Parseval ayniyati

Matematik tahlilda Mark-Antuan Parseval nomi bilan ataladigan Parseval ayniyati funksiyaning Furye qatorining yigʻilishi haqida muhim natijadir. Geometrik nuqtai nazardan, bu ayniyat skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolar (sanoqsiz cheksiz bazis vektorga ega boʻlishi mumkin) uchun umumlashtirilgan Pifagor teoremasi hisoblanadi.

Norasmiy ravishda, ayniyat funksiyaning Furye koeffitsientlarining kvadratlarining yigʻindisi funksiya kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi,$$\Vert f\Vert _{L^{2}(-\pi ,\pi )}^{2}=\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}$$bu yerda $f$ ning Furye koeffitsientlari $c_{n}$ quyidagicha berilgan$$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.$$Rasmiy tilda aytganda, agar $f$ kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya yoki umumiyroq qilib olganda, Lp fazo $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ dan boʻlsa, natija yuqorida keltirilganidek bajariladi. Shunga oʻxshash natija Plancherel teoremasi boʻlib, u funksiyaning Furye almashtirishining kvadratining integrali funksiyaning oʻzining kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi. Bir oʻlchovli fazodada, $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ uchun$$\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx$$munosabat oʻrinli.

Umumlashgan Pifagor teoremasi

Yuqorida keltirilgan ayniyat Pifagor teoremasi bilan separabel Gilbert fazosining umumiy holatida quyidagicha bogʻlangan. Faraz qilaylik, $H$ fazo $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ skalyar koʻpaytmaga ega boʻlgan Gilbert fazosi boʻlsin. $\left(e_{n}\right)$ $H$ning ortonormal bazisi boʻlsin; yaʼni $e_{n}$ ning chiziqli yoyilmasi $H$da zich va $e_{n}$ lar oʻzaro ortonormal boʻlsin:

$\langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}~m=n\\0&{\mbox{if}}~m\neq n.\end{cases}}$

U holda Parseval ayniyati barcha $x\in H$ lar uchun$$\sum _{n}\left|\left\langle x,e_{n}\right\rangle \right|^{2}=\|x\|^{2}$$ekanligini tasdiqlaydi.

Bu toʻgʻridan-toʻgʻri Pifagor teoremasiga oʻxshash boʻlib, Pifagor teoremasi ortonormal bazisdagi vektor komponentlari kvadratlarining yigʻindisi vektorning uzunligining kvadratiga teng ekanligini tasdiqlaydi. $H$ ni $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ Gilbert fazosi deb hamda $n\in \mathbb {Z}$ lar uchun $e_{n}=e^{-inx}$ deb olish orqali Furye qatorlari uchun Parseval ayniyatini tiklash mumkin.

Umuman olganda, Parseval ayniyati faqatgina separabel Gilbert fazolarida emas, balki har qanday skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolarda bajariladi. Shunday ekan, faraz qilaylik, $H$ skalyar koʻpaytma aniqlangan fazo boʻlsin. $B$ $H$ning ortonormal bazisi boʻlsin, bunda $B$ toʻliq ortonormal toʻplam ($B$ ning chiziqli yoyilmasi $H$da zichligi maʼnosida). U holda,$$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{v\in B}\left|\langle x,v\rangle \right|^{2}.$$$B$ ning toʻliq boʻlishi ayniyatning bajarilishi uchun zaruriydir. Agar $B$ toʻliq boʻlmasa, u holda Parseval ayniyatidagi tenglik belgisi $\,\geq$ ga oʻzgartirilishi kerak boʻladi. Bu esa Bessel tengsizligiga olib keladi. Parseval tengsizligining ushbu umumlashgan koʻrinishi Riesz-Fischer teoremasi yordamida isbot qilinadi.

Yana qarang

• Parseval teoremasi

Manbalar

• „Parseval equality“, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Johnson, Lee W.; Riess, R. Dean (1982), Numerical Analysis (2nd-nashr), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-10392-3.
• Titchmarsh, E (1939), The Theory of Functions (2nd-nashr), Oxford University Press.
• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2nd-nashr), Cambridge University Press (1988da chop etilgan), ISBN 978-0-521-35885-9.
• Siktar, Joshua (2019), Recasting the Proof of Parseval's Identity, Turkish Journal of Inequalities, arXiv:1907.08331. [1]