Umumiy kuchlar

Analitik mexanikada (ayniqsa , Lagranj mexanikasida) umumlashgan kuchlar umumlashtirilgan koordinatalar bilan koʻpaytiriladi. Ular konfiguratsiyasi umumlashtirilgan koordinatalar boʻyicha aniqlangan tizimga taʼsir qiluvchi F_i, i = 1, …, n qoʻllaniladigan kuchlardan olinadi. Virtual ishni shakllantirishda har bir umumlashtirilgan kuch umumlashtirilgan koordinataning oʻzgarish koeffitsienti hisoblanadi.

Virtual ish

Umumlashtirilgan kuchlarni qoʻllaniladigan kuchlarning virtual ishini- δW hisoblashdan olish mumkin.

P_i, i = 1, ..., n zarralarga taʼsir etuvchi F_i kuchlarning virtual ishi quyidagicha ifodalanadi:

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}$

Bu yerda δr_i — P_i zarrachaning virtual siljishi .

Umumiy koordinatalar

Har bir zarrachaning joylashuv vektorlari r_i umumlashtirilgan koordinatalarning funksiyasi boʻlsin, q_j, j = 1, ..., m . Keyin virtual siljishlar δr_i tomonidan beriladi:

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,$

Bu yerda δq_j — umumlashtirilgan koordinata q_j ning virtual siljishi.

Zarrachalar tizimi uchun virtual ish boʻladi

$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.$

δq_j koeffitsientlarini shunday yigʻiladi:

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.$

Umumiy kuchlar

Zarrachalar sistemasining virtual ishi shaklda yozilishi mumkin

$\delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m},$

bu yerda

$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,$

umumlashgan koordinatalar q_j, j = 1, ..., m bilan bogʻlangan umumlashgan kuchlar deyiladi.

Tezlikni shakllantirish

Virtual ish prinsipini qoʻllashda koʻpincha tizimning tezligidan virtual siljishlarni olish qulay. n zarracha sistemasi uchun har bir P _i zarraning tezligi V_i boʻlsin, u holda virtual siljish δr_i koʻrinishda ham yozilishi mumkin:

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.$

Demak, umumlashgan kuch Q_j ham quyidagicha aniqlash mumkin

$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$

D’Alember prinsipi

D’Alember zarrachaning dinamikasini D’Alember prinsipi deb ataladigan inertsiya kuchi (koʻrinadigan kuch) bilan qoʻllaniladigan kuchlarning muvozanati sifatida shakllantirdi. m_i massali zarrachaning inertsiya kuchi P_i

$\mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,$

bu yerda A_i zarrachaning tezlanishi.

Agar zarralar tizimining konfiguratsiyasi umumlashtirilgan koordinatalarga bogʻliq boʻlsa q_j, j = 1, ..., m, u holda umumlashtirilgan inersiya kuchi quyidagicha ifodalanadi:

$Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$

D’Alembertning virtual ish rentabelligi prinsipi shakli:

$\delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}.$