our Students". The Physics Teacher 43 (1): 41–45. doi:10.1119/1.1845990. ISSN 0031-921X. https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1845990.

[7] Nicodemi, Olympia (2010-02-01). "Galileo and Oresme: Who Is Modern? Who Is Medieval?". Mathematics Magazine 83 (1): 24–32. doi:10.4169/002557010X479965. ISSN 0025-570X. https://doi.org/10.4169/002557010X479965.

[8] Scholberg. „Frequently Asked Questions: Projectile Motion“. Physics 361 (2020). Qaraldi: 2022-yil 16-yanvar.

[9] Carli, Marta; Lippiello, Stefania; Pantano, Ornella; Perona, Mario; Tormen, Giuseppe (2020-03-19). "Testing students ability to use derivatives, integrals, and vectors in a purely mathematical context and in a physical context" (en). Physical Review Physics Education Research 16 (1): 010111. doi:10.1103/PhysRevPhysEducRes.16.010111. ISSN 2469-9896.

[10] Brown, Mike. How I Killed Pluto and Why It Had It Coming, 1st, New York: Spiegel & Grau, 2010. ISBN 978-0-385-53108-5. OCLC 495271396.

[11] Close, Hunter G.; Heron, Paula R. L. (October 2011). "Student understanding of the angular momentum of classical particles" (en). American Journal of Physics 79 (10): 1068–1078. doi:10.1119/1.3579141. ISSN 0002-9505. http://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.3579141.

[:2-12] 12,0 ^12,1 José, Jorge V.. Classical dynamics: A Contemporary Approach. Cambridge [England]: Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-1-139-64890-5. OCLC 857769535.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]