Erkin zarraning harakati

Erkin zarra — harakatiga tashqi kuchlar taʼsir qilmaydigan zarra.

Soddalik uchun bir oʻlchamli fazodagi harakatni koʻrib chiqaylik. Bu hol uchun Shredinger tenglamasidagi Gamilton operatori ${\hat {H}}$ ni quyidagi koʻrinishda yozish mumkin:

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$

$-{\dfrac {\hbar }{i}}{\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\dfrac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}$

Shuningdek,

$\Psi (x,t)=e^{-(i/\hbar )Wt}\Psi _{0}(x)$

ekanligini hisobga olgan holda, $\Psi _{0}(x)$ uchun quyidagini hosil qilamiz:

${\dfrac {{\text{d}}^{2}\Psi _{0}}{{\text{d}}x^{2}}}+{\dfrac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}W\Psi _{0}=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

Yuqoridagi tenglamaning yechimi

$\Psi _{0}=Ae^{(i/\hbar )p_{x}x}+Be^{-(i/\hbar )p_{x}x},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

koʻrinishida boʻladi.

Bu yerda, erkin zarraning impulsi $p_{x}$ uning energiyasi $W$ bilan $p_{x}={\sqrt {2m_{0}W}}$ munosabat orqali bogʻlangan. $A$ va $B$ kattaliklar — ixtiyoriy oʻzgarmas sonlar.

(3) tenglamadagi birinchi had zarraning $x$ oʻqining musbat yoʻnalishi boʻylab harakatini ifodalaydi, ikkinchi had esa $x$ oʻqining manfiy yoʻnalishi boʻylab harakatini ifodalaydi.

(2) tenglama $W$ energiyaning istalgan qiymatida bir qiymatli, chegaralangan va uzluksiz yechimga ega. Bundan kelib chiqadiki, erkin elektronning energetik spektri uzluksiz ekan, yaʼni erkin zarra energiyasi istalgan qiymatni qabul qila olishi mumkin.

Yuqorida aytilganlardan kelib chiqadiki, erkin zarra uchun Poisson qavslari nolga teng boʻladi:

$\left[{\hat {H}},{\hat {p}}_{x}\right]=0,\ \ \ \ \ \ \ (4)$

Bundan xulosa qilish mumkinki, erkin zarra impulsi harakat integrali ekan, yaʼni erkin zarra impulsi aniq bir doimiy qiymatga ega boʻlar ekan.

Boshqa tomondan, (4) tengalamadan koʻrinib turibdiki, erkin zarra uchun toʻla energiya operatori va impuls operatori kommutatsiyalanadi. Yaʼni, erkin zarra energiyasi va uning impulsi bir vaqtda oʻlchanadigan kattaliklar hisoblanadi.

Davriy uzunlik boʻyicha normallash

Erkin zarra xususiy energiyasining spektri uzluksiz boʻlgani tufayli, xususiy funksiyasini 1 birlikka normallashning imkoni yoʻq, yaʼni

$\int \limits _{\infty }^{+\infty }\Psi ^{*}\Psi {\text{d}}x=A^{2}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\text{d}}x=\infty ,\ \ \ \ \ (5)$

Natijada $\delta$ -funksiyani normallash shartidan foydalanishga toʻgʻri keladi. Biroq amalda bu usuldan koʻra davriylik uzunligi boʻyicha normallash usulidan foydalanish qulayroq. Bu usulni quyidagicha tavsiflash mumkin. Aytaylik, bizni zarraning $L$ uzunlikka teng boʻlgan sohadagi harakati qiziqtiradi. Bu holda cheksiz fazoni emas, faqatgina shu chegaralangan $L$ sohani qarashning oʻzi kifoya. Bu sohadan tashqarida toʻlqin funksiyani davriy ravishda takrorlanadi, deb qarash mumkin, boshqacha aytganda toʻlqin funksiyani davriy funksiya koʻrinishida quyidagicha yozishimiz mumkin:

$\Psi _{0}(x+L)=\Psi _{0}(x),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$

