Gamilton maydon nazariyasi

Nazariy fizikada Gamilton maydon nazariyasi klassik Gamilton mexanikasining maydon-nazariy analogidir. Bu Lagrangian maydon nazariyasi bilan bir qatorda klassik maydon nazariyasidagi formalizmdir. Bundan tashqari , kvant maydon nazariyasida ilovalar mavjud.

Taʼrif

Diskret zarrachalar sistemasi uchun Gamiltonian ularning umumiy koordinatalari va koʻpaytma impulslari va, ehtimol, vaqtning funksiyasidir. Continua va maydonlar uchun Gamilton mexanikasi mos emas, lekin koʻp sonli nuqta massalarini hisobga olgan holda va uzluksiz chegarani, yaʼni doimiylik yoki maydonni tashkil etuvchi cheksiz koʻp zarralarni hisobga olgan holda kengaytirilishi mumkin. Har bir nuqta massasi bir yoki bir nechta erkinlik darajasiga ega boʻlgani sababli, maydon formulasi cheksiz koʻp erkinlik darajasiga ega.

Bitta skalyar maydon

Gamilton zichligi maydonlar uchun uzluksiz analog hisoblanadi; bu maydonlarning funksiyasi, koʻpaytma „impuls“ maydonlari va, ehtimol, makon va vaqtning oʻzlarini muvofiqlashtiradi. Bitta skalyar maydon $φ (x, t)$ uchun Gamilton zichligi Lagranj zichligidan bilan aniqlanadi:

{\mathcal {H}}(\phi ,\pi ,\mathbf {x} ,t)={\dot {\phi }}\pi -{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,.

$\nabla$ "del" yoki „nabla“ operatori bilan $x$ — fazodagi biron bir nuqtaning pozitsiya vektori va $t$ — vaqt . Lagranj zichligi — bu tizimdagi maydonlar, ularning fazo va vaqt hosilalari, ehtimol, makon va vaqtning oʻzlarini koordinatalari. U umumlashtirilgan koordinatalar bilan tasvirlangan diskret zarralar tizimi uchun Lagranj funksiyasining maydon analogidir.

Har bir umumlashtirilgan koordinata mos keladigan umumiy impulsga ega boʻlgan Gamilton mexanikasida boʻlgani kabi, $φ (x, t)$ maydoni Lagranj zichligining vaqt hosilasiga nisbatan qisman hosilasi sifatida aniqlangan $π (x, t)$ ko‘paytma impuls maydoniga ega:

\pi ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,\quad {\dot {\phi }}\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\,,

bunda ortiqcha nuqta jami vaqt hosilasi $d / dt$ emas, balki vaqt hosilasi $\partial/\partial t$ ni bildiradi.

Koʻp skalyar maydonlar

Koʻpgina $φ i (x, t)$ va ularning koʻpaytmalari $π i (x, t)$ uchun Gamilton zichligi ularning barchasiga bogʻliq:

{\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi _{i}}}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots \nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\partial \phi _{1}/\partial t,\partial \phi _{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)\,.

bu yerda har bir koʻpaytma maydon oʻz maydoniga nisbatan aniqlanadi,

\pi _{i}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,.

Umuman olganda, har qanday sonli maydonlar uchun Gamilton zichligining hajm integrali Gamiltonianni uchta fazoviy oʻlchovda beradi:

H=\int {\mathcal {H}}\ d^{3}x\,.

Gamilton zichligi fazoviy hajm birligi uchun Gamiltonian hisoblanadi. Tegishli oʻlcham [energiya][uzunlik] ⁻³, SI birliklarida kubometr uchun Joul, J m ⁻³ .

Tensor va spinor maydonlari

Yuqoridagi tenglamalar va taʼriflar vektor maydonlariga va umuman tensor maydonlariga va spinor maydonlariga kengaytirilishi mumkin. Fizikada tenzor maydonlari bozonlarni, spinor maydonlari esa fermionlarni tavsiflaydi.

Harakat tenglamalari

Maydonlar uchun harakat tenglamalari diskret zarralar uchun Gamilton tenglamalariga oʻxshaydi. Har qanday miqdordagi maydonlar uchun: ${\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,$

bu yerda yana ortiqcha nuqtalar qisman vaqt hosilalari, maydonlarga nisbatan variatsion hosila.

{\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\nabla \cdot {\frac {\partial }{\partial (\nabla \phi _{i})}}\,,

bilan · nuqta mahsuloti, shunchaki qisman hosilalar oʻrniga ishlatilishi kerak.

Faza maydoni

Maydonlar $φ i$ va konjugatlar $π i$ cheksiz oʻlchovli fazali fazoni hosil qiladi, chunki maydonlar cheksiz miqdordagi erkinlik darajasiga ega.

Poisson(Puasson) qavsi

$φ i$ va $π i$ maydonlariga, ularning fazoviy hosilalariga, fazo va vaqt koordinatalariga bogʻliq boʻlgan ikkita funksiya uchun,

A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

va maydonlar integrallar qabul qilingan hajm chegarasida nolga teng, maydon nazariy Puasson qavs sifatida aniqlanadi (kvant mexanikasidan kommutator bilan adashtirmaslik kerak)^[1].

