Kontent qismiga oʻtish

Fraktal

Vikipediya, ochiq ensiklopediya
Sierpiński gilami – cheksiz perimetr va nol maydon koʻrinishi.
Mandelbrot toʻplami orollar koʻrinishida.
Mandelbrot to'plami. Uning chegarasi Hausdorff o'lchamida aniqlanadigan fraktal egri chiziqdan iborat. Tasvirning rangli boʻlimlari Mandelbrot toʻplamining bir qismiga emas, ularning qanchalik tez boʻlishiga asoslangan.
12 ta aylanali Mandelbrot toʻplami.
Mandelbrot toʻplami chegarasining yaqinlashtirilgan koʻrinishi.

Fraktal – bir-biriga oʻxshash, kichik masshtabdagi tuzilmalarni jamlagan, qismlari ketma-ket kattalashtirishlarda koʻrinadigan geometrik shakl[1][2][3][4]. U aniqlashtirilgan sari kattalashib boradi va oʻziga oʻxshash koʻplab naqshli segmentlarni hosil qiladi. Fraktal umuman aytganda oddiy geometrik shakllarning turli oʻlchovdagi yigʻindisidan iborat[5]. Fraktal oʻlchov esa matematikada geometrik tipdagi murakkab shakllarning miqdor va sifat jihatdan statistikasini koʻrsatishda qoʻllaniladi. Fraktal naqsh oʻzidagi shakllarning harakatiga qarab oʻzgarib boradi. Shu orqali shakllar orasidagi boʻsh joy toʻlib, uzluksizligi taʼminlanadi.

Sierpiński gilami (6-darajagacha kattalashgan), topologik oʻlchami 1, hausdorff oʻlchami 1,893 boʻlgan fraktal.
Fraktal boʻlmagan, geometrik jihatdan toʻgʻri chiziq.

Fraktal tuzilish nazariyasi matematikada uzoq yillar mobaynida oʻrganilgan (taxminan 1600-yillardan boshlab)[6], ammo ilk bor atama sifatida fraktal soʻzi 1967-yil Benoit Mandelbrot tomonidan „The fractal geometry of Nature“ (Tabiatning fraktal geometriyasi) kitobida[7] yoritilgan[8]. U jismlar qismlarining oʻxshashligiga asoslanib fraktal tuzilishidagi qaytalanishlarga alohida eʼtibor bergan. Maqolasida Lewis Fry Richardsonning sohil chizigʻining uzunligi uni oʻlchashda ishlatilgan oʻlchov tayoqchasi uzunligiga monand ravishda oʻzgarayotganini haqida fikr bildirgan. Bunga koʻra, qirgʻoq uzunligi chizigʻining fraktal oʻlchami, oʻlchash uchun zarur boʻlgan masshtabdagi tayoqchalar soni, tayoqqa nisbatan qoʻllanilayotgan shkala bilan birga oʻzgarib borayotganini kuzatgan[9].

Fraktal boshqa cheklangan geometrik shakllardan oʻlchovi jihatdan farq qiladi. Uning fazoviy oʻlchami butun son boʻlishi shart emas va koʻpincha doimiy oʻchamidan kattaroq son chiqadi[10]. Bu miqdor ham shaklning aynan odatiy oʻlchamidan farqlab olish uchun uning fraktal tuzilishiga asoslanib oʻlchanadi[8].

XVII asrdan boshlab fraktal rekursiya tushunchasi bilan birga qoʻllanilib boshlandi. XIX asrda Bernard Bolzano, Bernhard Riemann hamda Karl Weierstrasslar uzluksiz, differensiallashmagan bu tuzilmalarni matematik jihatdan oʻrganishga kirishdi. XX asrda fraktal atamasi paydo boʻlishi bilan birga ularni kompyuterga asoslangan modellashtirish tizimi ham kuchaytirildi[11]. Matematiklar fraktal shaklga turlicha taʼriflar berib oʻtishgan. Mandelbrot uni jozibador, qattiq va tobora ommalashmoqda deb taʼriflagan. Keyinchalik oʻzgartirishlar kiritib, bu boʻlaklarga boʻlina oladigan, har bir boʻlak butunning maʼlum bir qismi boʻlgan geometrik shakl ekanligini aytgan[12][13]. Fraktal atamasining qoʻllanilishi shu tarzda Mandelbrot taʼrifi bilan bogʻlab tushintiriladigan boʻldi, yaʼni fraktal soʻzi umumiy fraktal oʻlchami jihatdan qoʻllanilishi mumkin boʻlgan barcha variantlar uchun bir maʼnoda ishlatilishi mumkin[8].

Fraktal bilan birga matematikada fraktal oʻlcham atamasi keng qoʻllaniladi. Fraktal oʻlcham bu fraktal tuzilishga ega, uzluksiz naqshlar va toʻplamlarning taxminiy koʻrsatkichi boʻlib, ularning murakkabligi masshtablaridagi murakkablik bilan ifodalanadi. Fraktal oʻlchamlardan obyektlarning keng spektrik tasvirlari, turbulentlik, daryo tarmoqlari, shaharlar oʻsishi, inson fiziologiyasi, tibbiyot, bozor va tendensiya kabi soha va yoʻnalishlarda foydalanish mumkin. Fraktal oʻlchamlarga ilk marta murakkab geometrik shakllarni oʻlcham jihatdan belgilovchi birlik sifatida qaralgan. Oddiy geometrik shakllar esa nazariy fraktal qiymat shakllar toʻplamining evklid yoki topologik oʻlchami bilan bir xil hisoblab topilgan. Fraktalni toʻplam holida oʻlchash kerak boʻlsa, qiymat uning topologik oʻlchamidan yuqori chiqadi va toʻplam fraktal geometriyaga ega deb hisoblanadi[14].

Etimologiyasi

[tahrir | manbasini tahrirlash]

Fraktal atamasi 1975-yilda Fransuz matematigi Benoît Mandelbrot tomonidan fanga kiritilgan[15]. Lotinchada „frāctus“ – buzilgan, singan degan maʼnolarni anglatadi. Nazariy jihatdan fraktal oʻlchovlar tabiatdagi geometrik naqshlarni hisoblashga nisbatan ham ishlatilgan[6][16].

