Tomson muammosi

Tomson muammosining maqsadi birlik sharning yuzasi bilan chegaralangan, Kulon qonunida berilgan kuch bilan bir-biridan itariladigan N elektron uchun elektrostatik zaryadning umumiy potentsial energiyasining minimal konfiguratsiyasini aniqlashdir. Fizik J. J. Tomson bu muammoni 1904-yilda qoʻygan. u neytral zaryadlangan atomlarda manfiy zaryadlangan elektronlar mavjudligi haqidagi bilimiga asoslanib, keyinchalik puding modeli deb ataladigan atom modelini taklif qilganidan keyin^[1].

Tegishli muammolarga minimal energiya konfiguratsiyasining geometriyasini oʻrganish va katta N dagi N minimal energiyaning harakatini oʻrganish kiradi^[2].

Matematik formula

Tomson masalasida mujassamlangan fizik tizim matematik Stiven Smeyl tomonidan taklif qilingan oʻn sakkizta hal etilmagan matematik muammolardan biri – „Sferada nuqtalarning taqsimlanishi“ ning alohida holatidir. Har bir N elektron muammoning yechimi birlik radiusli shar yuzasi bilan chegaralangan N elektronning konfiguratsiyasi r = 1 elektrostatik potentsial energiya U(N) global minimumini berganda olinadi^[3].

Teng zaryadli elektronlarning har bir jufti oʻrtasida yuzaga keladigan elektrostatik oʻzaro taʼsir energiyasi ( $e_{i}=e_{j}=e$ , elektronning elementar zaryadi) Kulon qonuni bilan aniqlanadi,

Bu yerga $k_{e}$ Kulon doimiysi va $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ vektorlar bilan aniqlangan sferadagi nuqtalarda joylashgan elektronlarning har bir jufti orasidagi masofa ${r}_{i}$ va ${r}_{j}$ mos ravishda.

${U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}.}$

Soddalashtirilgan birliklar $e=1$ va $k_{e}=1$ asosiy maʼnosini yoʻqotmasdan qoʻllanadi. Keyin,

${\ U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

Har bir N-elektron konfiguratsiyasining elektrostatik zaryadining umumiy potentsial energiyasi barcha juft oʻzaro taʼsirlarning yigʻindisi sifatida ifodalanishi mumkin.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

N xil nuqtalarning barcha mumkin boʻlgan toʻplamlari boʻyicha global minimallashtirish odatda raqamli minimallashtirish algoritmlari bilan topiladi.

Misol

Ikki elektron uchun Tomson muammosining yechimi ikkala elektron ham kelib chiqishining qarama-qarshi tomonlarida bir-biridan imkon qadar uzoqroqda joylashganda olinadi, ${\displaystyle r_{ij}=2r=2}$ , yoki

{\displaystyle U(2)={1 \over 2}.}

Maʼlum yechimlar

N = 5 elektrongacha boʻlgan matematik Tomson masalasining sxematik geometrik yechimlari.

Minimal energiya konfiguratsiyasi faqat bir nechta hollarda qatʼiy belgilangan.

N = 1 uchun yechim ahamiyatsiz, chunki elektron birlik sferasi yuzasining istalgan nuqtasida joylashgan boʻlishi mumkin. Konfiguratsiyaning umumiy energiyasi nolga teng, chunki elektron boshqa zaryad manbalari tufayli elektr maydoniga taʼsir qilmaydi.
N = 2 uchun optimal konfiguratsiya antipodal nuqtalardagi elektronlardan iborat.
N = 3 uchun elektronlar teng tomonli uchburchakning uchlarida katta aylana atrofida joylashgan.
N = 4 uchun elektronlar muntazam tetraedrning uchlarida joylashgan.
N = 5 uchun 2010-yilda uchburchak dipiramidaning uchlarida joylashgan elektronlar bilan matematik jihatdan qatʼiy kompyuter yechimi olingan.
N = 6 uchun elektronlar muntazam oktaedrning uchlarida joylashgan.
N = 12 uchun elektronlar muntazam ikosahedrning uchlarida joylashgan.

