To'g'ri burchakli potensial o'ra

Toʻgʻri burchakli potensial oʻra

Aytaylik, elektron cheksiz chuqur, toʻgʻri burchakli bir oʻlchamli, kengligi $\ell$ ga teng boʻlgan potensial oʻrada asosiy holatda turgan boʻlsin ($0<x<\ell$). Zarraning $0<x<\ell /3$; $\ell /3<x<2\ell /3$; $2\ell /3<x<\ell$ oraliqlarda topilish ehtimolliklarini hisoblaylik.

Schr${\ddot {\text{o}}}$dingerning statsionar tenglamasini yozib olamiz:

${\hat {H}}\psi =E\psi ,\ \ \ \ \ (1)$

Potensial oʻra ichida zarraning potensial energiyasi nolga teng $U(x)=0$. Shu sababli

$-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi =E\psi \ \qquad \ {\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\cdot {\dfrac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+E\psi =0$

Yuqoridagi tenglamani kanonik koʻrinishga keltiramiz:

${\dfrac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi =0\ \ \ \ \ (2)$

Quyidagicha belgilash kiritamiz:

$k^{2}={\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}$

U holda (2) tenglama quyidagi koʻrinishga keladi:

${\dfrac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+k^{2}\psi =0$

U holda bu differensial tenglama uchun xarakteristik tenglama quyidagi koʻrinishga keladi:

$\lambda ^{2}+k^{2}=0$

Uning ildizlari:

$\lambda ^{2}=-k^{2},\ {\text{u holda,}}\ \lambda _{1}=ik,\ \ \lambda _{2}=-ik$

Hosil boʻlgan toʻlqin funksiyani oshkormas koʻrinishda quyidagicha yozishimiz mumkin:

$\psi =Ae^{\lambda _{1}x}+Be^{\lambda _{2}x}=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\ \ \ \ \ (3)$

Eiler formulasi $e^{iz}=\cos z+i\sin z$ va $e^{-iz}=\cos z-i\sin z$ dan foydalangan holda (3) tenglamani quyidagicha yozamiz:

$\psi =A(\cos kx+i\sin kx)+B(\cos kx-i\sin kx)=(A+B)\cos kx+(A-B)i\sin kx$

Chegaraviy shartlardan foydalangan holda, $k$ va $E$ larning xususiy qiymatlarini aniqlaymiz.

To'lqin funksiyaning asosiy xossalaridan biri — bu uzluksizlik, shu sababli, $\psi (0)=\psi (\ell )=0$

${\begin{cases}\psi (0)=(A+B)\cos(k\cdot 0)+(A-B)i\sin(k\cdot 0)=A+B=0,\\\psi (\ell )=(A+B)\cos(k\ell )+(A-B)i\sin(k\ell )=(A-B)i\sin(k\ell )=0\end{cases}}$

Sistemaning 1-tenglamasidan koʻrinib turibdiki, $A=-B$. Ikkinchi tenglamadan esa, $(A-B)i\neq 0$ boʻlgani uchun $\sin(k\ell )=0$ ekanligini hosil qilamiz.

U holda $k\ell =\pi n$, yoki $k={\dfrac {\pi n}{\ell }}$, bu yerda $n$ — bosh kvant soni deyiladi.

Endi esa, $k^{2}={\dfrac {\pi ^{2}n^{2}}{\ell ^{2}}}={\dfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}$ ekanligini hisobga olgan holda $E={\dfrac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2m\ell ^{2}}}$ ifodani hosil qilamiz. Bu ifoda zarra energiyasining xususiy qiymati deyiladi.

Natijada zarra toʻlqin funksiyasining $\psi =2iA\sin \left({\dfrac {\pi n}{\ell }}x\right)$ koʻrinishida ekanligini aniqlaymiz.