Taʼrifi

[tahrir | manbasini tahrirlash]
Oddiy fraktal daraxti.
Oʻn bir iteratsiyali fraktal daraxti.

Matematikada va jamoatchilik talqinida fraktal tushunchasi turli xil maʼnolar kasb etadi. Jamoatchilikda koʻproq bu sanʼat bilan bogʻlanadi. Sanʼat jihatdan qaraganda bir-biriga oʻxshash, nozik tuzilmalarni kattalashtirish uchun obyektiv va boshqa qurilmalar yordamida ularning yana takrorlanishini kuzatish mumkin. Bunda fraktallarda oʻzgarish sodir boʻlmaydi ammo bir xil naqsh qayta-qayta takrorlanadi[17][18]. Matematik usullarsiz tushinilishi mumkin boʻlgan fraktalning yana bir xususiyati oʻlchamining topografik oʻlchamdan kattaroq boʻlishidir. Fraktal va geometrik toʻgʻri shakllarni solishtirsak, toʻgʻri chiziq odatiy ravishda bir oʻlchovli deb qabul qilingan, agar u asl uzunligidan 1/3 qismga boʻlinsa, unda uchta teng boʻlak hosil boʻladi. Kvadrat shakl ikki oʻlchamli deb qaraladi va ikkala oʻlchamda 1/3 marta kichraytirilsa boʻlaklar soni ortadi. Bunda koʻrib chiqsak, obyektlar qaysidir oʻlchovda boʻlganda uni boʻlaklarga boʻlish, miqdorning ortishiga olib kelyapti. Masshtab faktori kichrayapti. Fraktallar nazariyasida egri chiziqda koʻrilganda uni toʻrtta kichik nusxaga boʻlish mumkin va ularning har biri 1/3 miqyosda koeffitsiyentiga koʻra kichiklashadi. Bunda egri chiziq oʻlchamini 3D=4 formula boʻyicha mos keladi va D sonini fraktal oʻlchamini ifodalaydi. Shunday qilib, fraktallarni obyektning haqiqiy oʻlchamidan farq qiladigan topologik oʻlcham deyish mumkin.

3D modellashtirish orqali yaratilgan fraktal.

Matematik tenglamalarda fraktallar hech bir joyda farqlanmaydi va ularni odatiy usullar bilan oʻlchab boʻlmaydi[19][20]. Toʻlqinsimon, fraktal boʻlmagan egri chiziqning uzunligini topishda toʻlqinlar ustida uchlari mos keladigan darajada kichik oʻlchov asbobi oʻrnatiladi. Oʻchov asbobi va chiziq segmentlari ulanadi. Ammo qor parchasi kabi murakkab egri chiziqli, fraktal boʻlgan shakllarda segment topib boʻlmaydi, sababi asbob oʻrnatishga harakat qilinganda, shikastlangan qism oʻz oʻrnini tezda toʻldiradi, kichik masshtablarda qaytadan tiziladi. Natijada butun egri chiziq yuzasini qoplab oʻlchash uchun cheksiz oʻlchov lentasi kerak boʻladi va bundan kelib chiqib qor parchasi kabi fraktal shakllar cheksiz perimetrga ega deb qaraladi[21].

Tarixi

[tahrir | manbasini tahrirlash]
Koch qor parchasi. Teng qirrali uchburchakdan boshlanib, har bir chiziq segmentining oʻrtacha uchdan bir qismida teng qirrali burma hosil qiluvchi juft chiziq segmentlari bilan almashtiradigan fraktal.
Cantor (uchlik) toʻplami.

Fraktallar tarixi dastlabki geometrik nazariy maʼlumotlardan kompyuter grafikasidagi zamonaviy usullargacha boʻlgan rivojlanishni oʻz ichiga oladi. Koʻpchilik olimlar tomonidan fraktallarning yangi koʻrinishlari kashf qilinib kelingan[22][23]. Sanʼat sifatida Afrika anʼanaviy arxitektura madaniyatida fraktallar masshtablaridan foydalanish keng tarqalgan. Bunda kichik obyektlardan kattalarining hosil boʻlishi, masalan, dumaloq uy-joylardan dumaloq shaklda qishloqlarning qurilishini koʻrish mumkin[24]. Matematik nazariyalari XVII asrda matematik va faylasuf Gottfried Leibnizning strukturalarning bir-birga oʻxshashligi fikrlari asosida shakllanib boshlagan[25]. 1872-yil 18-iyunda Karl Weierstrass birinchi marta bugungi kunda fraktal deb hisoblash mumkin boʻlgan geometrik shaklni ommaga namoyish etgan. U Prussiya Qirollik Fanlar Akademiyasida hamma joyda uzluksiz va hech joyda farqlanmaydigan tuzilmani fraktal ekanligini taʼriflagan[26][22][23]. 1883-yilda Weierstrass maʼruzalari boʻyicha tahsil olgan Georg Cantor gʻayrioddiy xususiyatlarga ega boʻlgan, hozirda fraktallar sifatida tan olingan Cantor toʻplamlarini nashr ettirgan[27].

Julia toʻplami, Mandelbrot toʻplamiga tegishli fraktallardan biri.
Fraktal daraxtidan Sierpiński qistirmasi hosil boʻlishi.

Felix Klein hamda Henri Poincaré oʻrta asrning soʻngi yillarida oʻziga teskari fraktallar deb nomlanuvchi Poincaré fraktallarini fanga kiritgan. Keyingi muhim burilish, 1904-yilda Helge von Koch tomonidan Poincaré gʻoyalari hamda Weierstrassning mavhumlik va analitiklik taʼrifidan rozoriligi asosida fraktalning qoʻlda chizilgan tasvirini yaratilgan va u Koch qor parchasi deb atalgan[22][23].

Multifraktal masshtabli fraktal turi.
Bir xil massa markazli uchburchak fraktal.

