Uchburchaklar yechimlari

Uchburchaklar yechimi (lotincha: solutio triangulorum) uchburchakning xarakteristikalarini (tomonlarining burchaklari va uzunliklari) topish trigonometriyaning asoaiy muammosi boʻlib, ulardan baʼzilari nomaʼlum. Uchburchaklar tekislikda yoki sharda joylashgan boʻlishi mumkin. Uchburchak yechimlarini talab qiladigan yoʻnalishlar geodeziya, astronomiya, qurilish va navigatsiyani oʻz ichiga oladi.

Tekislikdagi uchburchaklarini yechish

Umumiy shakldagi uchburchak oltita asosiy xususiyatga ega (rasmga qarang): uchta yon uzunliklari (yon uzunliklari $a, b, c$ ) va uchta burchaklari ( $α, β, γ$ ). Klassik tekislik trigonometriyasi muammosi oltita xususiyatdan uchtasini belgilash va qolgan uchtasini aniqlashdir. Quyidagilardan biri berilganda uchburchak shu usulda aniqlanishi mumkin^[1]^[2]:

Uch tomon (SSS)
Ikki tomon va kiritilgan burchak (SAS)
Ikki tomon va ular orasidagi burchak (SSA), agar burchakka yopishgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa.
Yon va unga yopishgan ikki burchak (ASA)
Bir tomon, unga qarama-qarshi burchak va unga qoʻshni boʻlgan burchak (AAS).

Uchburdagi barcha holatlar uchun kamida bitta tomon uzunligi koʻrsatilishi kerak. Agar faqat burchaklar berilgan boʻlsa ham, tomonlarning uzunliklarini aniqlab boʻlmaydi, chunki har qanday oʻxshash uchburchak yechimli hisoblanadi.

Trigonomik munosabatlar

Muammoni hal qilishning standart usuli — fundamental munosabatlardan foydalanish usulidir.

Kosinuslar qonuni: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$; $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$; $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$
Sinuslar qonuni: ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$
Burchaklar yigʻindisi: $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$
Tangenslar qonuni: ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Boshqa (baʼzan amaliy jihatdan ha juda foydali) universal munosabatlar mavjud: kotangentlar qonuni va Molveyd formulasi .

Eslatma

Togʻning balandligini qanday oʻlchash mumkin

Nomaʼlum burchakni topish uchun kosinuslar qonun va sinuslar qonunidan foydalanish qulayroq. Buning sababi shundaki, uchburchakning burchagi uchun sinusning qiymati bu burchakni yagona qiymatini aniqlamaydi. Misol uchun, agar $sin β = 0.5$ boʻlsa, $β$ burchak 30 ° yoki 150 ° ga teng boʻlishi mumkin. Kosinuslar qonunidan foydalanish bu muammoning oldini oladi: 0 ° dan 180 ° gacha boʻlgan oraliqda kosinus qiymati uning burchagini aniq belgilaydi. Boshqa tomondan, agar burchak kichik (yoki 180 ° ga yaqin) boʻlsa, uni kosinusdan koʻra sinusdan aniqlash ishonchliroq boʻladi, chunki yoy-kosinus funktsiyasi 1 (yoki −1) da turlicha hosilaga ega boʻladi.
Belgilangan xususiyatlarning nisbiy pozitsiyasi maʼlum deb faraz qilamiz. Agar shunday boʻlmasa, uchburchakning koʻzgudagi aksi ham yechim boʻladi. Misol uchun, uch tomonning uzunligi uchburchakni yoki uning aksini aniq belgilaydi.

Uchta tomon berilgan (SSS)

Uch tomon uzunligi $a, b, c$ koʻrsatilsin. $α, β$ burchaklarni topish uchun kosinuslar qonunidan foydalanish mumkin boʻladi^[3]:

{\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}

Keyingi burchak: $γ = 180° - α - β$ .

Baʼzi manbalar sinuslar qonunidan $β$ burchakni topishni tavsiya qiladi, lekin (yuqoridagi 1-izohda aytilganidek) oʻtkir burchak qiymatini oʻtmas burchak qiymati bilan chalkashtirib yuborish xavfi mavjud.

Maʼlum tomonlardan burchaklarni hisoblashning yana bir usuli kotangenslar qonunini qoʻllashdir usulidir.

