Larmor teoremasi

Zaryadlar sistemasining magnit va impuls momentlari orasidagi bogʻlanish

Sistemadagi $i$-nomerli zarraning massasi $m_{i}$, zaryadi $e_{i}$, radius-vektori ${\textbf {r}}_{i}$, tezligi ${\textbf {v}}_{i}$ boʻlsin. Sistemaning magnit momenti taʼrifiga muvofiq,

${\textbf {M}}=\sum {\frac {e_{i}}{2c}}\left[{\textbf {r}}_{i}{\textbf {v}}_{i}\right];\ \ \ (1)$

Sistemaning harakat miqdori momenti esa

${\textbf {L}}=\sum {\textbf {L}}_{i}=\sum m_{i}\left[{\textbf {r}}_{i}{\textbf {v}}_{i}\right];\ \ \ (2)$

Shularga asosan

${\textbf {M}}=\sum {\frac {e_{i}}{2m_{i}c}}{\textbf {L}}_{i};\ \ \ (3)$

Agar zarralar, atomdagi elektronlar ekanligini hisobga olsak, ularning bir xil zaryadli va massali boʻlishidan foydalanib, (3) ni quyidagicha yozib olishimiz mumkin:

${\textbf {M}}={\frac {e}{2mc}}{\textbf {L}};\ \ \ (4)$

Atom elektronlari yadro atrofida orbital harakatda boʻladi, demak, M — sistemaning orbital magnit momenti va L — sistemaning orbital harakat miqdori momenti. Shunday qilib, orbital magnit moment bilan orbital harakat miqdori momenti oʻzaro proporsional ekan.

Elektron zaryadining manfiyligi, yaʼni $e<0$ sababli, (4) ga muvofiq M va L vektorlarning yoʻnalishlari qarama-qarshidir.

Taʼsir qiluvchi tashqi magnit maydon boʻlmasa, sistemaning magnit momenti, demak, u bilan bogʻlangan sistemaning harakat miqdori momenti oʻzgarmasdan saqlanadi.

Endi faraz qilaylik, zaif bir jinsli tashqi magnit maydon mavjud boʻlsin. Bu maydon taʼsirida magnit moment va u bilan bogʻlangan harakat miqdori momenti sekin-asta oʻzgaradi. Shu oʻzgarishni tekshiraylik.

Bilamizki, M magnit momentli sistemaga H kuchlanganlikli tashqi magnit maydon taʼsir kuchining momenti ${\textbf {K}}=\left[{\textbf {MH}}\right]$ boʻladi. Mexanika kursidan maʼlumki, kuch momenti harakat miqdori momentining vaqt boʻyicha hosilasiga teng: ${\textbf {K}}={\dfrac {d{\textbf {L}}}{dt}}$.

Binobarin, ${\dfrac {d{\textbf {L}}}{dt}}=\left[{\textbf {MH}}\right]$ yoki (4) ga asosan, ${\dfrac {d{\textbf {L}}}{dt}}=\left[{\frac {e}{2mc}}{\textbf {L,H}}\right]$.

Endi

$\omega _{L}=-{\frac {e{\textbf {H}}}{2mc}};\ \ \ (5)$

desak,

${\dfrac {d{\textbf {L}}}{dt}}=\left[\omega _{L}{\textbf {L}}\right];\ \ \ (6)$

boʻladi.

Soʻnggi ifodadan koʻramizki, $\left({\dfrac {d{\textbf {L}}}{dt}},{\textbf {L}}\right)=0$ va shu bilan birga $\left({\dfrac {d{\textbf {L}}}{dt}},{\textbf {L}}\right)={\frac {1}{2}}{\dfrac {d}{dt}}\left({\frac {L^{2}}{2}}\right)$ boʻladi, demak, $L={\textrm {const}}$, yaʼni harakat miqdori momentining son qiymati oʻzgarmasdan saqlanadi.

Larmor pressessiyasi va chastotasi

Magnit maydon yoʻnalishini $z$ koordinata oʻqi deb qabul qilaylik va L vektorning shu oʻq bilan hosil qilgan burchagini $\theta$ bilan belgilaylik. U holda

$L_{z}=L\cos \theta$

va (6) ga asosan ${\dfrac {dL_{z}}{dt}}=0$, demak, $L_{z}=L\cos \theta ={\textrm {const}}$, yaʼni $\theta$ burchak oʻzgarmasdan saqlanadi.

(6) dan koʻramizki, L vektorning oxiri son qiymati $\left|{\dfrac {d{\textbf {L}}}{dt}}\right|=\omega _{L}=L\sin \theta$ tezlik bilan harakatlanadi, chunki $\omega _{L},{\textbf {L}},\theta$ miqdorlar oʻzgarmasdir.

Shunday qilib, oʻzgarmas bir jinsli magnit maydondagi atom elektronlarining harakat miqdori momenti oʻzining son qiymatini va maydon yoʻnalishi bilan hosil qilgan burchagini oʻzgartirmasdan, maydon atrofida tekis aylanma harakatda boʻladi. Larmor teoremasining mazmuni ana shundan iboratdir. Yuqorida keltirilgan hodisa esa Larmor pressessiyasi deb yuritiladi. (5) da ifodalangan burchakli tezlik $\omega _{L}$ Larmor chastotasi deyiladi. Uning son qiymati esa

$\omega _{L}={\frac {|e|H}{2mc}};\ \ \ (7)$

1-rasm. Magnit maydonida zarraning harakati

Yuqorida aytilganlar 1-rasmda tasvirlangan. Atom elektronlarining O yadro atrofida harakatlanib, hosil qilgan toklari yassi chiziqli yopiq tok shaklida koʻrsatilgan.

Larmor teoremasini ifodalashda taʼsir qiluvchi magnit maydon juda zaif deb hisoblangan edi, yaʼni magnit maydon yoʻqligida yadro atrofida harakatlanuvchi elektronlarning xususiy chastotasi $\omega _{0}$ ga nisbatan Larmor chastotasi $\omega _{L}$ juda kichik qiymat hisoblanadi:

$\omega _{L}<<\omega _{0};\ \ \ (8)$

U holda (7) ga muvofiq, koʻramizki,

$H<<{\frac {2mc}{|e|}}\omega _{0};\ \ \ (9)$

boʻladi. Masalan, atom spektrining optik qismiga mos xususiy chastota $\omega _{0}\approx 10^{15}s^{-1}$. Endi m, c, e uchun ularning son qiymatlari nazarga olinsa, (9) ga muvofiq <math>H<<10^{8}<//math> СГСМ boʻladi. Tajribada uchraydigan magnit maydonlar bu shartga bemalol boʻysunadi.

Koʻp fizik hodisalar (diamagnetizm, Zeyeman effekti, Faradey effekti va boshqalar) Larmor pressessiyasi bilan bogʻliqdir.

Yana qarang

• Vakuumda elektromagnit to'lqinlar
• Yassi elektromagnit to'lqin
• Garmonik elektromagnit to'lqin
• Zeyeman effekti
• Shtark effekti

Adabiyotlar

• R.X.Mallin Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974