Nyutonning aylanuvchi orbitalar teoremasi

Rasm-1: jnoodatiy kuch F(r) koʻk sayyorani koʻk aylana boʻylab harakatlanishiga olib keladi. Yashil sayyora uch baravar tezroq harakat qiladi va shuning uchun jozibador teskari kub kuchini qoʻshish orqali taʼminlangan kuchli markazga yoʻnaltiruvchi kuchni talab qiladi. Qizil sayyora harakatsiz; kuch F(r) itaruvchi teskari kub kuchi bilan muvozanatlanadi. Ushbu animatsiyaning GIF versiyasi bu erda topilgan.

Rasm-2: Yashil va koʻk sayyoralarning r radiusi bir xil, ammo ularning burchak tezligi bir k omil bilan farq qiladi. Bunday orbitalarga misollar 1 va 3-5 rasmlarda koʻrsatilgan.

Klassik mexanikada Nyutonning aylanuvchi orbitalar teoremasi zarrachaning burchak tezligini uning radial harakatiga taʼsir qilmasdan k omilga koʻpaytirish uchun zarur boʻlgan markaziy kuch turini aniqlaydi (1 va 2 — rasmlar). Nyuton oʻz teoremasini orbitalarning umumiy aylanishini tushunish uchun qoʻllagan (apsidal presessiya, 3-rasm) bu Oy va sayyoralar uchun kuzatiladi. „Radial harakat“ atamasi kuch markaziga yoki undan uzoqqa harakatni anglatadi, burchak harakati esa radial harakatga perpendikulyar.

Isaak Nyuton ushbu teoremani birinchi marta 1687 yilda nashr etilgan oʻzining "Falsafiy tabiat prinsiplari matematikasi" ning I kitobining 43-45-sonli takliflarida keltirgan. 43-taklifda u qoʻshilgan kuch markaziy kuch boʻlishi kerakligini koʻrsatdi, uning kattaligi faqat zarracha va kosmosda mahkamlangan nuqta (markaz) orasidagi masofa r ga bogʻliq. 44-taklifda u kuch formulasini chiqarib, uning teskari kubli kuch ekanligini koʻrsatdi, bu kuch r ning teskari kubi sifatida oʻzgaradi. 45-taklifda Nyuton oʻz teoremasini zarracha deyarli aylana orbita boʻylab harakatlanadi deb faraz qilib, ixtiyoriy markaziy kuchlarga kengaytirdi.

Astrofizik Subrahmanyan Chandrasexar 1995 yilda Nyuton Principiyasi haqidagi sharhida taʼkidlaganidek, bu teorema uch asrdan koʻproq vaqt davomida nomaʼlum va ishlab chiqilmagan boʻlib qoldi. 1997 yildan beri teorema Donald Lynden-Bell va uning hamkorlari tomonidan oʻrganilmoqda. Uning birinchi aniq kengayishi 2000 yilda Mahomed va Vawda ishi bilan sodir boʻldi.

Tarixiy jarayonlar

Yerdan koʻrinib turganidek, Marsning retrograd harakati.

Rasm-3: Quyosh atrofida aylanadigan sayyoralar vaqt oʻtishi bilan asta-sekin aylanadigan elliptik (oval) orbitalarni kuzatib boradi (apsidal presessiya). Ushbu ellipsning eksantrikligi vizualizatsiya uchun boʻrttirilgan. Quyosh sistemasidagi aksariyat orbitalarning eksantrikligi ancha kichik boʻlib, ularni deyarli aylana shaklida qiladi. Ushbu animatsiyaning GIF versiyasi bu yerda topilgan.

Astronomik jismlarning harakati ming yillar davomida tizimli ravishda oʻrganilgan. Yulduzlar bir xilda aylanib, har doim bir-biriga nisbatan bir xil pozitsiyani saqlab turishi kuzatildi. Biroq, boshqa jismlar qoʻzgʻalmas yulduzlar fonida aylanib yurganlari kuzatildi; Bunday jismlarning aksariyati yunoncha „sayyorlar“ (planētoi) soʻzidan keyin sayyoralar deb atalgan. Garchi ular odatda osmon boʻylab (ekliptika) bir yoʻnalishda harakat qilsalar ham, ayrim sayyoralar baʼzan oʻz yoʻnalishini qisqacha oʻzgartirib, orqaga qaytish harakatini koʻrsatadi.

