Painlevé ehtimoli

Fizikada Painlevé gipotezasi -jism masalasi yechimlari orasida oʻziga xoslik haqidagi teoremadir: n≥4 toʻqnashuvsiz singulyativliklar mavjud

Teorema n ≥ 5 uchun 1988 yilda Jeff Xia tomonidan ishlab chiqilgan^[1]

Bayonot

Yechimlar $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ n — jism muammosi ${\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )$ (bu yerda M — massalar va U — tortishish potentsialini bildiradi) agar vaqtlar ketma-ketligi boʻlsa, yagonalikka ega deyiladi. $t_{n}$ chekliga yaqinlashish $t^{*}$ qayerda $\nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty$ . Yaʼni, kuchlar va tezlanishlar vaqtning maʼlum bir chekli nuqtasida cheksiz boʻladi.

Agar toʻqnashuv yagonaligi yuzaga keladi $\mathbf {q} (t)$ qachon aniq chegaraga intiladi $t\rightarrow t^{*},t<t^{*}$ . Agar chegara mavjud boʻlmasa, singularlik psevdotoʻqnashuv yoki toʻqnashuvsiz singulyarlik deyiladi.

Pol Painlevé buni n=3 uchun koʻrsatdi. Cheklangan vaqt singulyarligi boʻlgan har qanday yechim toʻqnashuv singulyarligini boshdan kechiradi. Biroq, u bu natijani 3 ta jismdan tashqariga kengaytira olmadi. Uning 1895 yil Stokgolmdagi maʼruzalari shu taxmin bilan yakunlanadi

n≥4 uchun n -jism muammosi toʻqnashuvsiz yakkaliklarni qabul qiladi^[2] ^[3].

Rivojlanish

Edvard Gyugo fon Zaypel 1908 yilda isbotladiki, agar toʻqnashuvning yagonaligi boʻlsa, u holda $J(\mathbf {q} (t))$ kabi aniq chegaraga intiladi $t\rightarrow t^{*}$ , qayerda $J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}$ inersiya momentidir^[4]. Bu shuni anglatadiki, toʻqnashuvsiz singulyarlikning zaruriy sharti kamida bitta zarraning tezligi chegaralanmagan boʻlishidir (chunki pozitsiyalar). $\mathbf {q}$ shu nuqtaga qadar cheklangan qoladi^[5].

Mater va MakGi 1975 yilda toʻqnashuvsiz singulyarlik toʻgʻridan-toʻgʻri chiziqli 4 jismli masalada (yaʼni, barcha jismlar bir chiziqda boʻlganda), lekin cheksiz sonli (tartibga solingan) ikkilik toʻqnashuvlardan keyin paydo boʻlishi mumkinligini isbotlashga muvaffaq boʻldi^[6].

Donald G. Saari 1977 yilda 2, 3 va 4 jismli masalalar uchun tekislikdagi yoki fazodagi deyarli barcha (Lebesg oʻlchovi maʼnosida) boshlangʻich shartlar uchun yagonaliksiz yechimlar mavjudligini isbotladi^[7].

1984 yilda Jo Gerver toʻqnashuvlarsiz 5 jismli planar muammoda toʻqnashuvsiz singulyarlik uchun dalil keltirdi^[8]. Keyinchalik u 3n tana ishi uchun dalil topdi^[9].

Nihoyat, 1988 yilda doktorlik dissertatsiyasida Jeff Xia toʻqnashuvsiz oʻziga xoslikni boshdan kechiradigan 5 tanali konfiguratsiyani namoyish etdi^[10].

Jo Gerver 4 jismli singularliklarning mavjudligi uchun evristik modelni keltirdi^[11].

2013 yilda Merilend universitetida doktorlik dissertatsiyasida Jinxin Syue Painlevé gipotezasining tekis toʻrtta tanali muammosi uchun soddalashtirilgan modelni koʻrib chiqdi. Gerver modeliga asoslanib, u Gamilton tizimining yechimlariga olib keladigan boshlangʻich shartlarning Kantor toʻplami mavjudligini isbotladi, buning tezligi barcha oldingi toʻqnashuvlardan qochib, chekli vaqt ichida cheksizgacha tezlashadi. 2014-yilda Xue avvalgi ishini kengaytirdi va n=4 uchun taxminni isbotladi^[12]