Shunisi eʼtiborga loyiqki, N = 4, 6 va 12 elektronlar uchun Tomson masalasining geometrik yechimlari yuzlari teng teng tomonli uchburchaklar boʻlgan Platonik qattiq jismlar deb nomlanadi. N = 8 va 20 uchun raqamli echimlar qolgan ikkita Platonik qattiq jismning muntazam konveks koʻp qirrali konfiguratsiyasi emas, ularning yuzlari mos ravishda kvadrat va beshburchakdir.

Umumlashtirish

Bundan tashqari, ixtiyoriy potentsiallar bilan oʻzaro taʼsir qiluvchi zarralarning asosiy holatlarini soʻrash mumkin. Matematik jihatdan aniq boʻlishi uchun f kamayuvchi real funksiya boʻlsin. Biz energiya funksiyasini aniqlaymiz $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Anʼanaviy tarzda koʻrib chiqiladi ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$ Riesz yadrosi sifatida ham tanilgan. Integral boʻlmagan Riesz yadrolari uchun koʻknori donut teoremasi amal qiladi. Diqqatga sazovor holatlarga a = ∞, Tammes muammosi kiradi ; a = 1, Tomson muammosi; a = 0, Uayt muammosi (masofalar mahsulotini maksimallashtirish uchun).

Boshqa ilmiy masalalar bilan aloqasi

Tomson muammosi Tomsonning olxoʻri puding modelining bir xil musbat fon zaryadi yoʻqligida tabiiy natijasidir.

"Atom haqida topilgan hech qanday fakt ahamiyatsiz boʻlishi mumkin emas va fizika fanining rivojlanishini tezlashtirishi mumkin, chunki tabiiy falsafaning aksariyati atomning tuzilishi va mexanizmining natijasidir".

Eksperimental maʼlumotlar atomning toʻliq modeli sifatida Tomson puding modelidan voz kechishga olib kelgan boʻlsa-da, Tomson muammosining raqamli energiya yechimlarida kuzatilgan bir jinslilik davriy davr mobaynida elektron qobiqning tabiiy atomlar bilan toʻldirilishiga mos kelishi aniqlandi. elementlar jadvali.

Tomson muammosi, shuningdek, boshqa jismoniy modellarni, jumladan, koʻp elektronli pufakchalarni va Pol tuzoqlarida tutilgan suyuq metall tomchilarining sirt tartibini oʻrganishda ham rol oʻynaydi.

Umumiy Tomson muammosi, masalan, sferik viruslarning konvertlarini tashkil etuvchi oqsil boʻlinmalarining joylashishini aniqlashda paydo boʻladi. Bu holda „zarralar“ qobiqda joylashgan oqsil boʻlinmalarining klasterlaridir. Boshqa misollar orasida dorilar, ozuqa moddalari yoki tirik hujayralar kabi faol moddalarni, uglerod atomlarining fulleren tuzilmalarini va elektron juft repulsiya nazariyasini oʻz ichiga olgan kolloidosomalardagi kolloid zarrachalarning muntazam joylashishi kiradi. Uzoq masofali logarifmik oʻzaro taʼsirlarga misol qilib, markazda katta elektromagnit maydonga ega boʻlgan oʻta oʻtkazuvchan metall qobiqda past haroratlarda hosil boʻladigan Abrikosov girdoblari boʻlishi mumkin.

Maʼlum boʻlgan eng past energiya konfiguratsiyalari

Quyidagi jadval $N$ – konfiguratsiyadagi nuqtalar (toʻlovlar) soni, $E_{1}$ – energiya, simmetriya turi Schoenflies yozuvida koʻrsatilgan (qarang. Uch oʻlchamdagi nuqta guruhlari), $r_{i}$ toʻlovlarning pozitsiyalari. Simmetriyaning aksariyat turlari pozitsiyalarning vektor yigʻindisi (va shuning uchun elektr dipol momenti) nolga teng boʻlishini talab qiladi.

