Plastik raqam

Tomonlarning nisbati boʻlgan kvadratlar $\rho$ yopiq spiral hosil qiladi

Matematikada plastik raqam ρ (shuningdek, plastik konstanta, plastik nisbat, minimal Pisot raqami, platina raqami Siegel raqami yoki fransuzcha, le nombre radiant deb ham ataladi) — kub tenglamaning yagona haqiqiy yechimi boʻlgan matematik doimiy hisoblanadi

$x^{3}=x+1.$

U aniq irratsional qiymatga ega

$\rho ={\sqrt[{3}]{\frac {9+{\sqrt {69}}}{18}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {9-{\sqrt {69}}}{18}}}.$

Uning kasrli kengayishi 1.3247179572 44746 02596 09088 54…. dan boshlanadi.

Xususiyatlari

Takrorlanishlar

A(n) = ρⁿ plastik sonining vakolatlari n > 2 uchun A(n) = A(n − 2) + A(n − 3) uchinchi tartibli chiziqli takrorlanish munosabatini qondiradi. Demak, bu takrorlanishni qondiruvchi har qanday (noldan farqli) butun sonlar ketma-ketligining ketma-ket hadlarining chegaraviy nisbati, masalan, Padovan ketma-ketligi (Kordonnier raqamlari deb ham ataladi), Perrin raqamlari va Van der Laan raqamlari va oltin nisbatning ikkinchi tartibli Fibonachchi va Lukas raqamlariga, kumush nisbati va Pell raqamlari oʻrtasidagi munosabatlarga oʻxshash bu ketma-ketliklarga boʻlgan munosabatlar hisoblanadi.

Plastik raqam oʻrnatilgan radikal takrorlanishni qondiradi.

$\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}.$

Raqamlar nazariyasi

Plastmassa son x³ − x − 1 = 0, minimal ko‘phadga ega bo‘lgani uchun u x³ − x − 1, ga karrali bo‘lgan har bir p polinom uchun p(x) = 0 polinom tenglamasining yechimi x³ − x − 1, bu emas. butun sonli koeffitsientli boshqa har qanday polinomlar uchun. Uning minimal koʻphadining diskriminanti −23 boʻlgani uchun uning ratsionallarga boʻlinish maydoni $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}},\rho ).$ Bu maydon, shuningdek, Hilbert sinfiga tegishli $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}}).$ Shunday qilib, uni Dedekind eta funksiyasi bilan ifodalash mumkin $\eta (\tau )$ argument bilan $\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {-23}}}{2}}$ga teng ,

$\rho ={\frac {-1}{z^{23}}}{\frac {\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}=1.3247\dots$

va birlikning ildizi $z=e^{2\pi i/48}$ . Xuddi shunday, argument bilan superoltin nisbati uchun $\beta ={\tfrac {1+{\sqrt {-31}}}{2}}$ oʻrinli boʻladi,

$\psi ={\frac {-1}{z^{23}}}{\frac {\eta (\beta )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\beta )}}=1.4655\dots$

Bundan tashqari, plastik raqam eng kichik Pisot-Vijayaraghavan raqamidir . Uning algebraik konjugatlari quyidagilar

$\left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0.662359\pm 0.56228i,$

mutlaq qiymatga ega ≈ 0,868837. Bu qiymat ham ${\frac {1}{\sqrt {\rho }}}$ chunki minimal ko‘phadning uchta ildizining ko‘paytmasi 1 ga teng boʻladi.

Trigonometriya

Plastik raqamni giperbolik kosinus (cosh) va uning teskarisi yordamida yozish mumkin boʻladi:

$\rho ={\tfrac {1}{c}}\cosh \left({\tfrac {1}{3}}\cosh ^{-1}(3c)\right),\qquad c=\cos \left({\tfrac {2\pi }{12}}\right)=\sin \left({\tfrac {2\pi }{6}}\right)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Geometriya

Kvadratning uchta boʻlimi oʻxshash toʻrtburchaklar

Kvadratni uchta oʻxshash toʻrtburchaklarga boʻlishning uchta usuli mavjud va ular quyidagilar:

