Toʻlqin funksiyasi

Yakka spinsiz zarra uchun klassik va kvant garmonik ossilyator tushunchalarini solishtirish. Ikki jarayon juda katta farq qiladi. Klassik jarayon (A-B) zarrachaning traektoriya boʻylab harakati sifatida namoyon boʻladi. Kvant jarayon (C-H) bunday traektoriyaga ega emas. Aksincha, u toʻlqin sifatida ifodalanadi; bu yerda vertikal oʻq toʻlqin funksiyasining haqiqiy qismini (koʻk) va xayoliy qismini (qizil) koʻrsatadi. (C-F) Panellar Shredinger tenglamasining toʻrt xil toʻlqin uchun yechimni koʻrsatadi. (G-H) Panellar qoʻshimcha ravishda Shredinger tenglamasining yechimlari boʻlgan, ammo turgʻun toʻlqinlar boʻlmagan ikki xil toʻlqin funksiyasini koʻrsatadi.

Kvant fizikasidagi toʻlqin funksiyasi izolyatsiya qilingan tizim kvant holatining matematik tavsifidir. Toʻlqin funksiyasi murakkab qiymatli ehtimollik amplitudasi boʻlib, tizimda oʻtkazilgan oʻlchovlarning mumkin boʻlgan natijalari uchun ehtimolliklar undan olinishi mumkin. Toʻlqin funksiyasi uchun eng keng tarqalgan belgilar yunoncha ψ va Ψ (mos ravishda kichik va katta psi).

Toʻlqin funksiyasi kommutatsiya kuzatilishi mumkin boʻlgan baʼzi maksimal toʻplamga mos keladigan erkinlik darajalarining funksiyasidir. Bunday tasavvur tanlangandan soʻng, toʻlqin funksiyasi kvant holatidan olinishi mumkin.

Berilgan tizim uchun qaysi kommutatsiya erkinlik darajalarini tanlash yagona emas va shunga mos ravishda toʻlqin funksiyasining sohasi ham yagona emas. Masalan, uni zarrachalarning joylashuv fazosidagi barcha koordinatalarining funksiyasi yoki impuls fazosidagi barcha zarrachalarning momentlarining funksiyasi sifatida qabul qilish mumkin; ikkalasi Furye konvertatsiyasi bilan bogʻlangan. Elektronlar va fotonlar kabi baʼzi zarralar nolga teng boʻlmagan spinga ega va bunday zarralar uchun toʻlqin funksiyasi spinning oʻziga xos, diskret erkinlik darajasi sifatida oʻz ichiga oladi; izospin kabi boshqa diskret oʻzgaruvchilar ham kiritilishi mumkin. Agar tizim ichki erkinlik darajalariga ega boʻlsa, toʻlqin funksiyasi uzluksiz erkinlik darajalarining har bir nuqtasida (masalan, fazodagi nuqta) diskret erkinlik darajalarining har bir mumkin boʻlgan qiymati uchun kompleks sonni belgilaydi (masalan, z- spinning komponenti) — bu qiymatlar koʻpincha ustun matritsada koʻrsatiladi (masalan, spinli relativistik boʻlmagan elektron uchun 2 × 1 ustunli vektor.

Kvant mexanikasining superpozitsiya prinsipiga koʻra, toʻlqin funksiyalari yangi toʻlqin funksiyalari va Gilbert fazosini hosil qilish uchun bir-biriga qoʻshilishi va murakkab raqamlarga koʻpaytirilishi mumkin. Ikki toʻlqin funksiyasi orasidagi ichki yigʻindi mos keladigan fizik holatlar oʻrtasidagi oʻzaro bogʻliqlik oʻlchovidir va kvant mexanikasining asosiy ehtimollik talqinida, ichki yigʻindiga oʻtish ehtimoli bilan bogʻliq „Born qoidasi“ dan foydalaniladi. Shredinger tenglamasi toʻlqin funksiyalarining vaqt oʻtishi bilan qanday rivojlanishini aniqlaydi va toʻlqin funksiyasi boshqa toʻlqinlar, masalan, suv toʻlqinlari yoki ipdagi toʻlqinlar kabi sifat jihatidan harakat qiladi, chunki Shredinger tenglamasi matematik jihatdan toʻlqin tenglamasining bir turidir. Bu „toʻlqin funksiyasi“ nomini tushuntiradi va toʻlqin-zarracha dualizmini keltirib chiqaradi. Biroq, kvant mexanikasidagi toʻlqin funksiyasi klassik mexanik toʻlqinlardan tubdan farq qiladigan turli talqinlarga ochiq boʻlgan fizik hodisani tasvirlaydi.