Shuningdek, nuqtalarning konveks korpusidan hosil boʻlgan koʻpburchakni hisobga olish odatiy holdir. Shunday qilib, $v_{i}$ berilgan chekkalar soni sodir boʻlgan choʻqqilar soni, $e$ qovurgʻalarning umumiy soni, $f_{3}$ uchburchak yuzlar soni, $f_{4}$ – toʻrtburchak yuzlar va $\theta _{1}$ eng yaqin zaryad juftligi bilan bogʻlangan vektorlar bilan ifodalangan eng kichik burchak. Eʼtibor bering, chekka uzunliklari odatda teng emas; shuning uchun (N = 4, 6, 12, 24 holatlardan tashqari) qavariq korpus faqat topologik jihatdan bir hil koʻpburchak yoki Jonson tanasiga teng. Ikkinchisi oxirgi ustunda keltirilgan.

N	E₁	Simmetriya	${\displaystyle \left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|}$	${\displaystyle v_{3}}$
2	0,500000000	$D_{\infty h}$	0	—
3	1,732050808	$D_{3h}$	0	—
4	3,674234614	$T_{d}$	0	4
5	6,474691495	$D_{3h}$	0	2
6	9,985281374	$O_{h}$	0	0
7	+14,452977414	$D_{5h}$	0	0
8	+19,675287861	$D_{4d}$	0	0
9	+25,759986531	$D_{3h}$	0	0
10	+32,716949460	$D_{4d}$	0	0
11	+40,596450510	$C_{2v}$	0,013219635	0
12	+49,165253058	$I_{h}$	0	0
13	+58,853230612	$C_{2v}$	0,008820367	0
14	+69,306363297	$D_{6d}$	0	0
15	+80,670244114	$D_{3}$	0	0
16	+92,911655302	$T$	0	0
17	+106,050404829	$D_{5h}$	0	0
18	+120,084467447	$D_{4d}$	0	0
19	+135,089467557	$C_{2v}$	0,000135163	0
20	+150,881568334	$D_{3h}$	0	0
21	+167,641622399	$C_{2v}$	0,001406124	0
22	+185,287536149	$T_{d}$	0	0
23	+203,930190663	$D_{3}$	0	0
24	+223,347074052	$O$	0	0
25	+243,812760299	$C_{S}$	0,001021305	0
26	+265,133326317	$C_{2}$	0,001919065	0
27	+287,302615033	$D_{5h}$	0	0
28	+310,491542358	$T$	0	0
29	+334,634439920	$D_{3}$	0	0
30	+359,603945904	$D_{2}$	0	0
31	+385,530838063	$C_{3v}$	0,003204712	0
32	+412,261274651	$I_{h}$	0	0
33	+440,204057448	$C_{s}$	0,004356481	0
34	+468,904853281	$D_{2}$	0	0
35	+498,569872491	$C_{2}$	0,000419208	0
36	+529,122408375	$D_{2}$	0	0
37	+560,618887731	$D_{5h}$	0	0
38	+593,038503566	$D_{6d}$	0	0
39	+626,389009017	$D_{3h}$	0	0
40	+660,675278835	$T_{d}$	0	0
41	+695,916744342	$D_{3h}$	0	0
42	+732,078107544	$D_{5h}$	0	0
43	+769,190846459	$C_{2v}$	0,000399668	0
44	+807,174263085	$O_{h}$	0	0
45	+846,188401061	$D_{3}$	0	0
46	+886,167113639	$T$	0	0
47	+927,059270680	$C_{s}$	0,002482914	0
48	+968,713455344	$O$	0	0
49	+1011,557182654	$C_{3}$	0,001529341	0
50	+1055,182314726	$D_{6d}$	0	0
51	+1099,819290319	$D_{3}$	0	0
52	+1145,418964319	$C_{3}$	0,000457327	0
53	+1191,922290416	$C_{2v}$	0,000278469	0
54	+1239,361474729	$C_{2}$	0,000137870	0
55	+1287,772720783	$C_{2}$	0,000391696	0
56	+1337,094945276	$D_{2}$	0	0
57	+1387,383229253	$D_{3}$	0	0