Oradan oʻn yil oʻtib, 1915-yilda yana bir muhim voqea, Wacław Sierpiński oʻzining mashhur uchburchagi (Sierpiński uchburchagi), bir yildan keyin Sierpiński gilami nomli fraktallarni yaratdi. Sierpiński uchburchagi bu teng tomonli, uchlari bir-biriga koʻp marta qayta ulab hosil qilinadigan uchburchak koʻrinishdagi fraktal[28]. 1918-yilda ikki fransuz matematigi Pierre Fatou va Gaston Julia mustaqil faoliyat yuritib, bir vaqtda murakkab raqamlar va funksiyalarni fraktal usullarda xaritalash ishlarini olib borishgan. 1918-yil mart oyiga kelib Felix Hausdorff fraktallarda oʻlchov tushinchasini kengaytirgan. Bir-biriga oʻxshash egri chiziqlar loyihasini Paul Lévy fanga olib kirgan.

Dizayn sohasida fraktal shakllarning keng yoyilishi dastlabki tadqiqotchilarning qoʻlyozma chizmalari bilan bogʻliq. Zamonaviy kompyuter grafikasi yordamisiz dastlabki naqshlar fraktallar koʻrinishida boʻlgan ammo ularning oʻlcham va qiymatini baholash uchun yetarli vositalar mavjud boʻlmagan[29][30]. 1975-yilda Mandelbrot tomonidan fraktal tushunchasining fanga olib kirilishi yuzlab yillik fikr va mulohazalarni bir toʻxtamga jamladi. U fraktalning matematik izohini kompyuterda yaratilgan vizualizatsiyalar orqali tasvirladi va tasavvur uygʻotishga erishdi. Bulardan uning Mandelbrot toʻplami mashhurlikka erishgan. Ularning barchasi ham rekursiyaga asoslanib, fraktal atamasini mazmunan ochib berishga qaratilgan[31][22][25]. 1980-yilda Loren Carpenter „SIGGRAPH“ (Kompyuter grafikasi va interaktiv texnikalar boʻyicha maxsus qiziqish guruhi)da oʻzining fraktal usulda landshaftlar yaratish boʻyicha dasturiy taʼminotini namoyish etgan[32].

Turlari

[tahrir | manbasini tahrirlash]
2x da 120 darajali rekursiv iteratsiyalangan funksiya tizimlari.

Mandelbrot keltirgan taʼrif boʻyicha fraktal bu oʻz-oʻzini takrorlaydigan qismlardan tashkil topgan, tartibsiz boʻlaklangan shakl. Ularning har biri butunning kichraytirilgan nusxasi[6][33][34][35]. Fraktallarning barchasi umumiy tuzilish qonuniyatiga boʻysungani bilan, maʼlum bir shakllari jihatdan turlarga boʻlinishi mumkin. Falconer takidlashicha, ular quyidagi xususiyatlari bilan xarakterlanadi:

  • Toʻliq oʻxshash qismli fraktal: barcha qismlari bir xil naqshli, masalan, qor parchasi.
  • Faqat oʻziga oʻxshash fraktal: turli masshtablardagi bir xil naqshlar, masalan, Mandelbrot toʻplami.
  • Statistik oʻziga oʻxshash fraktal: naqshlari tasodifiy takrorlanadi, son yoki statistik koʻrsatkichlari shkalalar boʻyicha saqlanib qoladi. Ularda Koch qor parchasi kabi takrorlanadigan qismni topish mushkul. Tasodifiy hosil boʻladigan fraktallarga Britaniya qirgʻoq chizigʻining oʻlchamlarini kiritish mumkin[36].
  • Sifatiy jihatdan oʻziga oʻxshash fraktal: Vaqt qismlari kabi.
  • Multifraktal masshtabli fraktal: Bir nechta fraktal oʻlchovli va masshtabli qiyoslashga koʻra aniqlanadi.
  • Bundan tashqari fraktallarning shunday turlari borki, ularda segmentlar mahalliy va umumiy miqyosda tartibsiz joylashgan boʻladi va ularni geometrik jihatdan osonlikcha tasvirlab boʻlmaydi. Bunday fraktallarni tasvirlash uchun yuzalarini silliqlash, burilishlarini tekislash usullari qoʻllaniladi[8]. Guruh boʻlib joylashganda fraktallar va fraktal boʻlmagan shakllarni ajratish qiyinchilik tugʻdirishi mumkin. Chunki fraktal qismlari orasida ular oʻzaro oʻxshash shakllarda ham uchraydi[6].

Fraktal hosil qilishning umumiy usullari

[tahrir | manbasini tahrirlash]
L-tizimlar tamoyillari asosida silico modellashtirilgan, oʻziga xos shoxlanishli naʼmuna[37].

Fraktallarni yaratishda fraktal hosil qiluvchi dasturlardan foydalaniladi. Bunda ularga kapalak effekti taʼsir qiladi va bu orqali kichik oʻzgarishlar oldindan aytib boʻlmaydigan natijalarga olib kelishi mumkin. Quyida bir qancha usullar keltirilgan:

Muqobil havola uchun cheklangan boʻlinish qoidasi asosida yaratilgan fraktal.

Modellashtirilgan fraktallar

[tahrir | manbasini tahrirlash]
Fraktal turdagi musiqa

Tabiatda fraktal naqshlarning barcha turlari ham mavjud boʻlmay, ularning koʻpchiligi keng koʻlamda modellashtiriladi. Modellashtirish esa nazariy jihatdan tabiatda mavjud boshqa fraktallarni va fraktal xususiyatga ega boshqa hodisalarni ham tahlil qilishga yordam beradi. Jarayon natijalarida yuqori badiiy tasvirlar, grafik dizayn naʼmunalari, tahlillar koʻrsatkichlari olishga erishilgan. Bu esa texnologiya rivojida qoʻl kelgan. Kompyuter sohasida video oʻyinlarni loyihalashtirishda ham fraktallardan foydalanish ommalashgan[43].