Bornning relyativistik boʻlmagan kvant mexanikasidagi statistik talqinida toʻlqin funksiyasining kvadrat moduli, zarrachani maʼlum bir joyda — yoki maʼlum bir impulsga ega — maʼlum bir vaqtda oʻlchash ehtimoli zichligi sifatida talqin etiladigan va diskret erkinlik darajalari uchun maʼlum qiymatlarga ega boʻlishi mumkin boʻlgan haqiqiy son. Bu miqdorning integrali, tizimning barcha erkinlik darajalari boʻyicha, ehtimollik talqiniga muvofiq 1 ga teng boʻlishi kerak. Toʻlqin funksiyasi qanoatlantirishi kerak boʻlgan ushbu umumiy talabga normalizatsiya sharti deyiladi. Toʻlqin funksiyasi murakkab qiymatli boʻlganligi sababli, faqat uning nisbiy fazasi va nisbiy kattaligini oʻlchash mumkin — uning qiymati alohida holda, oʻlchanadigan kuzatiluvchilarning kattaliklari yoki yoʻnalishlari haqida hech narsa aytmaydi; ψ toʻlqin funksiyasiga xos qiymatlari oʻlchovlarning mumkin boʻlgan natijalari toʻplamiga mos keladigan kvant operatorlarini qoʻllash va oʻlchanadigan kattaliklar uchun statistik taqsimotlarni hisoblash kerak.

Tarixiy kelib chiqish

1905-yilda Albert Eynshteyn foton chastotasi $f$ va uning energiyasi $E$ oʻrtasidagi proporsionallikni : $E=hf$ va 1916-yilda fotonning impulsi $p$ va toʻlqin uzunligi $\lambda$ oʻrtasidagi mos keladigan munosabat $\lambda ={\frac {h}{p}}$,ni ilgari surdi, bu yerda $h$ Plank doimiysi. 1923-yilda De Broyl bu munosabatni birinchi boʻlib taklif qildi $\lambda ={\frac {h}{p}}$, endi uni De Broyl munosabati deb ataladi, munosabat massiv zarralar uchun amal qiladi, asosiy ishora Lorents oʻzgarmasligi va bu kvant mexanikasining zamonaviy rivojlanishi uchun boshlangʻich nuqta sifatida qaralishi mumkin. Tenglamalar ham massasiz, ham massiv zarralar uchun toʻlqin-zarracha dualizminini ifodalaydi.

1920—1930-yillarda kvant mexanikasi hisob va chiziqli algebra yordamida ishlab chiqilgan. Hisoblash texnikasidan foydalanganlar orasida Lui de Broyl, Ervin Shredinger va boshqalar bor edi, ular „toʻlqin mexanikasi“ ni rivojlantirdilar. Chiziqli algebra usullarini qoʻllaganlar orasida Verner Geyzenberg, Maks Born va boshqalar „matritsa mexanikasi“ni ishlab chiqdilar. Keyinchalik Shredinger bu ikki yondashuv ekvivalent ekanligini koʻrsatdi. 1926-yilda Shredinger hozir uning nomi bilan atalgan mashhur toʻlqin tenglamasi, Shredinger tenglamasini nashr etdi. Bu tenglama kvant operatorlari va de Broyl munosabatlaridan foydalangan holda energiyaning klassik saqlanishiga asoslangan va tenglamaning yechimlari kvant tizimi uchun toʻlqin funksiyalari hisoblanadi. Biroq, hech kim uni qanday talqin qilishni aniq bilmas edi. Dastlab Shredinger va boshqalar toʻlqin funksiyalari toʻlqin funksiyasi katta boʻlgan zarrachalarning koʻp qismi tarqaladigan zarralarni ifodalaydi, deb oʻylashgan. Bu toʻlqin paketining (zarrachani ifodalovchi) nishondan elastik tarqalishi bilan mos kelmasligi koʻrsatilgan; u har tomonga tarqaladi. Tarqalgan zarracha istalgan yoʻnalishda sochilishi mumkin boʻlsa-da, u parchalanmaydi va har tomonga uchib ketmaydi. 1926-yilda Born ehtimollik amplitudasi tushunchasini taqdim etdi. Bu kvant mexanikasi hisoblarini toʻgʻridan-toʻgʻri ehtimollik eksperimental kuzatishlar bilan bogʻlaydi. U kvant mexanikasini Kopengagen talqinining bir qismi sifatida qabul qildi. Kvant mexanikasining boshqa koʻplab talqinlari mavjud. 1927-yilda Xartri va Fok bir-jinsli toʻlqini funksiyasini yechishga urinishda birinchi qadamni qoʻyishdi va oʻz-uzluksizlik siklini ishlab chiqdilar: yechimga yaqinlashish uchun iterativ algoritm. Hozirda u Xartri-Fok usuli sifatida ham tanilgan. Sleyter determinanti va doimiy (matritsaning bo'lagi) Jon C. Slater tomonidan taqdim etilgan usulning bir qismi edi.