58	+1438,618250640	$D_{2}$	0	0
59	+1490,773335279	$C_{2}$	0,000154286	0
60	+1543,830400976	$D_{3}$	0	0
61	+1597,941830199	$C_{1}$	0,001091717	0
62	+1652,909409898	$D_{5}$	0	0
63	+1708,879681503	$D_{3}$	0	0
64	+1765,802577927	$D_{2}$	0	0
65	+1823,667960264	$C_{2}$	0,000399515	0
66	+1882,441525304	$C_{2}$	0,000776245	0
67	+1942,122700406	$D_{5}$	0	0
68	+2002,874701749	$D_{2}$	0	0
69	+2064,533483235	$D_{3}$	0	0
70	+2127,100901551	$D_{2d}$	0	0
71	+2190,649906425	$C_{2}$	0,001256769	0
72	+2255,001190975	$I$	0	0
73	+2320,633883745	$C_{2}$	0,001572959	0
74	+2387,072981838	$C_{2}$	0,000641539	0
75	+2454,369689040	$D_{3}$	0	0
76	+2522,674871841	$C_{2}$	0,000943474	0
77	+2591,850152354	$D_{5}$	0	0
78	+2662,046474566	$T_{h}$	0	0
79	+2733,248357479	$C_{s}$	0,000702921	0
80	+2805,355875981	$D_{4d}$	0	0
81	+2878,522829664	$C_{2}$	0,000194289	0
82	+2952,569675286	$D_{2}$	0	0
83	+3027,528488921	$C_{2}$	0,000339815	0
84	+3103,465124431	$C_{2}$	0,000401973	0
85	+3180,361442939	$C_{2}$	0,000416581	0
86	+3258,211605713	$C_{2}$	0,001378932	0
87	+3337,000750014	$C_{2}$	0,000754863	0
88	+3416,720196758	$D_{2}$	0	0
89	+3497,439018625	$C_{2}$	0,000070891	0
90	+3579,091222723	$D_{3}$	0	0
91	+3661,713699320	$C_{2}$	0,000033221	0
92	+3745,291636241	$D_{2}$	0	0
93	+3829,844338421	$C_{2}$	0,000213246	0
94	+3915,309269620	$D_{2}$	0	0
95	+4001,771675565	$C_{2}$	0,000116638	0
96	+4089,154010060	$C_{2}$	0,000036310	0
97	+4177,533599622	$C_{2}$	0,000096437	0
98	+4266,822464156	$C_{2}$	0,000112916	0
99	+4357,139163132	$C_{2}$	0,000156508	0
100	+4448,350634331	$T$	0	0
101	+4540,590051694	$D_{3}$	0	0
102	+4633,736565899	$D_{3}$	0	0
103	+4727,836616833	$C_{2}$	0,000201245	0
104	+4822,876522746	$D_{6}$	0	0
105	+4919,000637616	$D_{3}$	0	0
106	+5015,984595705	$D_{2}$	0	0
107	+5113,953547724	$C_{2}$	0,000064137	0
108	+5212,813507831	$C_{2}$	0,000432525	0
109	+5312,735079920	$C_{2}$	0,000647299	0
110	+5413,549294192	$D_{6}$	0	0
111	+5515,293214587	$D_{3}$	0	0
112	+5618,044882327	$D_{5}$	0	0
113	+5721,824978027	$D_{3}$	0	0
114	+5826,521572163	$C_{2}$	0,000149772	0
115	+5932,181285777	$C_{3}$	0,000049972	0
116	+6038,815593579	$C_{2}$	0,000259726	0
117	+6146,342446579	$C_{2}$	0,000127609	0
118	+6254,877027790	$C_{2}$	0,000332475	0
119	+6364,347317479	$C_{2}$	0,000685590	0
120	+6474,756324980	$C_{s}$	0,001373062	0
121	+6586,121949584	$C_{3}$	0,000838863	0
122	+6698,374499261	$I_{h}$	0	0
123	+6811,827228174	$C_{2v}$	0,001939754	0
124	+6926,169974193	$D_{2}$	0	0
125	+7041,473264023	$C_{2}$	0,000088274	0
126	+7157,669224867	$D_{4}$	0	0