Modellashtirilgan fraktallar tovushlar, ritmlar, raqamlar, elektrokimyoviy naqshlar koʻrinishida boʻlishi mumkin[44][45]. Fraktal naqshlar oʻlchami 3 oʻlchovli fazoda, virtual tarzda modellashtiriladi. Fraktal modellari yuqorida aytib oʻtilgan usullarda fraktal yaratuvchi maxsus dasturiy taʼminotda yasaladi[46][47]. Masalan, rekursiv algoritmlar va L-tizimlar texnikalari yordamida daraxtlar shoxlanishi, nerv sistema hujayralari, qon tomirlar, oʻpkadagi shoxlanishlar kompyuterda modellashtiriladi[48]. Rekursiv nashqlar turini tabiatda ham uchratish mumkin. Daraxtlar shoxlari, paparotnik barglariga butun fraktal shaklning kichik boʻlagi, segmentlari deb qarash mumkin. Togʻlar va qirgʻoqlar esa tasodifiy fraktallarga misol boʻladi. Bundan tashqari koinotda galaktika va yulduzlar turkumlarining joylashishlari fraktal hisob-kitoblar asosida aniqlanadi[49]. Ulardan olingan tasavvurlar boʻyicha fraktallar modellashtiriladi.

Fraktal tabiat hodisalari

[tahrir | manbasini tahrirlash]

Tabiatda kuzatiladigan fraktal koʻrinishdagi obyektlar va jarayonlar cheklangan masshtab diapozonlarida oʻzaro oʻxshashlikni namoyon qiladi[50]. Tabiatning jalb qiluvchi xususiyatlari, evolutsiyani shakllantiruvchi hodisalar, oʻzgaruvchan jarayonlarning hammasi fraktallar orqali yuzaga keladi[51]. Fraktal xususiyatlarga ega boʻlgan hodisalarga quyidagilarni keltirish mumkin:

• Aktin sitoskeleti[52]

• Proteinlar[53]

• Yosinlar

• Brown harakati[54]

• Sohil chiziqlari[55][56][57]

• Bulutlar harakati[58]

• Okean toʻlqinlari[59]

• Kraterlar[60][61]

• Kristallar[62]

• DNK

• Chang donalari

• Zilzilalar

• Qon tomirlar

• Oʻpka tomirlari

• Yurak urishi tovushi[63]

• Purkine hujayralari[64]

• Saturn halqalari[65][66]

• Qor parchasi[67]

• Tuproqdagi teshiklar

• Turbulent oqim[68][69]

• Daraxtlar[70]

• Neyronlar

• Chaqmoq

  • Sovuq shishada tabiiy ravishda paydo boʻlgan muz kristallarining fraktal naqshlar hosil qilishi
    Sovuq shishada tabiiy ravishda paydo boʻlgan muz kristallarining fraktal naqshlar hosil qilishi
  • Geometrik optik sistemada fraktal havza chegarasi
    Geometrik optik sistemada fraktal havza chegarasi
  • Ikkita yelim bilan qoplangan akril varaqni ajratib olish jarayonida fraktal hosil boʻlishi
    Ikkita yelim bilan qoplangan akril varaqni ajratib olish jarayonida fraktal hosil boʻlishi
  • Akril shisha blokining ichida yuqori kuchlanish bilan parchalangan fraktal – Lichtenberg figurasi hosil qilinishi
    Akril shisha blokining ichida yuqori kuchlanish bilan parchalangan fraktal – Lichtenberg figurasi hosil qilinishi
  • Romanesco broccoli, tabiiy fraktalga yaqinlashuvchi oʻziga xos shakl
    Romanesco broccoli, tabiiy fraktalga yaqinlashuvchi oʻziga xos shakl
  • Muzdan tushirilgan fraktal naqshlari. Naqshlar muzlatilgan CO2 sublimatsiyasi orqali hosil boʻladi. Tasvirning kengligi taxminan bir kilometr
    Muzdan tushirilgan fraktal naqshlari. Naqshlar muzlatilgan CO2 sublimatsiyasi orqali hosil boʻladi. Tasvirning kengligi taxminan bir kilometr
  • Brefeldia maxima. Yogʻochda oʻsadigan Slime zamburugʻi
    Brefeldia maxima. Yogʻochda oʻsadigan Slime zamburugʻi
  • Psilomelan. Ohaktoshdagi kristallar
    Psilomelan. Ohaktoshdagi kristallar

Hujayra biologiyasida fraktallar

[tahrir | manbasini tahrirlash]
Oʻpka alveolalarining fraktal shoxlanishi.

Tirik organizmlarda fraktallarni asosan shoxlanish va naqshlanish jarayonlarida koʻrish mumkin. Ian Wong va uning jamoasi tomonidan koʻchib yuruvchi hujayralar toʻplanib fraktallarni hosil qilishi isbotlangan[71]. Nerv hujayralarida bu jarayon aniqroq koʻzga tashlanadi, nerv hujayralari yuzasida impuls oʻtish katta sirt va hajm talab qiladi va shuning uchun ham nerv toʻri fraktal koʻrinishda boʻladi[72]. Bu esa hujayra fiziologiyasi va patologiyasida muhim ahamiyatga ega[73]. Bundan tashqari hujayraosti tuzilmalar ham fraktal holida toʻplanishi isbotlangan. Diego Krapf inson organizmi hujayralarida aktin filamenti fraktal shakllarda toʻplanishini aniqlagan[74]. Shu jihatdan Matthias Weiss endoplazmatik retikulumning fraktal xususiyatini ochib bergan[75]. Yurak urish ritmi, qorachiq harakatlari asosi ham fraktal tuzilishlardan iborat[76]. Xulosa qilib aytganda, organizmning kichik oqsil tuzilishlaridan boshlab organlar sistemasigacha barchasida fraktallarni uchratish mumkin.

Ijodiy ishlar

[tahrir | manbasini tahrirlash]

1999-yildan boshlab koʻplab ilmiy guruhlar tomonidan fraktallar sohasida koʻplab ijodiy ishlar amalga oshirilib kelingan. Jackson Pollock tomonidan boʻyoq quyish orqali yaratilgan 50 dan ortiq rasmlarda fraktal tahlillar oʻtkazilgan[77][78][79]. Nevrologlar tomonidan Pollock fraktallari modellashtirilgan fraktallar va tabiat fraktallari kabi stressni pasaytirishi mumkinligi aytilgan[80]. Max Ernst kabi rassomlar dekalkomaniya usulida fraktalga oʻxshash shakllarni yaratgan. Bunda ikki sirt orasiga boʻyoq bosilgan va keyin ular bir-biridan ajratilgan[81]. Kibernetik Ron Eglash fraktallar nazariyasini matematika va geometriya bilan birga Afrika sanʼati, oʻyinlari, savdo va uy-joylari asosida meʼmorchilikda qoʻllashni taklif qilgan. Shu bilan dumaloq uylar yigʻilib doirasimon koʻchalar, toʻrtburchak mahallalar ichida toʻrtburchak tuzilmali uylar paydo boʻlgan. Fraktal naqshli shakllarni Afrika xalqlari toʻqimachiligida, haykaltaroshlik sohalarida ham uchratish mumkin. Hatto u makkajoʻxori popugida ham topilgan[82]. Hokky Situngkir Indoneziya anʼanaviy sanʼati, uylari va bezaklarida ham fraktal oʻxshashliklarni loyihalashtirishni taklif qilgan[83][84].