Ikki tomon va ular orasidagi burchak (SAS)

Bu yerda $a, b$ tomonlarning uzunliklari va bu tomonlar orasidagi $γ$ burchak maʼlum. Uchinchi tomonni kosinuslar qonunidan aniqlash mumkin boʻladi^[4]:

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.

Endi ikkinchi burchakni topish uchun ham kosinuslar qonunidan foydalansak boʻladi:

\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.

Nihoyat, $β = 180° - α - γ$ .

Ikki tomon va ular orasida boʻmagan burchak berilgan (SSA)

Bu ish hamma hollarda ham toʻgʻri boʻlmaydi; Agar burchakka ulashgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa, yechim yagona boʻladi. Faraz qilaylik, ikki tomon $b, c$ va $β$ burchak maʼlum. $γ$ burchak uchun tenglama sinuslar qonunidan nazarda tutilishi mumkin^[5]:

\sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .

Keyingi $D = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}c/b sin β$ ni belgilaymiz( $D =$ tenglamaning oʻng tomoni). Toʻrtta holat boʻlishi mumkin:

Agar $D > 1$ boʻlsa, bunday uchburchak mavjud boʻlmaydi, chunki $b$ tomoni $BC$ chizigʻiga yetib bormaydi. Xuddi shu sababga koʻra, agar burchak $β \geq 90°$ va $b \leq c$ boʻlsa ham yechim mavjud boʻlmaydi.
Agar $D = 1$ boʻlsa, yagona yechim mavjud: $γ = 90°$ , yaʼni toʻgʻri burchakli uchburchak boʻladi.
Agar $D < 1$ boʻlsa, ikkita variant mumkin.
1. Agar $b \geq c$ boʻlsa, u holda $β \geq γ$ (katta tomon katta burchak qarshisida boʻladi). Hech bir uchburchakda ikkita oʻtmas burchak boʻlishi mumkin emasligi sababli, $γ$ oʻtkir burchak va yechim $γ = arcsin D$ yagona yechim hisoblanadi.
2. Agar $b < c$ boʻlsa, $γ$ burchak oʻtkir boʻlishi mumkin: $γ = arcsin D$ yoki oʻtmas: $γ' = 180° - γ$ . Oʻngdagi rasmda birinchi yechim sifatida $C$ nuqta, $b$ tomon va $γ$ burchak, ikkinchi yechim sifatida esa $C'$ nuqta, $b'$ tomon va $γ'$ burchak koʻrsatilgan, uchinchi burchak $α = 180° - β - γ$ ga teng .

Uchinchi tomonni sinuslar qonunidan topish mumkin boʻladi:

$a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

yoki kosinuslar qonunidan ham topsa boʻladi:

$a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}$

Birta tomon va ikkita qoʻshni burchak berilgan (ASA)

Maʼlum uchburchakning $c$ tomoni va $α, β$ burchaklari berilgan. Uchinchi burchak esa $γ = 180° - α - β$ teng boʻladi.

Sinuslar qonunidan ikkita nomaʼlum tomonni topish mumkin^[6]:

a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }};\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}.

yoki

a=c{\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}

b=c{\frac {\sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}

Bitta tomon, bitta qoʻshni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan (AAS)

AAS uchburchagini yechish tartibi ASA uchburchagi bilan bir xil: Birinchidan, uchburchakning burchak yigʻindisi xususiyatidan foydalanib uchinchi burchakni topiladi, soʻngra sinuslar qonunidan foydalanib qolgan ikki tomoni ham topiladi.

Boshqa berilgan uzunliklar

Koʻp hollarda uchburchaklar uchta maʼlumotni hisobga olgan holda echilishi mumkin, ulardan baʼzilari uchburchakning medianalari, balandliklari yoki burchak bissektrisalarining uzunligi bilan hisoblanadi. Posamentier va Lemann^[7] 95 ta alohida holatlarning har biri uchun kvadrat ildizlardan yuqori boʻlmagan (yaʼni, konstruktivlik) yordamida yechish qobiliyatiga oid savolning yechimlarini sanab oʻtadilar; Ulardan 63 tasidan uchburchak yasash mumkin.