Ushbu oldinga va orqaga harakatni tasvirlash uchun Pergalik Apollonius (m.av 262 — m.av 190 — yillar) deferentlar va epitsikllar tushunchasini ishlab chiqdi, unga koʻra sayyoralar aylanadigan aylanalarda, oʻzlari esa boshqa aylanuvchi doiralarda olib yuriladi. va hokazo. Har qanday orbitani etarli miqdordagi oqilona tanlangan epitsikllar bilan tasvirlash mumkin, chunki bu yondashuv zamonaviy Furye konvertatsiyasiga mos keladi. Taxminan 350 yil oʻtgach, Klavdiy Ptolemey oʻzining "Almagest" ni nashr etdi, unda u oʻz davrining eng yaxshi astronomik kuzatuvlariga mos keladigan ushbu tizimni ishlab chiqdi. Epitsikllarni tushuntirish uchun Ptolemey Aristotelning geosentrik kosmologiyasini qabul qildi, unga koʻra sayyoralar konsentrik aylanuvchi sharlar bilan chegaralangan. Koinotning ushbu modeli qariyb 1500 yil davomida obroʻli edi.

Nyutonning aylanuvchi orbitalar teoremasi uning apsidal presessiyani miqdoriy jihatdan tushunishga birinchi urinishi edi. Ushbu teoremaga koʻra, maʼlum bir turdagi markaziy kuch — teskari kub kuchining qoʻshilishi aylanuvchi orbita hosil qilishi mumkin; burchak tezligi k faktoriga koʻpaytiriladi, radial harakat esa oʻzgarishsiz qoladi. Biroq, bu teorema tegishli boʻlmasligi mumkin boʻlgan muayyan turdagi kuch bilan cheklangan; Bir nechta bezovta qiluvchi teskari kvadrat oʻzaro taʼsirlar (masalan, boshqa sayyoralar kabi) teskari kub kuchini aniq yigʻish dargumon. Oʻz teoremasini boshqa turdagi kuchlar uchun ham qoʻllash uchun Nyuton ixtiyoriy markaziy kuch F(r) ning deyarli aylana orbitalari chegarasidagi teskari kub potentsialiga, yaʼni past ekssentriklikdagi elliptik orbitalarga eng yaxshi yaqinligini topdi. haqiqatan ham Quyosh tizimidagi koʻpgina orbitalar uchun toʻgʻri. Ushbu taxminni topish uchun Nyuton Teylor kengayishining peshvosi sifatida koʻrish mumkin boʻlgan cheksiz qatorni ishlab chiqdi. Bu yaqinlashish Nyutonga oʻzboshimchalik bilan markaziy kuchlar uchun presessiya tezligini taxmin qilish imkonini berdi. Nyuton bu yaqinlashuvni Oy orbitasining apsidal presessiyasiga olib keladigan kuch modellarini sinab koʻrish uchun qoʻlladi. Biroq, Oyning harakati muammosi juda murakkab va Nyuton hech qachon Oyning apsidal presessiyasining aniq tortishish modelini nashr etmagan. 1747 yilda Clairaut tomonidan aniqroq modeldan soʻng, Oy harakatining analitik modellari 19-asr oxirida Hill, Braun, va Delaunay tomonidan ishlab chiqilgan.

Biroq, Nyuton teoremasi apsidal presessiyani tushuntirishdan koʻra umumiyroqdir. U faqat Nyutonning universal tortishish qonuni va Kulon qonuni kabi teskari kvadrat kuchlarga emas, balki har qanday markaziy kuch F(r) ga teskari kub kuchini qoʻshish taʼsirini tasvirlaydi. Nyuton teoremasi teskari kub kuchlarini koʻrib chiqishdan chiqarib tashlash orqali klassik mexanikada orbital masalalarni soddalashtiradi. Radial va burchakli harakatlar, r(t) va θ₁(t) teskari kub kuchisiz hisoblanishi mumkin; keyin uning taʼsirini zarrachaning burchak tezligini koʻpaytirish orqali hisoblash mumkin

$\omega _{2}={\frac {d\theta _{2}}{dt}}=k{\frac {d\theta _{1}}{dt}}=k\omega _{1}.$

Matematik bayonoti

Rasm-4: Uchta sayyora ham bir xil radial harakatga ega (koʻk doira), lekin turli burchak tezliklarida harakatlanadi. Moviy sayyora faqat teskari kvadrat kuchni his qiladi va ellips boʻylab harakatlanadi (k=1). Yashil sayyora burchak boʻylab koʻk sayyoradan uch baravar tez harakat qiladi (k=3); u koʻk sayyoraning har bir orbitasi uchun uchta orbitani yakunlaydi. Qizil sayyora burchak harakatisiz sof radial harakatni tasvirlaydi (k=0). Yashil va koʻk sayyoralar tomonidan taʼqib qilingan yoʻllar koʻrsatilgan. Ushbu animatsiyaning GIF versiyasi bu yerda topilgan.