127	+7274,819504675	$D_{5}$	0	0
128	+7393,007443068	$C_{2}$	0,000054132	0
129	+7512,107319268	$C_{2}$	0,000030099	0
130	+7632,167378912	$C_{2}$	0,000025622	0
131	+7753,205166941	$C_{2}$	0,000305133	0
132	+7875,045342797	$I$	0	0
133	+7998,179212898	$C_{3}$	0,000591438	0
134	+8122,089721194	$C_{2}$	0,000470268	0
135	+8246,909486992	$D_{3}$	0	0
136	+8372,743302539	$T$	0	0
137	+8499,534494782	$D_{5}$	0	0
138	+8627,406389880	$C_{2}$	0,000473576	0
139	+8756,227056057	$C_{2}$	0,000404228	0
140	+8885,980609041	$C_{1}$	0,000630351	0
141	+9016,615349190	$C_{2v}$	0,000376365	0
142	+9148,271579993	$C_{2}$	0,000550138	0
143	+9280,839851192	$C_{2}$	0,000255449	0
144	+9414,371794460	$D_{2}$	0	0
145	+9548,928837232	$C_{s}$	0,000094938	0
146	+9684,381825575	$D_{2}$	0	0
147	+9820,932378373	$C_{2}$	0,000636651	0
148	+9958,406004270	$C_{2}$	0,000203701	0
149	+10096,859907397	$C_{1}$	0,000638186	0
150	+10236,196436701	$T$	0	0
151	+10376,571469275	$C_{2}$	0,000153836	0
152	+10517,867592878	$D_{2}$	0	0
153	+10660,082748237	$D_{3}$	0	0
154	+10803,372421141	$C_{2}$	0,000735800	0
155	+10947,574692279	$C_{2}$	0,000603670	0
156	+11092,798311456	$C_{2}$	0,000508534	0
157	+11238,903041156	$C_{2}$	0,000357679	0
158	+11385,990186197	$C_{2}$	0,000921918	0
159	+11534,023960956	$C_{2}$	0,000381457	0
160	+11683,054805549	$D_{2}$	0	0
161	+11833,084739465	$C_{2}$	0,000056447	0
162	+11984,050335814	$D_{3}$	0	0
163	+12136,013053220	$C_{2}$	0,000120798	0
164	+12288,930105320	$D_{2}$	0	0
165	+12442,804451373	$C_{2}$	0,000091119	0
166	+12597,649071323	$D_{2d}$	0	0
167	+12753,469429750	$C_{2}$	0,000097382	0
168	+12910,212672268	$D_{3}$	0	0
169	+13068,006451127	$C_{s}$	0,000068102	0
170	+13226,681078541	$D_{2d}$	0	0
171	+13386,355930717	$D_{3}$	0	0
172	+13547,018108787	$C_{2v}$	0,000547291	0
173	+13708,635243034	$C_{s}$	0,000286544	0
174	+13871,187092292	$D_{2}$	0	0
175	+14034,781306929	$C_{2}$	0,000026686	0
176	+14199,354775632	$C_{1}$	0,000283978	0
177	+14364,837545298	$D_{5}$	0	0
178	+14531,309552587	$D_{2}$	0	0
179	+14698,754594220	$C_{1}$	0,000125113	0
180	+14867,099927525	$D_{2}$	0	0
181	+15036,467239769	$C_{2}$	0,000304193	0
182	+15206,730610906	$D_{5}$	0	0
183	+15378,166571028	$C_{1}$	0,000467899	0
184	+15550,421450311	$T$	0	0
185	+15723,720074072	$C_{2}$	0,000389762	0
186	+15897,897437048	$C_{1}$	0,000389762	0
187	+16072,975186320	$D_{5}$	0	0
188	+16249,222678879	$D_{2}$	0	0
189	+16426,371938862	$C_{2}$	0,000020732	0
190	+16604,428338501	$C_{3}$	0,000586804	0
191	+16783,452219362	$C_{1}$	0,001129202	0
192	+16963,338386460	$I$	0	0