1. Tomonlar nisbati 3:1 boʻlgan uchta kongruent toʻrtburchaklar tomonidan berilgan yechim.
2. Uchta toʻrtburchakning ikkitasi mos keladigan, uchinchisi esa qolgan ikkitasidan ikki baravar kattaroq boʻlgan yechim, bunda toʻrtburchaklar tomonlar nisbati 3:2 boʻlishi kerak.
3. Uchta toʻrtburchaklar oʻzaro mos boʻlmagan (barcha oʻlchamdagi) va tomonlar nisbati ρ² boʻlgan yechim. Uchta toʻrtburchakning chiziqli oʻlchamlari nisbati: r (katta: oʻrta); ρ² (oʻrta: kichik); va ρ³ (katta: kichik). Eng katta toʻrtburchakning ichki, uzun qirrasi (kvadratning yoriq chizigʻi) kvadratning toʻrt chetidan ikkitasini har biri r nisbatda bir-biriga bogʻlangan ikkita segmentga ajratadi. Oʻrta toʻrtburchakning ichki, bir-biriga toʻgʻri keladigan qisqa qirrasi va kichik toʻrtburchakning uzun qirrasi kvadratning ikkinchi, ikkita chetidan birini ρ⁴ nisbatda bir-biriga bogʻlangan ikkita segmentga ajratadi.

Toʻrtburchaklar nisbati ρ² boʻlgan toʻrtburchakdan kvadratni oʻxshash toʻrtburchaklarga ajratish uchun foydalanish mumkinligi Rut-Hurvits teoremasi bilan bogʻliq ρ² sonining algebraik xususiyatiga teng: uning barcha konjugatlari ijobiy haqiqiy qismga ega boʻladi.

x ² + y ² = 1 aylananing x ³ = y ² egri chizigʻi bilan kesishgan joylari Dekart koordinatalarida(ρ⁻¹,ρ^-3/2) va (ρ⁻¹,-ρ^-3/2) nuqtalarda boʻladi.

Tarix va nomlar

Hans van der Laan tomonidan 1967-yilgi Sankt-Benediktusberg Abbey cherkovi plastik-raqamli nisbatlarga ega.

Gollandiyalik arxitektor va Benedikt rohibi Dom Xans van der Laan 1928-yilda plastik raqam nomini bergan (niderlandcha: het plastische getal). 1924-yilda, van der Laan raqam nomini suvga choʻmishidan toʻrt yil oldin, fransuz muhandisi Gérard Cordonnier raqamni allaqachon kashf etgan va uni nurli raqam deb atagan (fransuzcha: le nombre radiant)). Oltin nisbat va kumush nisbat nomlaridan farqli oʻlaroq, plastmassa soʻzi van der Laan tomonidan maʼlum bir moddaga murojaat qilish uchun emas, balki uning sifatdosh maʼnosida, uch oʻlchamli shakl berilishi mumkin boʻlgan narsani anglatadi. Richard Padovanning soʻzlariga koʻra, bu raqamning xarakterli nisbatlari,3/4 va 1/7 jismoniy oʻlchamni boshqasiga bogʻlashda inson idrokining chegaralari bilan bogʻliq edi. Van der Laan 1967-yilgi Sankt-Benediktusberg Abbey cherkovini ushbu plastik son nisbatlariga mos ravishda ishlab chiqdi.

Plastik raqam baʼzan kumush raqam deb ham ataladi, unga Midhat J. Gazalé tomonidan berilgan va keyinchalik Martin Gardner tomonidan qoʻllangan lekin bu nom koʻproq kumush nisbati uchun ishlatiladi. $1+{\sqrt {2}},$ birinchi marta 1998-yilda Vera V. de Spinadel tomonidan tasvirlangan metall vositalar oilasining nisbatlaridan biridir.

Martin Gardner murojaat qilishni taklif qildi $\rho ^{2}$ „yuqori phi“ sifatida va Donald Knut bu nom uchun maxsus tipografik belgi yaratdi, gruzincha pari („Ⴔ“) harfiga oʻxshash markaziy doirasi koʻtarilgan yunoncha phi (" φ ") harfining variantidir.

Yana qarang

• Snub ikozidokadodekaedr
• Superoltin nisbati

Havolalar

• Ian Styuart tomonidan „Beparvo qilingan raqam haqidagi ertaklar“
• Giorgio Pietrocola tomonidan Tartapelagodagi plastik toʻrtburchaklar va Padovan ketma -ketligi