Rasm-5: Yashil sayyora burchak boʻyicha koʻk sayyoraga qaraganda uchdan bir tezlikda harakat qiladi (k=1/3); u har uchta koʻk orbita uchun bitta orbitani tugatadi. Yashil va koʻk sayyoralar tomonidan taʼqib qilingan yoʻllar koʻrsatilgan. Ushbu animatsiyaning GIF versiyasi bu yerda topilgan.

Kattaligi faqat zarracha va qoʻzgʻalmas markaz orasidagi masofa r ga bogʻliq boʻlgan F₁(r) ixtiyoriy markaziy kuch ostida harakatlanuvchi zarrani koʻrib chiqaylik. Zarrachaning markaziy kuch ostidagi harakati doimo tekislikda yotganligi sababli, zarrachaning holatini qutb koordinatalari (r, θ₁), zarrachaning kuch markaziga nisbatan radiusi va burchagi (rasm-1). Bu ikkala koordinata r(t) va θ₁(t) zarracha harakatlanayotganda t vaqt oʻtishi bilan oʻzgaradi.

Bir xil massali m va bir xil radiusli harakatga ega boʻlgan ikkinchi zarrachani tasavvur qiling r(t), lekin burchak tezligi birinchi zarrachanikidan k marta tezroq. Boshqacha qilib aytganda, ikki zarrachaning azimutal burchaklari θ₂(t) = kθ₁(t) tenglama bilan bogʻlangan. Nyuton ikkinchi zarrachaning harakatini birinchi zarraga taʼsir qiladigan F₁® kuchga teskari kubli markaziy kuch qoʻshish orqali hosil qilish mumkinligini koʻrsatdi :

$F_{2}(r)-F_{1}(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-k^{2}\right)$

Bu yerda L₁ — birinchi zarrachaning burchak momentumining kattaligi, bu markaziy kuchlar uchun harakat doimiysi (saqlangan).

Agar k² birdan katta boʻlsa, F₂ − F₁ — manfiy raqam; Shunday qilib, qoʻshilgan teskari kub kuchi jozibador boʻlib, 1-4 va 9 raqamlarning yashil sayyorasida kuzatilgan . Aksincha, agar k² birdan kichik boʻlsa, F₂ — F₁ musbat son; qoʻshilgan teskari kub kuchi, 5 va 10 raqamlarning yashil sayyorasida kuzatilganidek, itaruvchidir va 4 va 5 raqamlarning qizil sayyorasida.

Zarrachalar yoʻlining oʻzgarishi

Bunday teskari kub kuchning qoʻshilishi zarrachaning ketayotgan yoʻlini ham oʻzgartiradi. Zarrachaning yoʻli r(t) va θ₁(t) kabi radial va burchak harakatlarining vaqtga bogʻliqligini eʼtiborsiz qoldiradi; balki radius va burchak oʻzgaruvchilarini bir-biriga bogʻlaydi. Shu maqsadda burchak oʻzgaruvchisi cheklanmagan va zarracha markaziy nuqta atrofida bir necha marta aylanayotganda cheksiz koʻpayishi mumkin. Misol uchun, agar zarracha markaziy nuqta atrofida ikki marta aylanib, boshlangʻich holatiga qaytsa, uning oxirgi burchagi boshlangʻich burchagi bilan bir xil emas; balki 2×360° = 720° ga oshdi. Rasmiy ravishda, burchak oʻzgaruvchisi burchak tezligining integrali sifatida aniqlanadi

$\theta _{1}\equiv \int \omega _{1}(t)\,dt.$

Xuddi shunday taʼrif ikkinchi zarrachaning burchagi th ₂ uchun ham amal qiladi.