Endi zarrani (6) shart bilan chegaralangan, deb qarash mumkin. U holda zarra endi erkin zarra boʻlmay qoladi hamda uning energetik spektri endi uzluksiz emas, balki diskret qiymatlarni qabul qiladi. Umuman olganda, bu $L$ masofani qanchalik katta tanlashimizga bogʻliq boʻlib, $L$ ning yetarlicha katta qiymatlarida zarrani erkin deb qarashimiz mumkin. (4) ni hisobga olgan holda zarra toʻlqin funksiyasini yozamiz:

$Ae^{i/\hbar (x+L)p_{x}}=Ae^{i/\hbar xp_{x}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$

yoki

$e^{i/\hbar p_{x}L}=1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)$

Koʻrinib turibdiki, $p_{x}$ ixtiyoriy qiymatlarni qabul qila olmaydi, faqatgina diskret qiymatlar toʻplamini $p_{xn}$ qabul qila olishi mumkin. Bu diskret qiymatlar esa (8) asosida olingan quyidagi shart orqali aniqlanadi:

$p_{xn}={\dfrac {2\pi h}{L}}n_{x},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9)$

bu yerda $n_{x}$ — butun son. Shunday qilib, (6) davriylik sharti kiritilishi natijasida biz uzluksiz spektrdan diskret energiya qiymatlariga oʻtdik:

$W_{n}={\dfrac {p_{xn}^{2}}{2m_{0}}}={\dfrac {2\pi ^{2}h^{2}}{L^{2}m_{0}}}n_{x}^{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)$

Energiyaning diskret qiymatlarida ortonormallik shartidan foydalanishimiz mumkin:

$\delta _{nn'}=\int \limits _{-1/2L}^{+1/2L}\Psi _{0n'}^{*}\Psi _{0n}{\text{d}}x=A^{2}\int \limits _{-1/2L}^{1/2L}e^{{\dfrac {2\pi i}{L}}(n-n')x}{\text{d}}x=A^{2}L{\dfrac {\sin \pi (n-n')}{\pi (n-n')}}={\begin{cases}A^{2}L,\qquad n=n'\ {\text{bo`lsa,}}\\0,\ \qquad \ \ \ n\neq n'\ {\text{bo`lsa}}\end{cases}},\ \ \ \ \ \ \ (11)$

Bundan kelib chiqadiki,

$A^{2}L=1,\qquad \ A={\dfrac {1}{\sqrt {L}}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12)$

U holda ortonormal funksiyalar sistemasini quyidagi koʻrinishda yozish mumkin:

${\begin{cases}\Psi _{0n}(x)={\dfrac {1}{\sqrt {L}}}e^{i/\hbar p_{xn}x}={\dfrac {1}{\sqrt {L}}}e^{ik_{xn}x}\\p_{xn}={\dfrac {2\pi h}{L}}n_{x},\qquad \ k_{xn}={\dfrac {2\pi }{L}}n_{x}\end{cases}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (13)$

(10) formuladan foydalangan holda, $L$ ning makroskopik oʻlchamlari uchun $W_{n}$ ning diskret qiymatlari bir-biriga juda yaqin holatda, deyarli uzluksiz spektrga qoʻshilib ketgan boʻlishini koʻrish mumkin. Bu orqali, biz hisoblashlarni sodda koʻrinishga keltiramiz va tajribada olingan natijalarni umumlashtirish ham ancha qulay boʻlib qoladi, biroq bu soddalashtirish, xatolikning biroz oshishiga olib keladi.

Manbalar

Tipler, Paul & Ralph Llewellyn, Modern Physics (4th ed.). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0

Gerald Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5.

Wiswesser, William J. , „The Periodic System and Atomic Structure I. An Elementary Physical Approach“. Journal of Chemical Education. 22 (7): 314-322.

Gallagher, Thomas F., Rydberg Atoms. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-02166-1.

Matveev A. N., Quantum mechanics and structure of atoms, Moscow, High School Press., 1985, (translated to eng. 1990), pp 119-122
Kachnelson, M.I, Polikarpov A. F.,Introduction to Atomic Physics, M., 2017, pp 119-125

Yana qarang