Manbalar

↑ Xia, Zhihong (1992). "The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems". Annals of Mathematics. Second Series 135 (3): 411–468. doi:10.2307/2946572.
↑ Painlevé, P.. Lecons sur la théorie analytique des équations différentielles. Paris: Hermann, 1897.
↑ Oeuvres de Paul Painlevé. Paris: Ed. Centr. Nat. Rech. Sci., 1972.
↑ von Zeipel, H. (1908). "Sur les singularités du problème des corps". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik 4: 1–4.
↑ Diacu, Florin N. (1993). "Painlevé's Conjecture". The Mathematical Intelligencer 13 (2). Diacu, Florin N. (1993). „Painlevé's Conjecture“. The Mathematical Intelligencer. 13 (2).
↑ Mather, J. „Solutions of the collinear four-body problem which become unbounded in finite time“, . Dynamical Systems Theory and Applications Moser: . Berlin: Springer-Verlag, 1975 — 573–589-bet. ISBN 3-540-07171-7.
↑ Saari, Donald G. (1977). "A global existence theorem for the four-body problem of Newtonian mechanics". J. Differential Equations 26 (1): 80–111. doi:10.1016/0022-0396(77)90100-0.
↑ Gerver, J. L. (1984). "A possible model for a singularity without collisions in the five-body problem". J. Diff. Eq. 52 (1): 76–90. doi:10.1016/0022-0396(84)90136-0.
↑ Gerver, J. L. (1991). "The existence of pseudocollisions in the plane". J. Diff. Eq. 89 (1): 1–68. doi:10.1016/0022-0396(91)90110-U.
↑ Saari, Donald G.; Xia, Zhihong (Jeff) (1993). "Off to Infinity in Finite Time". Notices of the AMS 42 (5): 538–546. Saari, Donald G.; Xia, Zhihong (Jeff) (1993). „Off to Infinity in Finite Time“. Notices of the AMS. 42 (5): 538-546.
↑ Gerver, Joseph L. (2003). "Noncollision Singularities: Do Four Bodies Suffice?". Exp. Math. 12 (2): 187–198. doi:10.1080/10586458.2003.10504491. http://projecteuclid.org/euclid.em/1067634730.
↑ Xue, J.; Dolgopyat, D. (2016). "Non-Collision Singularities in the Planar Two-Center-Two-Body Problem". Commun. Math. Phys. 345 (3): 797–879. doi:10.1007/s00220-016-2688-6.

[xia0-1] Xia, Zhihong (1992). "The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems". Annals of Mathematics. Second Series 135 (3): 411–468. doi:10.2307/2946572.

[2] Painlevé, P.. Lecons sur la théorie analytique des équations différentielles. Paris: Hermann, 1897.

[3] Oeuvres de Paul Painlevé. Paris: Ed. Centr. Nat. Rech. Sci., 1972.

[4] von Zeipel, H. (1908). "Sur les singularités du problème des corps". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik 4: 1–4.

[conjecture-5] Diacu, Florin N. (1993). "Painlevé's Conjecture". The Mathematical Intelligencer 13 (2). Diacu, Florin N. (1993). „Painlevé's Conjecture“. The Mathematical Intelligencer. 13 (2).

[6] Mather, J. „Solutions of the collinear four-body problem which become unbounded in finite time“, . Dynamical Systems Theory and Applications Moser: . Berlin: Springer-Verlag, 1975 — 573–589-bet. ISBN 3-540-07171-7.

[7] Saari, Donald G. (1977). "A global existence theorem for the four-body problem of Newtonian mechanics". J. Differential Equations 26 (1): 80–111. doi:10.1016/0022-0396(77)90100-0.

[8] Gerver, J. L. (1984). "A possible model for a singularity without collisions in the five-body problem". J. Diff. Eq. 52 (1): 76–90. doi:10.1016/0022-0396(84)90136-0.

[9] Gerver, J. L. (1991). "The existence of pseudocollisions in the plane". J. Diff. Eq. 89 (1): 1–68. doi:10.1016/0022-0396(91)90110-U.

[xia-10] Saari, Donald G.; Xia, Zhihong (Jeff) (1993). "Off to Infinity in Finite Time". Notices of the AMS 42 (5): 538–546. Saari, Donald G.; Xia, Zhihong (Jeff) (1993). „Off to Infinity in Finite Time“. Notices of the AMS. 42 (5): 538-546.

[11] Gerver, Joseph L. (2003). "Noncollision Singularities: Do Four Bodies Suffice?". Exp. Math. 12 (2): 187–198. doi:10.1080/10586458.2003.10504491. http://projecteuclid.org/euclid.em/1067634730.

[12] Xue, J.; Dolgopyat, D. (2016). "Non-Collision Singularities in the Planar Two-Center-Two-Body Problem". Commun. Math. Phys. 345 (3): 797–879. doi:10.1007/s00220-016-2688-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]