Shredinger relyativistik boʻlmagan tenglamani nashr etishdan oldin energiya aylanishini mantiqiy jihatdan qondiradigan toʻlqin funksiyasi uchun tenglamaga duch keldi, lekin manfiy ehtimolliklar va manfiy energiyani bashorat qilgani uchun uni rad etdi. 1927-yilda Klein, Gordon va Fok ham uni topdilar, ammo elektromagnit oʻzaro taʼsirni oʻz ichiga oldilar va uning Lorentz invariantligini isbotladilar. De Broyl ham xuddi shu tenglamaga 1928-yilda kelgan. Ushbu relyativistik toʻlqin tenglamasi hozirda Klein-Gordon tenglamasi sifatida tanilgan. 1927-yilda Pauli fenomenologik jihatdan elektromagnit maydonlardagi spin-1/2 zarrachalarni tasvirlash uchun relyativistik boʻlmagan tenglamani topdi, bu hozirda Pauli tenglamasi deb ataladi. Pauli toʻlqin funksiyasi fazo va vaqtning yagona kompleks funksiyasi bilan tavsiflanmaganligini, lekin fermionning spini +1/2 va −1/2 boʻlgan holatlariga mos keladigan ikkita kompleks songa ehtiyoj borligini aniqladi. Koʻp oʻtmay, 1928-yilda Dirak elektronga qoʻllaniladigan maxsus nisbiylik va kvant mexanikasining birinchi muvaffaqiyatli birlashuvidan tenglamani topdi va bu hozirda Dirak tenglamasi deb ataladi. Bunda toʻlqin funksiyasi toʻrtta murakkab qiymatli komponentlar bilan ifodalangan spinordir ikkita elektron uchun va ikkitasi elektronning antizarrasi, pozitron uchun. Relyativistik boʻlmagan chegarada Dirak toʻlqin funksiyasi elektron uchun Pauli toʻlqin funksiyasiga oʻxshaydi. Keyinchalik boshqa relyativistik toʻlqin tenglamalari topildi.

Zamonaviy nazariyalarda toʻlqin funksiyalari va toʻlqin tenglamalari

Ushbu toʻlqin tenglamalarining barchasi doimiy ahamiyatga ega. Shredinger tenglamasi va Pauli tenglamasi koʻp hollarda relyativistik variantlarning ajoyib yaqinlashuvidir. Ularni amaliy masalalarda hal qilish relativistik oʻxshashlariga qaraganda ancha oson.

Klein-Gordon tenglamasi va Dirak tenglamasi relyativistik boʻlishiga qaramay, kvant mexanikasi va maxsus nisbiylik nazariyasining toʻliq mos kelishini anglatmaydi. Ushbu tenglamalar Shredinger tenglamasi kabi oʻrganiladigan kvant mexanikasi boʻlimi koʻpincha relyativistik kvant mexanikasi deb ataladi, lekin juda muvaffaqiyatli boʻlishi bilan birga, oʻz cheklovlariga (masalan, qarang. Lamb shift) va kontseptual muammolar (masalan, qarang Dirak dengizi) ga ega.