Etnograf olim Ron Eglash fraktallardan foydalangan holda shaharlar tuzilishi bilan xonadonlar ichki dizaynini loyihalashtirishni ham koʻrib chiqqan. U Afrika meʼmorchiligi haqida shunday izoh beradi: „Yevropaliklar ilk marta Afrikaga kelganida ularning meʼmorchiligi juda murakkab va tartibsiz ekanligiga guvoh boʻlishgan va bu tuzilishni ular ham, afrikaliklarning oʻzlari ham matematik shakl ekanligini tasavvur qilishmagan“. Gollandiyalik rassom M. C. Escher oʻz asarlarida cheksizlik bilan takrorlanadigan shakllarni tasvirlagan, ularga yaqinlashib nazar tashlaganda yanada kichikroq ammo bir xil tuzilmalarni koʻrish mumkin boʻlgan. Circle Limit III fraktali uning shu kabi loyihalaridan biri[85].

Estetik fraktal dizayni

[tahrir | manbasini tahrirlash]

Tabiatda keng tarqalgan fraktal naqshlar ham oʻzaro oʻxshash tarkibiy qismlarga ega va takrorlanuvchan. Tabiat bilan bogʻliq inson omili tomonidan yaratilgan muhitda fraktallardan estetik va psixologik taʼsir koʻrsatishda foydalanish mumkin. Estetik fraktallar aholining ijtimoiy farovonligi va ijobiy psixologik holatini barqarorlashtirishda ahamiyatga ega. Ushbu dizayn asosi alohida fraktallar „daraxti“ koʻrinishida boʻlib, global fraktal „oʻrmonlari“ni yaratishga qaratiladi va yaxlit umumiy tasvir hosil qilinadi. Ushbu tasvirlar bir nechta muhitlarni oʻz ichiga oladi va barchasi tomoshabinlar stressini kamaytirishga qaratiladi. Bu tadqiqot boʻyicha ishlanganda naqshning murakkabligi, afzalligi va jalb qiluvchi xususiyatlariga birinchi navbatda ahamiyat beriladi. Keyinchalik mahalliy toʻldiruvchi fraktal qismlarini umumiy naqshga qoʻshish hamda psixologik taʼsirning yuzaga chiqishiga eʼtibor qaratiladi. Tomoshabin naqshga qaraganida uni dam oldiruvchi va estetik taʼsir sifatida qabul qilishi kerak. Ushbu tajribalardan maqsad esa inson ruhiyatida qoʻzgʻalish (asabiylik, tashvishlanish) va tinchlanish holatlari oʻrtasida muvozanatga erishishdir. Daraxt shoxlanishi koʻrinishidagi oʻrta va murakkab fraktal shakllarning estetik dizayni inson tomonidan yaratilgan biomuhitda tadbiq etilib, turmush tarzining yaxshilanishiga hizmat qiladi[86].

  • Togʻ yuzasining modellashtirilgan animatsion fraktali
    Togʻ yuzasining modellashtirilgan animatsion fraktali
  • 3D rekursiv tasvir
    3D rekursiv tasvir
  • Rekursiv fraktal, kapalak tasviri
    Rekursiv fraktal, kapalak tasviri
  • Alanga fraktali
    Alanga fraktali

Fiziologik taʼsiri

[tahrir | manbasini tahrirlash]

Inson koʻzi ilgʻay oladigan fraktal oʻlcham kattaligi 1,3 dan 1,5 oraligʻida boʻlishi kerak[87]. Yaratiladigan fraktal naqshlar ham aynan shu xususiyatga asoslanadi va bu fiziologik jihatdan stressni kamaytiradi[88][89].

