Statsionar elektromagnit maydonning vektor potensiali

Statsionar elektromagnit maydonning vektor potensiali Zaryadlarning taqsimoti va harakati oʻzgarishiga qarab, ularning maydoni ham oʻzgaradi. Zaryadlarning va toklarning taqsimoti oʻzgarmasa, ularning maydoni ham oʻzgarmaydi.

Vaqt oʻtishi bilan zichligi oʻzgarmaydigan zaryadlar statsionar zaryadlar deyiladi. Vaqt oʻtishi bilan zichligi oʻzgarmaydigan toklar statsionar toklar deyiladi. Demak, statsionar toklar va zaryadlar uchun

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

${\frac {\partial {\textbf {j}}}{\partial t}}=0$

Statsionar zaryadlar va toklarning hosil qilgan elektromagnit maydoni ham oʻzgarmaydi, yaʼni

${\frac {\partial {\textbf {E}}}{\partial t}}=0$

${\frac {\partial {\textbf {H}}}{\partial t}}=0$

Vaqt oʻtishi bilan kuchlanganliklari oʻzgarmaydigan elektromagnit maydon statsionar elektromagnit maydon deyiladi.

Statsionar elektromagnit maydon uchun Maksvell-Lorenz tenglamalari

Statsionar elektromagnit maydon uchun Maksvell-Lorenz tenglamalari quyidagi shaklni oladi:

${\textrm {div}}{\textbf {E}}=4\pi \rho ;(1)$

${\textrm {rot}}{\textbf {E}}=0;(2)$

${\textrm {div}}{\textbf {H}}=0;(3)$

${\textrm {rot}}{\textbf {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\textbf {j}};(4)$

Koʻrinib turibdiki, bu differensial tenglamalar oʻzaro bogʻlanmagan ikkita mustaqil tenglamalar sistemasidan iborat:

1. (1) bilan (2) tenglamalar faqat zaryadlar hosil qilgan elektr maydonni ifodalaydi
2. (3) bilan (4) tenglamalar esa faqat toklar hosil qilgan magnit maydonni ifodalaydi

(2) tenglamadan koʻramizki:

${\textbf {E}}=-{\textrm {grad}}\varphi$

u vaqtda, (1) tenglama Poisson tenglamasi shaklini oladi,

$\Delta \varphi =-4\pi \rho$

Bu tenglamaning yechimi$\varphi =\int {\frac {\rho dV'}{R}}$ ga asosan

$\varphi =\int {\frac {\rho dV'}{|{\textbf {r-r'}}|}}$

boʻladi. Statsionar tok hosil qilgan magnit maydon bilan shugʻullanuvchi nazariya magnitostatika deyiladi. Magnitostatikaning asosiy tenglamalari (3) va (4) tenglamalarda ifodalangan.

(3) ga muvofiq

${\textbf {H}}={\textrm {rot}}{\textbf {A}};(5)$

boʻladi. Bu yerda A - magnit maydonning vektor potensiali.

U vaqtda, (4) ga asosan,

${\textrm {rot}}{\textbf {H}}={\textrm {rot\ rot}}{\textbf {A}}={\textrm {grad\ div}}{\textbf {A}}-\Delta {\textbf {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\textbf {j}};(6)$

boʻladi. Maʼlumki, har qanday ixtiyoriy $\psi$ funksiya gradientining uyurmasi nolga teng:

${\textrm {rot\ grad}}\psi =0$

Shuning uchun

${\textbf {A'}}={\textbf {A}}+{\textrm {grad}}\psi$

qilib olingan A' vektor ham avvalgi A vektor kabi (5) shartga boʻysunadi. Vektor potensialni tekshirishda bunday noaniqlikka yoʻl qoʻymaslik maqsadida ixtiyoriy funksiyani $\psi$ shunday qilib tanlaylikki, natijada quyidagi shart bajarilsin:

${\textrm {div}}{\textbf {A}}=0;(7)$

Bu ifoda vektor potensialning kalibrovka sharti deyiladi. (7) ni (6) ga qoʻyilsa,

$\Delta {\textbf {A}}=-{\frac {4\pi }{c}}{\textbf {j}};(8)$

boʻladi. Bu ifoda - vektor shaklda yozilgan Poisson tenglamasi. Uning yechimi esa

${\textbf {A}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {{\textbf {j}}dV'}{R}};(9)$

boʻladi. Bu yerda $dV$ - tok joylashgan sohaning ichki O nuqta atrofidagi hajm elementi (1-rasm), $R$ -hajm elementi bilan kuzatish nuqtasidagi vektor potensial.

1-rasm. Statsionar zaryadning uzoq masofada hosil qilgan potensiali

Vektor potensial uchun topilgan (9) ifoda (7) shartga boʻysunadi. Haqiqatdan, kuzatish nuqtasi koordinatalari boʻyicha differensiallash va tok joylashgan hajm boʻyicha integrallash operatsiyalari bir-biriga bogʻliq boʻlmaganligi sababli ularning tartibini oʻzgartirish mumkin:

${\textrm {div}}{\textbf {A}}={\frac {1}{c}}{\textrm {div}}\int {\frac {{\textbf {j}}dV'}{R}}={\frac {1}{c}}\int {\textrm {div}}{\frac {\textbf {j}}{R}}dV'$

Gauss-Ostrogradskiy teoremasidan foydalansak, tok joylashgan hajmning chekli ekanligi sababli quyidagicha yozishga haqlimiz:

${\textrm {div}}{\textbf {A}}={\frac {1}{c}}\oint \left({\frac {\textbf {j}}{R}}d\sigma \right)=0$

Yana qarang

• Statsionar tokning magnit maydoni
• Sekin va tekis harakatlanuvchi zaryadning elektromagnit maydoni
• Zaryadlar sistemasining uzoq masofalardagi magnit maydoni

Adabiyotlar

• R.X.Mallin, Klassik elektrodinamika, O`qituvchi, T., 1974