Agar birinchi zarrachaning yoʻli r = g(θ₁) koʻrinishda tasvirlangan boʻlsa, ikkinchi zarrachaning yoʻli r = g(θ₂/k) funksiyasi bilan beriladi, chunki θ₂ = k θ₁ . Masalan, birinchi zarrachaning yoʻli ellips boʻlsin

${\frac {1}{r}}=A+B\cos \theta _{1}$

bu yerda A va B konstantalar; keyin, ikkinchi zarrachaning yoʻli bilan berilgan

${\frac {1}{r}}=A+B\cos \left({\frac {\theta _{2}}{k}}\right).$

Yopiq orbitalar va teskari kubli markaziy kuchlar

Rasm-6: k = 1 (koʻk), 2 (magenta) va 3 (yashil) boʻlgan harmonik orbitalar. Koʻk va yashil orbitalarning animatsiyasi 4-shaklda koʻrsatilgan.

Ikki turdagi markaziy kuchlar — masofa bilan chiziqli ravishda ortib boruvchi F = Cr, masalan , Guk qonuni va teskari kvadrat kuchlar, F = C/r², masalan , Nyutonning universal tortishish qonuni va Kulon qonuni — juda gʻayrioddiy kuchga ega. Har ikki turdagi kuchlar ostida harakatlanayotgan zarracha cheksizlikka chiqish uchun yetarli energiyaga ega boʻlmasa, har doim oʻzining boshlangʻich tezligi bilan oʻzining boshlangʻich joyiga qaytadi. Boshqacha qilib aytadigan boʻlsak, bogʻlangan zarrachaning yoʻli har doim yopiq boʻlib, uning harakati boshlangʻich holati yoki tezligi qanday boʻlishidan qatʼiy nazar, cheksiz takrorlanadi. Bertran teoremasidan koʻrinib turibdiki, bu xususiyat boshqa turdagi kuchlar uchun toʻgʻri emas; umuman olganda, zarracha bir xil tezlikda boshlangʻich nuqtasiga qaytmaydi.

Biroq, Nyuton teoremasi shuni koʻrsatadiki, chiziqli yoki teskari kvadrat kuchlar ostida harakatlanayotgan zarrachaga teskari kub kuch qoʻllanilishi mumkin, shunda uning orbitasi yopiq qoladi, k ratsional songa teng boʻladi. (Raqamni kasr sifatida yozish mumkin boʻlsa, „ratsional“ deb nomlanadi m/n, bu yerda m va n butun sonlardir.) Bunday hollarda teskari kubik kuchning qoʻshilishi zarrachaning kuch markazi atrofida m aylanishni bir vaqtning oʻzida asl zarracha n ta aylanishni bajarishiga olib keladi. Yopiq orbitalarni hosil qilishning bu usuli Bertran teoremasini buzmaydi, chunki qoʻshilgan teskari kubik kuch zarrachaning dastlabki tezligiga bogʻliq.

Garmonik va subharmonik orbitalar bunday yopiq orbitalarning maxsus turlari hisoblanadi. Agar k butun son boʻlsa, yaʼni k = m/n formulasida n = 1 boʻlsa, yopiq traektoriya garmonik orbita deb ataladi. Masalan, agar k = 3 (6-rasmdagi yashil sayyora, 1 va 4-shakldagi yashil orbita), natijada paydo boʻlgan orbita asl orbitaning uchinchi garmonikidir. Aksincha, yopiq trayektoriya subharmonik orbita deb ataladi, agar k butun songa teskari boʻlsa, yaʼni k = m/n formulasida m = 1 boʻlsa. Masalan, agar k = 1/3 boʻlsa (7-rasmdagi yashil sayyora, 5-shakldagi yashil orbita), natijada paydo boʻlgan orbita asl orbitaning uchinchi subharmonikasi deb ataladi. Bunday orbitalarning tabiatda paydo boʻlishi ehtimoldan yiroq boʻlsa-da, ular Nyuton teoremasini tasvirlash uchun foydalidir.

Rasm-7: subharmonik orbitalar k = 1 (koʻk), 1/2 (magenta) va 1/3 (yashil). Koʻk va yashil orbitalarning animatsiyasi 5-shaklda koʻrsatilgan.

Miqdoriy formula

Tenglamalarni soddalashtirish uchun Nyuton F(r) ni yangi C(r) funksiya shaklida yozadi.