Manbalar

[tahrir | manbasini tahrirlash]
  1. ↑ Mandelbrot, Benoît B. The fractal geometry of nature, 1983. ISBN 978-0-7167-1186-5.. 
  2. ↑ Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-84862-3. 
  3. ↑ Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. London: Thames and Hudson — p. 148-bet. ISBN 978-0-500-27693-8.. 
  4. ↑ Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. Singapore/New Jersey: World Scientific. — 139–146-bet. ISBN 978-981-02-0668-0.. 
  5. ↑ Fraktal nazariyasi „Pedagogika-fraktal-nazariyasi“. Soff.uz.
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 Mandelbrot, Benoît B.. The fractal geometry of nature. Macmillan, 1983. ISBN 978-0-7167-1186-5. 
  7. ↑ KOMPYUTER GRAFIKASI VA WEB-DIZAYN, M.E.MAMARAJABOV, S.Q.TURSUNOV, L.M. NABIULINA. tiu-edu.uz/media/books. Toshkent: Choʻlpon nomidagi nashriyot-matbaa ijodiy uyi, 2013 — 15-bet. ISBN 978-9943-05-601-5. Qaraldi: 17-dekabr 2024-yil. 
  8. ↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 Mandelbrot, Benoît B.. Fractals and Chaos. Berlin: Springer, 2004 — 38-bet. ISBN 978-0-387-20158-0. „A fractal set is one for which the fractal (Hausdorff-Besicovitch) dimension strictly exceeds the topological dimension“ 
  9. ↑ Gouyet, Jean-François. Physics and fractal structures. Paris/New York: Masson Springer, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0. 
  10. ↑ Mandelbrot, Benoît B. The fractal geometry of nature, 1983. ISBN 978-0-7167-1186-5.. 
  11. ↑ Segal, S. L. (June 1978). "Riemann's example of a continuous 'nondifferentiable' function continued". The Mathematical Intelligencer 1 (2): 81–82. doi:10.1007/BF03023065. 
  12. ↑ Mandelbrot, Benoît B. The fractal geometry of nature, 1983. ISBN 978-0-7167-1186-5.. 
  13. ↑ Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-84862-3. 
  14. ↑ Raqamli texnologiyalarning nazariy va amaliy masalalari xalqaro jurnalidan „Yer_yuzasining_chegara_uzunligini_fraktal_olchovlar_usuli_yordamida_aniqlash“. www.researchgate.net.
  15. ↑ Benoît Mandelbrot, Objets fractals, 1975, p. 4
  16. ↑ Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. „Benoît Mandelbrot: In his own words“, . Mathematical people : profiles and interviews. Wellesley, MA: AK Peters, 2008 — 214-bet. ISBN 978-1-56881-340-0. 
  17. ↑ Mandelbrot, Benoît B. The fractal geometry of nature, 1983. ISBN 978-0-7167-1186-5.. 
  18. ↑ Albers, Donald J, "Benoît Mandelbrot: In his own words". Mathematical people : profiles and interviews. Wellesley, MA: AK Peters „Alexanderson, Gerald L“. Qaraldi: 2008.
  19. ↑ Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. London: Thames and Hudson — p. 148-bet. ISBN 978-0-500-27693-8.. 
  20. ↑ Gordon, Nigel (2000). Introducing fractal geometry. ISBN 978-1-84046-123-7. 
  21. ↑ Mandelbrot, Benoît B. (1983), Macmillan. [The fractal geometry of nature The fractal geometry of nature]. ISBN 978-0-7167-1186-5. 
  22. ↑ 22,0 22,1 22,2 22,3 Edgar, Gerald. Classics on Fractals. Boulder, CO: Westview Press, 2004. ISBN 978-0-8133-4153-8. 
  23. ↑ 23,0 23,1 23,2 Trochet, Holly „A History of Fractal Geometry“. MacTutor History of Mathematics (2009). 2012-yil 12-martda asl nusxadan arxivlangan.
  24. ↑ Eglash, Ron. African Fractals Modern Computing and Indigenous Design. Rutgers University Press, 1999. ISBN 978-0-8135-2613-3. 
  25. ↑ 25,0 25,1 Pickover, Clifford A.. The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling, 2009 — 310-bet. ISBN 978-1-4027-5796-9. 
  26. ↑ „Fractal Geometry“. www-history.mcs.st-and.ac.uk. Qaraldi: 2017-yil 11-aprel.
  27. ↑ „Fractal Geometry“. www-history.mcs.st-and.ac.uk. Qaraldi: 2017-yil 11-aprel.
  28. ↑ FRAKTAL GEOMETRIYANING TABIATDAGI VA TEXNOLOGIYALARDAGI KO’RINISHI UNING AMALIYOTDAGI QO‘LLANILISHI, Muzaffarjon+Ummatov+Alisher.pdf „www.intereuroconf.com/index.php/MSRAIDP/article“. www.intereuroconf.com.
  29. ↑ Mandelbrot, B. (1967). "How Long Is the Coast of Britain?". Science 156 (3775): 636–638. doi:10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. http://ena.lp.edu.ua:8080/handle/ntb/52473. Qaraldi: October 31, 2020. Fraktal]]
  30. ↑ Batty, Michael (April 4, 1985). "Fractals – Geometry Between Dimensions". New Scientist 105 (1450): 31. 
  31. ↑ Russ, John C.. Fractal surfaces. Springer, 1994 — 1-bet. ISBN 978-0-306-44702-0. Qaraldi: 2011-yil 5-fevral. 
  32. ↑ „Vol Libre, an amazing CG film from 1980“ (en). kottke.org (2009-yil 29-iyul). Qaraldi: 2023-yil 12-fevral.
  33. ↑ Gouyet, Jean-François. Physics and fractal structures. Paris/New York: Masson Springer, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0. 
  34. ↑ Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 2003 — xxv-bet. ISBN 978-0-470-84862-3. 
  35. ↑ Edgar, Gerald. Measure, topology, and fractal geometry. New York: Springer-Verlag, 2008 — 1-bet. ISBN 978-0-387-74748-4. 
  36. ↑ Karperien, Audrey. Defining microglial morphology: Form, Function, and Fractal Dimension. Charles Sturt University, 2004. DOI:10.13140/2.1.2815.9048. 
  37. ↑ Jelinek, Herbert F.; Karperien, Audrey; Cornforth, David; Cesar, Roberto; Leandro, Jorge de Jesus Gomes „MicroMod-an L-systems approach to neural modelling“, . Workshop proceedings: the Sixth Australia-Japan Joint Workshop on Intelligent and Evolutionary Systems, University House, ANU Sarker, Ruhul: . University of New South Wales, 2002. ISBN 978-0-7317-0505-4. OCLC 224846454. Qaraldi: 2012-yil 3-fevral. „Event location: Canberra, Australia“ 
  38. ↑ Frame, Angus „Iterated Function Systems“, . Chaos and fractals: a computer graphical journey : ten year compilation of advanced research Pickover, Clifford A.: . Elsevier, August 3, 1998 — 349–351-bet. ISBN 978-0-444-50002-1. Qaraldi: 2012-yil 4-fevral. 