Normallash sharti

Bundan soʻng, toʻlqin funksiyaning normallash shartidan foydalanib, $A$ ni aniqlaymiz. Maʼlumki, zarra toʻlqin funksiyasidan toʻla fazo boʻyicha olingan integral qiymati 1 ga teng boʻlishi kerak. Bizning misol uchun esa $0<x<\ell$ sohada zarra topilishi ehtimolligi 1 ga teng, chunki, uning oʻradan tashqarida toʻlqin funksiyasi nolga teng. Demak,

$1=\int \limits _{0}^{\ell }4i^{2}A^{2}\sin ^{2}\left({\dfrac {\pi n}{\ell }}\right){\text{d}}x=4i^{2}A^{2}\cdot {\dfrac {\ell }{\pi n}}\int \limits _{0}^{\ell }\sin ^{2}\left({\dfrac {\pi n}{\ell }}\right){\text{d}}\left({\dfrac {\pi n}{\ell }}x\right)={\dfrac {4i^{2}A^{2}e}{\pi n}}\times \int \limits _{0}^{\ell }{\dfrac {1-\cos \left({\dfrac {2\pi n}{\ell }}x\right)}{2\cdot 2}}{\text{d}}\left({\dfrac {2\pi n}{\ell }}x\right)={\dfrac {2i^{2}A^{2}\ell }{2\pi n}}\left({\dfrac {2\pi n}{\ell }}x-\sin \left({\dfrac {2\pi n}{\ell }}x\right)\right){\bigg |}_{0}^{\ell }={\dfrac {i^{2}A^{2}\ell }{\pi n}}\cdot {\dfrac {2\pi n}{\ell }}\cdot \ell =2i^{2}A^{2}\ell$

Bundan kelib chiqadiki,

$A={\dfrac {1}{i{\sqrt {2\ell }}}}$

Yuqoridagi yechimlardan foydalanib, toʻlqin funksiya uchun eng oxirgi ifodani quyidagicha yozish mumkin:

$\psi (x)={\sqrt {\dfrac {2}{\ell }}}\left({\dfrac {\pi n}{\ell }}x\right),\ \ {\text{bu yerda}}\ n=1,2,3,\ldots \ \ \ \ \ \ \ (4)$

Misol

Endi esa oʻraning $0<x<\ell /3$ sohasida zarra topilish ehtimolligini hisoblaymiz. Asosiy holatda $n=1$ uchun hisoblaylik:

$P(0<x<\ell /3)=\int \limits _{0}^{\ell /3}{\dfrac {2}{\ell }}\sin ^{2}\left({\dfrac {\pi n}{\ell }}x\right){\text{d}}x=\int \limits _{0}^{\ell /3}{\dfrac {2}{\ell }}\cdot {\dfrac {1-\cos \left({\dfrac {2\pi n}{\ell }}x\right)}{2}}{\text{d}}\left({\dfrac {2\pi n}{\ell }}x\right){\dfrac {\ell }{2\pi n}}={\dfrac {1}{2\pi n}}\left({\dfrac {2\pi n}{\ell }}x-\sin \left({\dfrac {2\pi n}{\ell }}x\right)\right){\bigg |}_{0}^{\ell /3}={\dfrac {1}{2\pi n}}\left({\dfrac {2\pi n}{3}}-\sin {\dfrac {2\pi n}{3}}\right)={\dfrac {1}{3}}-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\dfrac {1}{2\pi }}={\dfrac {1}{3}}-{\dfrac {\sqrt {3}}{4\pi }}=0.33-0.14\approx 0.195\ {\text{yoki}}\ P\approx 19.5\%$

Xuddi shu usulda, $\ell <x<2\ell /3$ va $2\ell /3<x<\ell$ sohalar uchun ham integral chegaralarini oʻzgartirgan holda hisoblaymiz va mos ravishda 61% va 19.5% qiymatlarni aniqlaymiz.

Manbalar

1. Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-111892-7. 
2. Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck. Quantum mechanics., transl. from the French by Susan Reid Hemley, Wiley-Interscience: Wiley, 1996 — 231–233 bet. ISBN 978-0-471-56952-7.