$F(r)={\frac {C(r)}{Rr^{3}}}$

Bu yerda R — aylanaga yaqin orbitaning oʻrtacha radiusi. Nyuton C(r) ni ketma-ketlikda kengaytiradi — endi Teylor qatori deb nomlanadi — r masofasining kuchlarida, bunday qatorning birinchi koʻrinishlaridan biri. Olingan teskari kub kuchini aylanuvchi orbitalar uchun teskari kub kuchiga tenglashtirib, Nyuton deyarli aylana orbitalar uchun ekvivalent burchakli masshtablash koeffitsienti k ni oladi:

${\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {R}{C}}\right)\left.{\frac {dC}{dr}}\right|_{r=R}$

Boshqacha qilib aytganda, F(r) ixtiyoriy markaziy kuchni deyarli aylana elliptik orbitaga qoʻllash radial harakatga sezilarli taʼsir qilmasdan, burchak harakatini k omil bilan tezlashtirishi mumkin. Agar elliptik orbita harakatsiz boʻlsa, zarracha uzun oʻqning bir uchidan ikkinchisiga (ikki apsis) oʻtganda kuch markazi atrofida 180 ° ga aylanadi. Shunday qilib, umumiy markaziy kuch uchun mos keladigan apsidal burchak θ₂ = k θ₁ umumiy qonunidan foydalanib, k ×180 ° ga teng.

Misollar

Nyuton oʻz formulasini uchta misol bilan tasvirlaydi. Birinchi ikkitasida markaziy kuch kuch qonuni F(r) = rⁿ⁻³, shuning uchun C (r)rⁿ ga proporsionaldir. Yuqoridagi formula shuni koʻrsatadiki, burchak harakati k = 1/√n omilga koʻpaytiriladi, shuning uchun apsidal burchak α=180°/√n ga teng.

Bu burchakli masshtabni apsidal presessiyada, yaʼni ellipsning uzun oʻqining bosqichma-bosqich aylanishida koʻrish mumkin (3-rasm). Yuqorida taʼkidlanganidek, butun orbita oʻrtacha burchak tezligi Ω=(k−1)ω bilan aylanadi, bu yerda ω zarrachaning harakatsiz ellips boʻylab oʻrtacha burchak tezligiga teng. Agar zarracha bir apsisdan ikkinchisiga oʻtish uchun T vaqtini talab qilsa, bu bir vaqtning oʻzida uzun oʻqning β burchakka aylanishini anglatadi: β=ΩT=(k−1) ωT=(k−1)×180°. Nyutonning universal tortishish qonuni kabi teskari kvadrat qonuni uchun, bu yerda n =1 ga teng, burchakli masshtablash (k=1) mavjud emas), apsidal burchak α 180 °, elliptik orbita esa statsionar (Ω=β=0).

Yakuniy misol sifatida Nyuton ikkita kuch qonunining yigʻindisini koʻrib chiqadi

$C(r)\propto ar^{m}+br^{n}$

bu burchak tezligini bir omilga koʻpaytiradi

$k={\sqrt {\frac {a+b}{am+bn}}}$

Nyuton Oy orbitasining apsidal presessiyasini tekshirish uchun ushbu ikkala formulani (kuch qonuni va ikkita kuch qonunining yigʻindisi) qoʻllaydi.

Oyning harakati sayyoralarnikiga qaraganda murakkabroqdir, bu asosan Yer va Quyoshning tortishish kuchlari bilan bogʻliq.

Oyning harakatini aniq oʻlchash mumkin va sayyoralarnikidan sezilarli darajada murakkabroq. Qadimgi yunon astronomlari Gipparx va Ptolemey Oy orbitasidagi bir qancha davriy oʻzgarishlarni , masalan, uning orbital ekssentrikligidagi kichik tebranishlarni va uning orbitasining ekliptika tekisligiga moyilligini qayd etgan edilar. Ushbu tebranishlar odatda oyda bir yoki ikki marta vaqt oraligʻida sodir boʻladi. Uning apsis chizigʻi asta-sekin taxminan 8,85 yil oraligʻida oʻtadi, uning tugunlari chizigʻi esa taxminan ikki baravar, 18,6 yil davomida toʻliq aylanaga aylanadi . Bu Saros tsikli deb ataladigan tutilishlarning taxminan 18 yillik davriyligini hisobga oladi. Biroq, har ikkala chiziq ham oylik vaqt shkalasida yana oʻz harakatlarida kichik tebranishlarni boshdan kechiradi.