[A,B]_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,

bu yerda $\delta {\mathcal {F}}/\delta f$ variatsion hosiladir

{\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.

Yer yuzasida yoʻqolgan maydonlarning bir xil sharoitlarida $A$ ning vaqt evolyutsiyasi uchun quyidagi natija amal qiladi (xuddi $B$ uchun):

{\frac {dA}{dt}}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}

Buni $A$ ning umumiy vaqt hosilasidan, qismlar boʻyicha integratsiyadan va yuqoridagi Puasson qavs yordamida topish mumkin.

Aniq vaqt mustaqilligi

Lagranj va Gamilton zichligi aniq vaqtga bogʻliq boʻlmasa, quyidagi natijalar toʻgʻri boʻladi (ular maydonlar va ularning hosilalari orqali aniq vaqtga bogʻliq boʻlishi mumkin),

Kinetik va potensial energiya zichligi

Gamilton zichligi — umumiy energiya zichligi, kinetik energiya zichligi yigʻindisi ( ${\mathcal {T}}$ ) va potensial energiya zichligi ( ${\mathcal {V}}$ ),

{\mathcal {H}}={\mathcal {T}}+{\mathcal {V}}\,.

Uzluksizlik tenglamasi

Yuqoridagi Gamilton zichligi taʼrifining qisman vaqt hosilasini olib, yashirin differensiatsiya va koʻpaytma impuls maydonini aniqlash uchun zanjir qoidasidan foydalanib, uzluksizlik tenglamasini beradi:

{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0

bunda Gamilton zichligi energiya zichligi sifatida talqin qilinishi mumkin, va

\mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

energiya oqimi yoki birlik sirt maydoniga vaqt birligidagi energiya oqimi.

Relyativistik maydon nazariyasi

Kovariant Gamilton maydon nazariyasi Gamilton maydon nazariyasining relyativistik formulasidir.

Gamilton maydon nazariyasi odatda klassik maydon nazariyasiga qoʻllanganda simplektik Gamilton formalizmini anglatadi, bu cheksiz oʻlchovli fazali fazoda bir lahzali Gamilton formalizmi shaklini oladi va kanonik koordinatalar vaqtning bir lahzasida maydon funktsiyalari hisoblanadi^[2]. Bu Gamilton formalizmi maydonlarni kvantlashda, masalan, kvant oʻlchov nazariyasida qoʻllanadi. Kovariant Gamilton maydon nazariyasida kanonik moment p^m_i barcha dunyo koordinatalariga nisbatan maydonlarning hosilalariga mos keladi x^m. Kovariant Gamilton tenglamalari giperregular Lagranjlar holatida Eyler-Lagranj tenglamalariga ekvivalentdir. Kovariant Gamilton maydon nazariyasi Gamilton-De Donder, polisimplektik, multisimplektik va k -simplektik^[3] ^[4] ^[5] variantlarda ishlab chiqilgan. Kovariant Gamilton maydon nazariyasining faza fazosi chekli oʻlchovli polisimplektik yoki koʻp simplektik manifolddir.

Gamiltonning avtonom boʻlmagan mexanikasi vaqt oʻqi boʻyicha tolalar toʻplamlarida, yaʼni haqiqiy chiziq ℝ boʻyicha kovariant Gamilton maydon nazariyasi sifatida tuzilgan.

Manbalar

↑ Greiner & Reinhardt 1996, Chapter 2
↑ Gotay, M., A multisymplectic framework for classical field theory and the calculus of variations. II. Space + time decomposition, in „Mechanics, Analysis and Geometry: 200 Years after Lagrange“ (North Holland, 1991).
↑ Krupkova, O., Hamiltonian field theory, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.
↑ Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometry of multisymplectic Hamiltonian first-order field theories, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
↑ Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Gunther’s formalism (k-symplectic formalism) in classical field theory: Skinner-Rusk approach and the evolution operator, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

Adabiyotlar

Badin, G.; Crisciani, F.. Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws -. Springer, 2018 — 218-bet. DOI:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.
Goldstein, Herbert „Chapter 12: Continuous Systems and Fields“, . Classical Mechanics, 2nd, San Francisco, CA: Addison Wesley, 1980 — 562–565-bet. ISBN 0201029189.
Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer, ISBN 3-540-59179-6
Fetter, A. L.; Walecka, J. D.. Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover, 1980 — 258–259-bet. ISBN 978-0-486-43261-8.

[1] Greiner & Reinhardt 1996, Chapter 2

[2] Gotay, M., A multisymplectic framework for classical field theory and the calculus of variations. II. Space + time decomposition, in „Mechanics, Analysis and Geometry: 200 Years after Lagrange“ (North Holland, 1991).

[3] Krupkova, O., Hamiltonian field theory, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93.

[4] Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, N., Geometry of multisymplectic Hamiltonian first-order field theories, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.

[5] Rey, A., Roman-Roy, N. Saldago, M., Gunther’s formalism (k-symplectic formalism) in classical field theory: Skinner-Rusk approach and the evolution operator, J. Math. Phys. 46 (2005) 052901.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]