Sferik uchburchaklarni yechish

Ikki tomon va kiritilmagan burchak berilgan. Umumiy sferik uchburchakning oltita xususiyatidan uchtasi (3 ta tomon va 3 ta burchak) bilan toʻliq aniqlanadi. Sferik uchburchakning $a, b, c$ tomonlari uzunligi ularning markaziy burchaklari boʻlib, chiziqli birliklarga ega emas, balki burchaklari birliklarda oʻlchanadi. (Birlik sharda burchak (radianlarda) va shar atrofidagi uzunlik son jihatdan bir xil boʻladi. Boshqa sohalarda burchak (radianlarda) radiusga boʻlingan shar atrofidagi uzunlikka teng.)

Sferik geometriya planar Evklid geometriyasidan farq qiladi, shuning uchun sferik uchburchaklar yechimi turli qoidalarga asoslanadi. Masalan, $α + β + γ$ uchta burchakning yigʻindisi uchburchakning kattaligiga bogʻliq boʻladi. Bundan tashqari, oʻxshash uchburchaklar teng boʻlishi mumkin emas, shuning uchun belgilangan uchta burchakli uchburchakni qurish oʻziga xos yechimga ega. Muammoni hal qilish uchun ishlatiladigan asosiy munosabatlar tekislik holatiga oʻxshaydi: qarang: Kosinuslarning sferik qonuni va Sinuslarning sferik qonuni berilgan.

Foydali boʻlishi mumkin boʻlgan munosabatlar orasida yarim tomon formulasi va Napierning oʻxshashligi ham bor^[8]:

$\tan {\frac {c}{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\tan {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}$
$\tan {\frac {c}{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\tan {\frac {a-b}{2}}\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}$
$\cot {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}=\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}$
$\cot {\frac {\gamma }{2}}\sin {\frac {a-b}{2}}=\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}\sin {\frac {a+b}{2}}.$

Uch tomon berilgan (sferik SSS)

Maʼlum: tomonlar $a, b, c$ (burchak birliklarida). Uchburchakning burchaklari kosinuslarning sferik qonuni yordamida hisoblash mumkin:

\alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}}\right),

\beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right),

\gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}\right).

Ikki tomon va burchak berilgan (sferik SAS)

Bizga maʼlum: $a, b$ tomonlari va ular orasidagi $γ$ burchak. $c$ tomonini kosinuslarning sferik qonunidan topishimiz mumkin:

c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).

$α, β$ burchaklarni yuqoridagi kabi yoki Napier analogiyalari yordamida hisoblash mumkin:

\alpha =\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan({\frac {\gamma }{2}})\sin(b+a)+\cot({\frac {\gamma }{2}})\sin(b-a)}},

\beta =\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan({\frac {\gamma }{2}})\sin(a+b)+\cot({\frac {\gamma }{2}})\sin(a-b)}}.

Bu muammo yerning kenglik va uzunliklari bilan belgilangan ikki nuqta orasidagi katta doirani topishning navigatsiya muammosini hal qilishda yordam beradi; ushbu ilovada yaxlitlash xatolariga moyil boʻlmagan formulalardan foydalanish muhimdir. Buning uchun quyidagi formulalardan (vektor algebrasi yordamida olinishi ham mumkin) foydalanish mumkin:

{\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}

bu iboralardagi sanoq va maxrajlarning belgilaridan arktangensning kvadrantini aniqlash uchun foydalanish mumkin.

Ikki tomon va kiritilmagan burchak berilgan (sferik SSA)

Bu muammoni hamma hollarda ham hal qilib boʻlmaydi; Agar burchakka yopishgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa, yechim yagona boʻladi. Bizga maʼlum: tomonlar $b, c$ va ular orasidagi boʻlmagan $β$ burchak. Agar quyidagi shart bajarilsa, yechim mavjud boʻladi:

b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta ).

$γ$ burchakni sinuslarning sferik qonunidan topish mumkin boʻladi:

\gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right).

uchburchak holatiga kelsak, agar $b < c$ boʻlsa, u holda ikkita yechim mavjud boʻladi: $γ$ va $180° - γ$ .