193	+17144,564740880	$C_{2}$	0,000985192	0
194	+17326,616136471	$C_{1}$	0,000322358	0
195	+17509,489303930	$D_{3}$	0	0
196	+17693,460548082	$C_{2}$	0,000315907	0
197	+17878,340162571	$D_{5}$	0	0
198	+18064,262177195	$C_{2}$	0,000011149	0
199	+18251,082495640	$C_{1}$	0,000534779	0
200	+18438,842717530	$D_{2}$	0	0
201	+18627,591226244	$C_{1}$	0,001048859	0
202	+18817,204718262	$D_{5}$	0	0
203	+19007,981204580	$C_{s}$	0,000600343	0
204	+19199,540775603	$T_{h}$	0	0
212	+20768,053085964	$I$	0	0
214	+21169,910410375	$T$	0	0
216	+21575,596377869	$D_{3}$	0	0
217	+21779,856080418	$D_{5}$	0	0
232	+24961,252318934	$T$	0	0
255	+30264,424251281	$D_{3}$	0	0
256	+30506,687515847	$T$	0	0
257	+30749,941417346	$D_{5}$	0	0
272	+34515,193292681	$I_{h}$	0	0
282	+37147,294418462	$I$	0	0
292	+39877,008012909	$D_{5}$	0	0
306	+43862,569780797	$T_{h}$	0	0
312	+45629,313804002	$C_{2}$	0,000306163	0
315	+46525,825643432	$D_{3}$	0	0
317	+47128,310344520	$D_{5}$	0	0
318	+47431,056020043	$D_{3}$	0	0
334	+52407,728127822	$T$	0	0
348	+56967,472454334	$T_{h}$	0	0
357	+59999,922939598	$D_{5}$	0	0
358	+60341,830924588	$T$	0	0
372	+65230,027122557	$I$	0	0
382	+68839,426839215	$D_{5}$	0	0
390	+71797,035335953	$T_{h}$	0	0
392	+72546,258370889	$I$	0	0
400	+75582,448512213	$T$	0	0
402	+76351,192432673	$D_{5}$	0	0
432	+88353,709681956	$D_{3}$	0	0
448	+95115,546986209	$T$	0	0
460	+100351,763108673	$T$	0	0
468	+103920,871715127	$S_{6}$	0	0
470	+104822,886324279	$S_{6}$	0	0

Manbalar

↑ Томсон, Джозеф Джон (март 1904 г.). «О структуре атома: исследование устойчивости и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных через равные интервалы вокруг окружности круга; с применением результатов к теории атомной структуры» (PDF). Философский Журнал. Серия 6. 7 (39): 237—265. doi : 10.1080 / 14786440409463107. Архивировано из оригинального(PDF) 13 декабря 2013 года..
↑ Смейл, С. (1998)."Математические проблемы будущего века". «Математический интеллект»..
↑ [«Стабильное расположение электронов в атоме» „Matematika“].

[1] Томсон, Джозеф Джон (март 1904 г.). «О структуре атома: исследование устойчивости и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных через равные интервалы вокруг окружности круга; с применением результатов к теории атомной структуры» (PDF). Философский Журнал. Серия 6. 7 (39): 237—265. doi : 10.1080 / 14786440409463107. Архивировано из оригинального(PDF) 13 декабря 2013 года..

[2] Смейл, С. (1998)."Математические проблемы будущего века". «Математический интеллект»..

[3] [«Стабильное расположение электронов в атоме» „Matematika“].

[1]

[2]

[3]