Nisbiylik tizimidagi zarrachalar soni doimiy emasligini muqarrar qiladi. Toʻliq yarashish uchun kvant maydon nazariyasi kerak. Ushbu nazariyada toʻlqin tenglamalari va toʻlqin funksiyalari oʻz oʻrniga ega, ammo biroz boshqacha koʻrinishda. Asosiy qiziqish ob’ektlari toʻlqin funksiyalari emas, balki Gilbert holatlar fazosidagi maydon operatorlari (yoki „operator“ tushuniladigan maydonlar) deb ataladigan operatorlardir (keyingi boʻlimda tasvirlanadi). Maʼlum boʻlishicha, Hilbert fazosini qurish uchun dastlabki relyativistik toʻlqin tenglamalari va ularning yechimlari hali ham zarur. Bundan tashqari, erkin maydonlar operatorlari, yaʼni oʻzaro taʼsirlar mavjud emas deb hisoblanganda, koʻp hollarda maydonlar (toʻlqin funksiyalari) bilan bir xil tenglamani (rasmiy ravishda) qondiradi.

Bu erkin maydon tenglamalari uchun amal qiladi; oʻzaro taʼsirlar kiritilmagan. Agar Lagranjian zichligi (shu jumladan oʻzaro taʼsirlar) mavjud boʻlsa, u holda Lagranj formalizmi klassik darajadagi harakat tenglamasini beradi. Bu tenglama juda murakkab boʻlishi mumkin va uni hal qilish mumkin emas. Har qanday yechim zarrachalarning qatʼiy soniga ishora qiladi va oddiy „birinchi kvantlangan“ kvant nazariyasidagi kabi tashqi potentsiallarni emas, balki zarralarni yaratish va yoʻq qilishni oʻz ichiga olgan ushbu nazariyalarda aytilgan „oʻzaro taʼsir“ atamasini hisobga olmaydi.

String nazariyasida vaziyat oʻxshashligicha qolmoqda. Masalan, impuls fazosidagi toʻlqin funksiyasi keskin aniqlanmagan impulsli zarrachaning (torning) umumiy holatida Furye kengayish koeffitsienti rolini oʻynaydi.

Fazo-vaqt toʻlqin funksiyalari

Zarrachaning holati uning toʻlqin funksiyasi $\Psi (x,t)$ bilan toʻliq tavsiflanadi, bu yerda x — koordinata va t — vaqt. Bu x va t ikkita haqiqiy oʻzgaruvchilarning kompleks qiymatli funksiyasidir.

Bir oʻlchamli fazodagi yakka spinsiz zarracha uchun, agar toʻlqin funksiyasi ehtimollik amplitudasi sifatida talqin qilinsa, toʻlqin funksiyasining kvadrat moduli, ijobiy haqiqiy son boʻlib,

$$\left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=p(x,t),$$

zarraning x da boʻlish ehtimoli zichligi sifatida talqin qilinadi. Yulduzcha murakkab qoʻshmasini bildiradi. Agar zarrachaning joylashuvi aniqlansa, uning joylashishini toʻlqin funksiyasidan aniqlash mumkin emas, lekin ehtimollik taqsimoti bilan tavsiflanadi.

Normirovka sharti

Uning x pozitsiyasining a ≤ x ≤ b oraligʻida boʻlish ehtimoli bu oraliqdagi zichlikning integralidir:

$$P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx$$

bu yerda t — zarracha oʻlchangan vaqt. Bu normirovka shartiga olib keladi:

$$\int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,$$

chunki agar zarracha oʻlchansa, uning biror joyda boʻlish ehtimoli 100 % ga teng.

Berilgan tizim uchun barcha mumkin boʻlgan normalizatsiya qilinadigan toʻlqin funksiyalari toʻplami (har qanday vaqtda) mavhum matematik vektor fazosini hosil qiladi, yaʼni turli xil toʻlqin funksiyalarini bir-biriga qoʻshish va toʻlqin funksiyalarini kompleks raqamlarga koʻpaytirish mumkin (qarang: vektor fazosiga qarang). tafsilotlar). Texnik jihatdan, normalizatsiya sharti tufayli, toʻlqin funksiyalari oddiy vektor fazodan koʻra proyektiv fazoni hosil qiladi. Bu vektor fazosi cheksiz oʻlchovli, chunki har qanday mumkin boʻlgan funksiyani yaratish uchun turli kombinatsiyalarda bir-biriga qoʻshilishi mumkin boʻlgan chekli funksiyalar toʻplami yoʻq. Bundan tashqari, bu Gilbert fazosidir, chunki ikkita toʻlqin funksiyalarining ichki mahsuloti r Ψ₁ va r Ψ₂ kompleks son (t vaqtida) sifatida aniqlanishi mumkin.

$$(\Psi _{1},\Psi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)dx.$$

Ikki toʻlqin funksiyasining ichki yigʻindisi kompleks son boʻlsa-da, toʻlqin funksiyasining Ψ bilan ichki yigʻindisi,

$$\Psi =\sum _{n}a_{n}\Psi _{n}\,,\quad a_{n}={\frac {(\Psi _{n},\Psi )}{(\Psi _{n},\Psi _{n})}}$$

har doim musbat haqiqiy son.