  39. ↑ „Haferman Carpet“. WolframAlpha. Qaraldi: 2012-yil 18-oktyabr.
  40. ↑ Hahn, Horst K.; Georg, Manfred; Peitgen, Heinz-Otto (2005), "Fractal aspects of three-dimensional vascular constructive optimization". In Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (eds.). Fractals in biology and medicine. ISBN 978-3-7643-7172-2. 
  41. ↑ J. W. Cannon, W. J. Floyd, W. R. Parry. Finite subdivision rules. Conformal Geometry and Dynamics, vol. 5 (2001), pp. 153–196.
  42. ↑ Carbone, Alessandra; Gromov, Mikhael; Prusinkiewicz, Przemyslaw. Pattern Formation in Biology, Vision and Dynamics (en). World Scientific, 2000. ISBN 978-981-02-3792-9. 
  43. ↑ Fraktallar, Fraktal modellashtirish asoslari „Fraktallar-fraktal-modellashtirish-asoslari“. https://cyberleninka.ru.
  44. ↑ Brothers, Harlan J. (2007). „Structural Scaling in Bach’s Cello Suite No. 3“. Fractals. 15 (1): 89–95. doi:10.1142/S0218348X0700337X.
  45. ↑ Fathallah-Shaykh, Hassan M. (2011). "Fractal Dimension of the Drosophila Circadian Clock". Fractals 19 (4): 423–430. doi:10.1142/S0218348X11005476. 
  46. ↑ Peters, Edgar (1996), Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-13938-6. 
  47. ↑ Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (2005), Springer. Fractals in biology and medicine. ISBN 978-3-7643-7172-2. 
  48. ↑ Hahn, Horst K.; Georg, Manfred; Peitgen, Heinz-Otto „Fractal aspects of three-dimensional vascular constructive optimization“, . Fractals in biology and medicine. Springer, 2005 — 55–66-bet. ISBN 978-3-7643-7172-2. 
  49. ↑ Fraktallar geometriyasi „sinaps.uz/maqola“. Sinaps.uz.
  50. ↑ „Hunting the Hidden Dimensional“. Nova. PBS. WPMB-Maryland. October 28, 2008.
  51. ↑ ILM SARCHASHMALARI, YOʻLDOSHEV Roʻzimboy. „ilmsarchashmalari.uz“ (PDF). № 1131. 32-bet. Qaraldi: 17-dekabr 2024-yil. {{cite magazine}}: Cite magazine requires |magazine= (yordam)CS1 maint: date format ()
  52. ↑ Sadegh, Sanaz (2017). "Plasma Membrane is Compartmentalized by a Self-Similar Cortical Actin Meshwork". Physical Review X 7 (1): 011031. doi:10.1103/PhysRevX.7.011031. PMID 28690919. PMC 5500227. //www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=5500227. 
  53. ↑ Enright, Matthew B.; Leitner, David M. (January 27, 2005). "Mass fractal dimension and the compactness of proteins". Physical Review E 71 (1): 011912. doi:10.1103/PhysRevE.71.011912. PMID 15697635. https://zenodo.org/record/895378. 
  54. ↑ Falconer, Kenneth. Fractals, A Very Short Introduction. Oxford University Press, 2013. 
  55. ↑ D. Seekell; B. Cael; E. Lindmark; P. Byström (2021). "The fractal scaling relationship for river inlets to lakes". Geophysical Research Letters 48 (9): e2021GL093366. doi:10.1029/2021GL093366. ISSN 0094-8276. http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:umu:diva-183511. 
  56. ↑ D. Seekell; M. L. Pace; L. J. Tranvik; C. Verpoorter (2013). "A fractal-based approach to lake size-distributions". Geophysical Research Letters 40 (3): 517–521. doi:10.1002/grl.50139. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00932495/file/grl.50139.pdf. 
  57. ↑ B. B. Cael; D. A. Seekell (2016). "The size-distribution of Earth's lakes". Scientific Reports 6: 29633. doi:10.1038/srep29633. PMID 27388607. PMC 4937396. //www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=4937396. 
  58. ↑ Lovejoy, Shaun (1982). "Area-perimeter relation for rain and cloud areas". Science 216 (4542): 185–187. doi:10.1126/science.216.4542.185. PMID 17736252. 
  59. ↑ Addison, Paul S.. Fractals and chaos: an illustrated course. CRC Press, 1997 — 44–46-bet. ISBN 978-0-7503-0400-9. Qaraldi: 2011-yil 5-fevral. 
  60. ↑ Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (2007). "Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing". Earth and Planetary Science Letters 262 (3–4): 413. doi:10.1016/j.epsl.2007.07.056. 
  61. ↑ Sornette, Didier. Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools. Springer, 2004 — 128–140-bet. ISBN 978-3-540-40754-6. 
  62. ↑ Cannon, James W.; Floyd, William J.; Perry, Walter R. „Crystal growth, biological cell growth and geometry“, . Pattern formation in biology, vision and dynamics. World Scientific, 2000 — 65–82-bet. ISBN 978-981-02-3792-9. 
  63. ↑ Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (2009). "Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications". The Journal of Physiology 587 (15): 3929–41. doi:10.1113/jphysiol.2009.169219. PMID 19528254. PMC 2746620. //www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=2746620. 
  64. ↑ Takeda, T; Ishikawa, A; Ohtomo, K; Kobayashi, Y; Matsuoka, T (February 1992). "Fractal dimension of dendritic tree of cerebellar Purkinje cell during onto- and phylogenetic development". Neurosci Research 13 (1): 19–31. doi:10.1016/0168-0102(92)90031-7. PMID 1314350. 
  65. ↑ Takayasu, H.. Fractals in the physical sciences. Manchester: Manchester University Press, 1990 — 36-bet. ISBN 978-0-7190-3434-3. 
  66. ↑ Jun, Li; Ostoja-Starzewski, Martin (April 1, 2015). "Edges of Saturn's Rings are Fractal". SpringerPlus 4,158: 158. doi:10.1186/s40064-015-0926-6. PMID 25883885. PMC 4392038. //www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=4392038. 
  67. ↑ Meyer, Yves; Roques, Sylvie. Progress in wavelet analysis and applications: proceedings of the International Conference "Wavelets and Applications", Toulouse, France – June 1992. Atlantica Séguier Frontières, 1993 — 25-bet. ISBN 978-2-86332-130-0. Qaraldi: 2011-yil 5-fevral. 
  68. ↑ Sreenivasan, K. R.; Meneveau, C. (1986). "The Fractal Facets of Turbulence". Journal of Fluid Mechanics 173: 357–386. doi:10.1017/S0022112086001209. 