1673 yilda Jeremiah Horrocks Oyning elliptik orbita boʻylab harakatlanishi taxmin qilingan Oy harakatining oqilona aniq modelini nashr etdi. Oyning harakatini bashorat qilishning etarlicha aniq va oddiy usuli kemaning uzunligini aniqlashning navigatsiya muammosini hal qilgan boʻlar edi; Nyuton davrida Oyning oʻrnini 2' (ikki yoy-daqiqa) ga qadar bashorat qilish edi, bu esa er uzunligi boʻyicha 1° xatolikka toʻgʻri keladi. Horrocks modeli oyning holatini 10 yoy daqiqasidan koʻp boʻlmagan xatolar bilan bashorat qildi; Taqqoslash uchun, Oyning diametri taxminan 30 yoy minutiga teng.

$F(r)=-{\frac {GMm}{r^{2+4/243}}}$

1894-yilda Asaph Xoll Merkuriy sayyorasining anomal orbital presessiyasini tushuntirish uchun teskari kvadrat qonunida koʻrsatkichni biroz oʻzgartirish usulini qoʻlladi, 1859 yilda Urbain Le Verrier tomonidan kuzatilgan . Ajablanarlisi shundaki, Xoll nazariyasi Oyni sinchkovlik bilan astronomik kuzatishlar natijasida inkor etildi . Ushbu presessiya uchun hozirda qabul qilingan tushuntirish umumiy nisbiylik nazariyasini oʻz ichiga oladi, bu (birinchi taxminga) teskari-kvartik kuchni qoʻshadi, yaʼni masofaning teskari toʻrtinchi darajasi sifatida oʻzgaradi.

Oyning presessiyasini tushuntirishga ikkinchi yondashuv sifatida Nyuton Quyoshning Oyning harakatiga bezovta qiluvchi taʼsiri taxminan qoʻshimcha chiziqli kuchga teng boʻlishi mumkinligini aytdi.

$F(r)={\frac {A}{r^{2}}}+Br$

Birinchi atama Oy va Yer oʻrtasidagi tortishish kuchiga toʻgʻri keladi, bu yerda r — Oyning Yerdan masofasi. Nyutonning fikricha, ikkinchi atama Quyoshning Yer-Oy tizimidagi tortishish kuchining oʻrtacha qoʻzgʻatuvchi kuchini koʻrsatishi mumkin. Bunday kuch qonuni, agar Yer bir xil zichlikdagi sferik chang buluti bilan oʻralgan boʻlsa ham paydo boʻlishi mumkin. Deyarli dumaloq orbitalar uchun k formulasidan hamda A va B ni baholashdan foydalanib, Nyuton bu kuch qonuni Oyning presessiyasini hisobga olmasligini koʻrsatdi(α ≈180,76°), chunki bashorat qilingan apsidal burchak kuzatilgan (α≈181,525°). Har bir inqilob uchun uzun oʻq 1,5 ° ga aylanadi, bu kuzatilgan 3,0 ° ning taxminan yarmi .

Adabiyotlar

• Newton I. The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, 3rd, Berkeley, CA: University of California Press, 1999 — 147–148, 246–264, 534–545 bet. ISBN 978-0-520-08816-0. 
• Chandrasekhar S (1995), Newton's Principia for the Common Reader, Oxford University Press, 183–200-bet, ISBN 978-0-19-852675-9
• Pars, L.A.. A Treatise on Analytical Dynamics. John Wiley and Sons, 1965 — 56 bet. ISBN 978-0-918024-07-7. 
• Whittaker ET. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies, 4th, New York: Dover Publications, 1937 — 83 bet. ISBN 978-0-521-35883-5. 
• Routh EJ. A Treatise on Dynamics of a Particle, reprint of 1898, New York: Dover Publications, 1960 — 230–233 (sections §356–359) bet. ISBN 978-0-548-96521-4. 
• Rouse Ball WW. An Essay on Newton's "Principia". Macmillan and Co. (reprint, Merchant Books), 1893 — 84–85 bet. ISBN 978-1-60386-012-3. 
• Heilbron, J. (2005), The Oxford Guide to the History of Physics and Astronomy, Oxford University Press, USA, Bibcode:2005oghp.book.....H, ISBN 978-0-19-517198-3
• Fitzpartrick, Richard (2012), An Introduction to Celestial Mechanics, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02381-9