Agar (Ψ, Ψ) = 1 boʻlsa, u holda Ψ. Agar Ψ boʻlsa, u holda uning normasiga boʻlish normalangan funksiyani beradi. Ikki toʻlqin funksiyasi r Ψ₁ va r Ψ₂ ortogonal boʻladi, agar (Ψ₁, Ψ₂) = 0 boʻlsa. Agar ular normallashtirilgan va ortogonal boʻlsa, ular ortonormaldir. Toʻlqin funksiyalarining ortogonalligi (shuning uchun ham ortonormalligi) toʻlqin funksiyalari qondirishi kerak boʻlgan zaruriy shart emas, lekin koʻrib chiqish juda foydali, chunki bu funksiyalarning chiziqli mustaqilligini kafolatlaydi.

Manba va havolalar

• Arons, A. B.; Peppard, M. B. (1965). „Einstein's proposal of the photon concept: A translation of the Annalen der Physik paper of 1905“ (PDF). American Journal of Physics. 33-jild, № 5. 367-bet. Bibcode:1965AmJPh..33..367A. doi:10.1119/1.1971542.
• Atkins, P. W.. Quanta: A Handbook of Concepts, 1974. ISBN 978-0-19-855494-3. 
• Bohr, N.. Niels Bohr - Collected Works: Foundations of Quantum Physics I (1926 - 1932) Kalckar: . Amsterdam: North Holland, 1985. ISBN 978-044453289-3. 
• Born, M. (1926a). „Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange“. Z. Phys. 37-jild, № 12. 863–867-bet. Bibcode:1926ZPhy...37..863B. doi:10.1007/bf01397477.
• Born, M. (1926b). „Quantenmechanik der Stoßvorgange“. Z. Phys. 38-jild, № 11–12. 803–827-bet. Bibcode:1926ZPhy...38..803B. doi:10.1007/bf01397184.
• Born, M. (1927). „Physical aspects of quantum mechanics“. Nature. 119-jild, № 2992. 354–357-bet. Bibcode:1927Natur.119..354B. doi:10.1038/119354a0.
• Born, M. (11–dekabr 1954–yil). „The statistical interpretation of quantum mechanics“. Nobel Lecture. 122-jild, № 3172. Nobel Foundation. 675–9-bet. doi:10.1126/science.122.3172.675. PMID 17798674.{{cite magazine}}: CS1 maint: date format ()
• de Broglie, L. (1923). „Radiations—Ondes et quanta“. Comptes Rendus (fransuzcha). 177-jild. 507–510, 548, 630-bet. {{cite magazine}}: Unknown parameter |trans_title= ignored (|trans-title= suggested) (yordam) Online copy (French) Online copy (English)
• de Broglie, L.. Non-linear Wave Mechanics: a Causal Interpretation. Amsterdam: Elsevier, 1960. 
• Byron, F. W.. Mathematics of Classical and Quantum Physics, revised, Dover Books on Physics, Dover Publications [First published 1969], 1992. ISBN 978-0-486-67164-2. 
• Camilleri, K.. Heisenberg and the Interpretation of Quantum Mechanics: the Physicist as Philosopher. Cambridge UK: Cambridge University Press, 2009. ISBN 978-0-521-88484-6. 
• Conway, J. B.. A Course in Functional Analysis, Graduate Texts in Mathematics. Springer Verlag, 1990. ISBN 978-0-387-97245-9. 
• Dirac, P. A. M. (1939). „A new notation for quantum mechanics“. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 35-jild, № 3. 416–418-bet. Bibcode:1939PCPS...35..416D. doi:10.1017/S0305004100021162.
• Dirac, P. A. M.. The principles of quantum mechanics, 4th, The international series on monographs on physics, Oxford University Press, 1982. ISBN 0-19-852011-5. 
• Einstein, A. (1905). „Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt“. Annalen der Physik (nemischa). 17-jild, № 6. 132–148-bet. Bibcode:1905AnP...322..132E. doi:10.1002/andp.19053220607.
• Einstein, A. (1916). „Zur Quantentheorie der Strahlung“. Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich. 18-jild. 47–62-bet.
• Einstein, A. (1917). „Zur Quantentheorie der Strahlung“. Physikalische Zeitschrift (nemischa). 18-jild. 121–128-bet. Bibcode:1917PhyZ...18..121E.