  69. ↑ de Silva, C. M.; Philip, J.; Chauhan, K.; Meneveau, C.; Marusic, I. (2013). "Multiscale Geometry and Scaling of the Turbulent–Nonturbulent Interface in High Reynolds Number Boundary Layers". Phys. Rev. Lett. 111 (6039): 192–196. doi:10.1126/science.1203223. PMID 21737736. 
  70. ↑ Mandelbrot, Benoit B (1978). "The fractal geometry of trees and other natural phenomena". Geometrical Probability and Biological Structures: Buffon's 200th Anniversary: Proceedings of the Buffon Bicentenary Symposium on Geometrical Probability, Image Analysis, Mathematical Stereology, and Their Relevance to the Determination of Biological Structures: 235–249. 
  71. ↑ Leggett, Susan E.; Neronha, Zachary J.; Bhaskar, Dhananjay; Sim, Jea Yun; Perdikari, Theodora Myrto; Wong, Ian Y. (2019-08-27). "Motility-limited aggregation of mammary epithelial cells into fractal-like clusters" (en). Proceedings of the National Academy of Sciences 116 (35): 17298–17306. doi:10.1073/pnas.1905958116. ISSN 0027-8424. PMID 31413194. PMC 6717304. //www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=6717304. 
  72. ↑ Jelinek, Herbert F; Fernandez, Eduardo (June 1998). "Neurons and fractals: how reliable and useful are calculations of fractal dimensions?" (en). Journal of Neuroscience Methods 81 (1–2): 9–18. doi:10.1016/S0165-0270(98)00021-1. PMID 9696304. https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0165027098000211. 
  73. ↑ Cross, Simon S. (1997). "Fractals in Pathology" (en). The Journal of Pathology 182 (1): 1–8. doi:10.1002/(SICI)1096-9896(199705)182:1<1::AID-PATH808>3.0.CO;2-B. ISSN 1096-9896. PMID 9227334. 
  74. ↑ Sadegh, Sanaz; Higgins, Jenny L.; Mannion, Patrick C.; Tamkun, Michael M.; Krapf, Diego (2017-03-09). "Plasma Membrane is Compartmentalized by a Self-Similar Cortical Actin Meshwork" (en). Physical Review X 7 (1): 011031. doi:10.1103/PhysRevX.7.011031. ISSN 2160-3308. PMID 28690919. PMC 5500227. //www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=5500227. 
  75. ↑ Speckner, Konstantin; Stadler, Lorenz; Weiss, Matthias (2018-07-09). "Anomalous dynamics of the endoplasmic reticulum network" (en). Physical Review E 98 (1): 012406. doi:10.1103/PhysRevE.98.012406. ISSN 2470-0045. PMID 30110830. https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.98.012406. 
  76. ↑ TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ILMIY AXBOROTLARI ILMIY-NAZARIY JURNALI, Sharipov Sh.S. „new.tdpu.uz“ (PDF). № 3 (19) 2019. 22-bet. Qaraldi: 17-dekabr 2024-yil. {{cite magazine}}: Cite magazine requires |magazine= (yordam)CS1 maint: date format ()
  77. ↑ Taylor, R. P. (1999). "Fractal Analysis of Pollock's Drip Paintings". Nature 399 (6735): 422. doi:10.1038/20833. 
  78. ↑ Taylor, R. P. (2006). "Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings (Reply)". Nature 444 (7119): E10–11. doi:10.1038/nature05399. 
  79. ↑ Lee, S.; Olsen, S.; Gooch, B. (2007). "Simulating and Analyzing Jackson Pollock's Paintings". Journal of Mathematics and the Arts 1 (2): 73–83. doi:10.1080/17513470701451253. 
  80. ↑ Shamar, L. (2015). "What Makes a Pollock Pollock: A Machine Vision Approach". International Journal of Arts and Technology 8: 1–10. doi:10.1504/IJART.2015.067389. http://vfacstaff.ltu.edu/lshamir/publications/wm_pollock.pdf. Qaraldi: October 24, 2017. Fraktal]]
  81. ↑ Taylor, R. P.; Spehar, B.; Van Donkelaar, P.; Hagerhall, C. M. (2011). "Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock's Fractals". Frontiers in Human Neuroscience 5: 1–13. doi:10.3389/fnhum.2011.00060. PMID 21734876. PMC 3124832. //www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=3124832. 
  82. ↑ Frame, Michael; and Mandelbrot, Benoît B.; A Panorama of Fractals and Their Uses (Wayback Machine saytida December 23, 2007, sanasida arxivlangan)
  83. ↑ Situngkir, Hokky; Dahlan, Rolan (2009). Fisika batik: implementasi kreatif melalui sifat fraktal pada batik secara komputasional. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. ISBN 978-979-22-4484-7
  84. ↑ Rulistia, Novia D.. „Application maps out nation's batik story“ (2015-yil 6-oktyabr). Qaraldi: 2016-yil 25-sentyabr.
  85. ↑ Koutonin, Mawuna (March 18, 2016). „Story of cities #5: Benin City, the mighty medieval capital now lost without trace“. Retrieved April 2, 2018.
  86. ↑ Robles, Kelly E.; Roberts, Michelle; Viengkham, Catherine; Smith, Julian H.; Rowland, Conor; Moslehi, Saba; Stadlober, Sabrina; Lesjak, Anastasija et al. (2021). "Aesthetics and Psychological Effects of Fractal Based Design". Frontiers in Psychology 12. doi:10.3389/fpsyg.2021.699962. ISSN 1664-1078. PMID 34484047. PMC 8416160. //www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=8416160. 
  87. ↑ Taylor, Richard P. „Fractal Fluency: An Intimate Relationship Between the Brain and Processing of Fractal Stimuli“, . The Fractal Geometry of the Brain, Springer Series in Computational Neuroscience. Springer, 2016 — 485–496-bet. ISBN 978-1-4939-3995-4. 
  88. ↑ Taylor, Richard P. (2006). "Reduction of Physiological Stress Using Fractal Art and Architecture". Leonardo 39 (3): 245–251. doi:10.1162/leon.2006.39.3.245. https://zenodo.org/record/894740. 
  89. ↑ For further discussion of this effect, see Taylor, Richard P.; Spehar, Branka; Donkelaar, Paul Van; Hagerhall, Caroline M. (2011). "Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock's Fractals". Frontiers in Human Neuroscience 5: 60. doi:10.3389/fnhum.2011.00060. PMID 21734876. PMC 3124832. //www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=3124832. 

Adabiyotlar

[tahrir | manbasini tahrirlash]

Havolalar

[tahrir | manbasini tahrirlash]
Wikimedia Commonsda Fractal mavzusiga oid fayllar bor. 
"https://uz.wikipedia.org/w/index.php?title=Fraktal&oldid=5348654" dan olindi