Napier analogiyalaridan foydalanib, biz boshqa xususiyatlarni ham topishimiz mumkin:

{\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right].\end{aligned}}

Bitta tomon va ikkita qoʻshni burchaklar berilgan (sferik ASA)

Maʼlum: $c$ tomoni va burchaklar $α, β$ . Avval kosinuslarning sferik qonuni yordamida $γ$ burchakni topib olamiz:

\gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).\,

Kosinuslarning sferik qonunidan ikkita nomaʼlum tomonni topishimiz mumkin (hisoblangan $γ$ burchak yordamida) boʻladi:

a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),

b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }}\right),

yoki Napierning analogiyalaridan foydalangan holda quyidagi tenglik hosil boʻladi:

{\begin{aligned}a&=\arctan \left[{\frac {2\sin \alpha }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\beta +\alpha )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\beta -\alpha )}}\right],\\[4pt]b&=\arctan \left[{\frac {2\sin \beta }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\alpha +\beta )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\alpha -\beta )}}\right].\end{aligned}}

Bir tomon, bitta qoʻshni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan (sferik AAS)

Bizga maʼlum: $a$ tomon va burchaklar $α, β$ . $b$ tomonini sinuslarning sferik qonunidan topish mumkin boʻladi:

b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).

Agar a tomon $a$ burchak oʻtkir va $α > β$ boʻlsa, boshqa yechim ham mavjud:

b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).

Napier analogiyalaridan foydalanib, biz boshqa xususiyatlarni ham topishimiz mumkin:

{\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right].\end{aligned}}

Berilgan uchta burchak (sferik AAA)

Bizga maʼlum: burchaklar $α, β, γ$ . Kosinuslarning sferik qonunidan quyidagi xulosaga kelamiz:

a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),

b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right),

c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right).

Toʻgʻri burchakli sferik uchburchaklarni yechish

Agar uchburchakning burchaklaridan biri (masalan, $C$ burchagi) toʻgʻri burchak boʻlsa, yuqoridagi algoritmlar ancha soddalashadi. Bunday sferik uchburchak uning ikkita elementi bilan toʻliq aniqlanadi va qolgan uchtasini Nepierning Pentagoni yoki quyidagi munosabatlar yordamida hisoblash mumkin boʻladi.

\sin a=\sin c\cdot \sin A

(sinuslarning sferik qonunidan)

\tan a=\sin b\cdot \tan A

\cos c=\cos a\cdot \cos b

(kosinuslarning sferik qonunidan)

\tan b=\tan c\cdot \cos A

\cos A=\cos a\cdot \sin B

(kosinuslarning sferik qonunidan )

\cos c=\cot A\cdot \cot B

Baʼzi ilovalar

Agar qirgʻoqdan uzoq kemagacha boʻlgan masofani $d$ triangulyatsiya orqali oʻlchamoqchi boʻlsangiz, qirgʻoqda ular orasidagi maʼlum masofa $l$ boʻlgan ikkita nuqtani belgilaymiz (tayanch chiziq). Asosiy chiziq bilan kemaga yo‘nalish orasidagi burchaklar $α, β$ bo‘lsin.

Yuqoridagi formulalardan (ASA holati, planar geometriyani nazarda tutgan holda) masofani uchburchak balandligi sifatida hisoblash mumkin boʻladi:

d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .

Sferik holat uchun birinchi navbatda ASA formulasi orqali $α$ nuqtadan kemagacha boʻlgan tomonning uzunligini (yaʼni $β$ ga qarama-qarshi tomon) hisoblash mumkin boʻladi.

\tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot(l/2)\sin(\alpha +\beta )+\tan(l/2)\sin(\alpha -\beta )}},

va buni $α$ burchak va $b$ va $d$ tomonlarini oʻz ichiga olgan toʻgʻri burchakli uchburchak uchun AAS formulasiga kiritamiz:

\sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .

(Tezlik formulasi aslida $l$ darajasida sharsimon sferaning $d$ ning Teylor kengayishining birinchi hadidir.)

Bu usul kabotajda juda keng qoʻllanadi. $α, β$ burchaklari kemadan tanish belgilarni kuzatish orqali aniqlanadi.

Yana bir misol sifatida, togʻning yoki baland binoning $h$ balandligini oʻlchamoqchi boʻlsa, ikkita yer nuqtasidan tepagacha boʻlgan $α, β$ burchaklari koʻrsatilgan boʻlsin. Bu nuqtalar orasidagi masofa $ℓ$ boʻlsin. Xuddi shu ASA holatlari formulalaridan biz quyidagi natijalarni olamiz:

h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .

Yer sharidagi ikki nuqta orasidagi masofa

Yer sharidagi ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash uchun,

A nuqta: kenglik $λ A$ , uzunlik $L A$ va

B nuqtasi: kenglik $λ B$ , uzunlik $L B$

$ABC$ sferik uchburchakni koʻrib chiqamiz $ABC$ , bu yerda $C$ — Shimoliy qutb. Baʼzi xususiyatlar quyidagilardir:

$a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} },\,$

$b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} },\,$

$\gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }.\,$

Agar ikki tomon va kiritilgan burchak berilgan boʻlsa, biz quyidagi formulalarni olamiz:

\mathrm {AB} =R\arccos \left[\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right].

Bu yerda $R$ — Yerning radiusi .

Shunga oʻxshash

Muvofiqlik
Hansen muammosi
Menteşe teoremasi
Lénárt shari
Snellius-Pothenot muammosi

Manbalar

↑ „Solving Triangles“. Maths is Fun. Qaraldi: 2012-yil 4-aprel.
↑ „Solving Triangles“. web.horacemann.org. 2014-yil 7-yanvarda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 2012-yil 4-aprel.
↑ „Solving SSS Triangles“. Maths is Fun. Qaraldi: 2015-yil 13-yanvar.
↑ „Solving SAS Triangles“. Maths is Fun. Qaraldi: 2015-yil 13-yanvar.
↑ „Solving SSA Triangles“. Maths is Fun. Qaraldi: 2013-yil 9-mart.
↑ „Solving ASA Triangles“. Maths is Fun. Qaraldi: 2015-yil 13-yanvar.
↑ Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012: pp. 201-203.
↑ Napier’s Analogies at MathWorld

Tashqi havolalar

Euclid. The Thirteen Books of the Elements. Volume I, Translated with introduction and commentary Sir Thomas Heath: , Dover [1925], 1956. ISBN 0-486-60088-2.
Trigonometrik lazzatlar, Eli Maor tomonidan, Prinston universiteti nashriyoti, 1998 yil. Elektron kitob versiyasi, PDF formatida, toʻliq matn taqdim etilgan.
Alfred Monro Kenyon va Lui Ingold tomonidan trigonometriya, Makmillan kompaniyasi, 1914 yil. Tasvirlarda toʻliq matn taqdim etilgan. Google kitob.
Matematik olamida sferik trigonometriya .
Sferik trigga kirish. Napier doirasi va Napier qoidalarini muhokama qilishni oʻz ichiga oladi
Sferik trigonometriya — kollej va maktablarda foydalanish uchun I. Todhunter, MA, FRS tarixiy matematika monografiyasi Cornell universiteti kutubxonasi tomonidan chop etilgan.
Triangulator – uchburchakni hal qiluvchi. Har qanday tekis uchburchak masalasini minimal kirish maʼlumotlari bilan hal qiling. Yechilgan uchburchakni chizish.
TriSph – Sferik uchburchaklarni echish uchun bepul dastur, turli amaliy ilovalar uchun sozlanishi va gnomonic uchun sozlangan.
Sferik uchburchak kalkulyatori – Sferik uchburchaklarni hal qiladi.
TrianCal – Iso S. tomonidan uchburchaklarni hal qiluvchi.

[1] „Solving Triangles“. Maths is Fun. Qaraldi: 2012-yil 4-aprel.

[2] „Solving Triangles“. web.horacemann.org. 2014-yil 7-yanvarda asl nusxadan arxivlangan. Qaraldi: 2012-yil 4-aprel.

[3] „Solving SSS Triangles“. Maths is Fun. Qaraldi: 2015-yil 13-yanvar.

[4] „Solving SAS Triangles“. Maths is Fun. Qaraldi: 2015-yil 13-yanvar.

[5] „Solving SSA Triangles“. Maths is Fun. Qaraldi: 2013-yil 9-mart.

[6] „Solving ASA Triangles“. Maths is Fun. Qaraldi: 2015-yil 13-yanvar.

[7] Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann, The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012: pp. 201-203.

[8] Napier’s Analogies at MathWorld

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]