• Einstein, A.. Albert Einstein: Philosopher-Scientist, 3rd, The Library of Living Philosophers Schilpp: , La Salle Publishing Company, Illinois: Open Court, 1998. ISBN 978-0-87548-133-3. 
• Eisberg, R.. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, 2nd, John Wiley & Sons, 1985. ISBN 978-0-471-87373-0. 
• Greiner, W.. Quantum Electrodynamics, 4th, springer, 2008. ISBN 978-354087560-4. 
• Griffiths, D. J.. Introduction to Quantum Mechanics, 2nd, Essex England: Pearson Education, 2004. ISBN 978-013111892-8. 
• Griffiths, David. Introduction to elementary particles. Wiley-VCH, 2008 — 162ff bet. ISBN 978-3-527-40601-2. 
• ter Haar, D.. The Old Quantum Theory. Pergamon Press, 1967 — 167–183 bet. 
• Hanle, P.A. (1977), „Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory“, Isis, 68 (4): 606–609, doi:10.1086/351880
• Heisenberg, W.. Physics and Philosophy: the Revolution in Modern Science. New York: Harper & Row, 1958. 
• Jaynes, E. T.. Probability Theory: The Logic of Science Larry: . Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521 59271-0. 
• Landau, L.D.. Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, 3rd, Pergamon Press, 1977. ISBN 978-0-08-020940-1.  Online copy
• Lerner, R.G.. Encyclopaedia of Physics, 2nd, VHC Publishers, 1991. ISBN 978-0-89573-752-6. 
• Ludwig, G.. Wave Mechanics. Oxford UK: Pergamon Press, 1968. ISBN 978-0-08-203204-5. 
• Martin, B.R.. Particle Physics, 3rd, Manchester Physics Series, John Wiley & Sons, 2008. ISBN 978-0-470-03294-7. 
• Murdoch, D.. Niels Bohr's Philosophy of Physics. Cambridge UK: Cambridge University Press, 1987. ISBN 978-0-521-33320-7. 
• Newton, R.G.. Quantum Physics: a Text for Graduate Student. New York: Springer, 2002. ISBN 978-0-387-95473-8. 
• Pauli, Wolfgang (1927). „Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons“. Zeitschrift für Physik (nemischa). 43-jild, № 9–10. 601–623-bet. Bibcode:1927ZPhy...43..601P. doi:10.1007/bf01397326.
• Peleg, Y.. Quantum mechanics, 2nd, Schaum's outlines, McGraw Hill, 2010. ISBN 978-0-07-162358-2. 
• Rae, A.I.M.. Quantum Mechanics, 5th, Taylor & Francis Group, 2008. ISBN 978-1-5848-89700. 
• Schrödinger, E. (1926). „An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules“ (PDF). Physical Review. 28-jild, № 6. 1049–1070-bet. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049. 17–dekabr 2008–yilda asl nusxadan (PDF) arxivlandi.{{cite magazine}}: CS1 maint: date format () (Wayback Machine saytida 2008-12-17 sanasida arxivlangan)
• Shankar, R.. Principles of Quantum Mechanics, 2nd, 1994. ISBN 978-030644790-7. 
• Tipler, P. A.. Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics, 6th, 2008. ISBN 978-0-7167-8964-2. 
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, 1-jild, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, S. (2013), Lectures in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02872-2
• Wheeler, J.A.. Quantum Theory and Measurement. Princeton NJ: Princeton University Press, 1983. 
• Young, H. D.. Sears' and Zemansky's University Physics, 12th Pearson: , Addison-Wesley, 2008. ISBN 978-0-321-50130-1. 
• Zettili, N.. Quantum Mechanics: Concepts and Applications, 2nd, 2009. ISBN 978-0-470-02679-3. 
• Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge University Press, 2009. ISBN 978-0-521-88032-9. 
• G.Ahmedova „Atom fizikasi“