Haqiqiy va kompleks sonlar massivini hisoblash

Daniya operatsiyasi rejasi

Daniya operatsiyasi (dancha: Invasionen af Danmark i 1940, nemischa: Die Besetzung von Dänemark ) — Uchinchi reyxning Daniya qirolligiga qarshi harbiy operatsiyasi. U 1940-yil 9-aprelda boshlanib, atigi 6 soat davom etgan. Vermaxtning birinchi zarbasi Daniya aviatsiyasiga qaratilishi natijasida Daniya harbiy-havo kuchlari jiddiy yoʻqotishlarga uchragan va keyingi jangovar harakatlarda ishtirok etmagan. Tonggi soat 5:15 da Vermaxtning 170-piyoda diviziyasi va 11-oʻqchi brigadasi Daniya–Germaniya chegarasini kesib oʻtib, hujum boshlagan. Shuningdek, ayni shu vaqtda nemis qoʻshinlari Kopengagenga kirgan. Daniya harbiy-dengiz floti dushmanga qarshilik koʻrsatmagan. Soat 7:20 da Daniya qiroli Christian X Daniya qurolli kuchlariga qarshilikni toʻxtatishni buyurgan. 7:30 da Norvegiya operatsiyasi uchun strategik jihatdan muhim boʻlgan Olborg aeroporti qoʻlga kiritilgan. Taxminan ertalabki 10:00 da Daniya armiyasining demobilizatsiyasi boshlangan. (Davomi...)

• Nomzodlar (2)
• Arxiv
• Oʻzgartirish

An m × n matritsa: m satrlari gorizontal va n ustunlari vertikal. Matritsaning har bir elementi ko'pincha ikkita pastki yozuv bilan o'zgaruvchi bilan belgilanadi. Masalan, a_2,1 matritsaning ikkinchi qatori va birinchi ustunidagi elementni ifodalaydi.

matematikada matritsa (Andoza:Ko'plik shakl: matritsalar) to'rtburchaklar massiv yoki sonlar jadvalidir. , belgilar yoki ifodalar, elementlar yoki yozuvlar qatorida tartiblangan qatorlar va ustunlar, ular matematik ob'ekt yoki bunday ob'ektning xususiyatini ifodalash uchun ishlatiladi.

Masalan, $${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}$$ ikki qator va uchta ustunli matritsadir. Bu ko'pincha "ikki-uch matritsa", "$2\times 3$ matritsasi" yoki $2\times 3$ o'lchovli matritsa deb ataladi.

Matritsalar odatda chiziqli algebra bilan bog'liq. E'tiborga molik istisnolar grafik nazariyasida insidlanish matritsalari va qo'shnilik matritsalarini o'z ichiga oladi. Ushbu maqola chiziqli algebra bilan bog'liq matritsalarga qaratilgan va agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, barcha matritsalar chiziqli xaritalarni ifodalaydi yoki shunday ko'rinishi mumkin.

Kvadrat matritsalar, qator va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsalar matritsalar nazariyasida katta rol o'ynaydi. Berilgan o'lchamdagi kvadrat matritsalar kommutativ bo'lmagan halqa ni tashkil qiladi, bu esa o'zgarmas halqaning eng keng tarqalgan misollaridan biridir. Kvadrat matritsaning determinanti matritsa bilan bog'langan son bo'lib, u kvadrat matritsani o'rganish uchun asosiy hisoblanadi; masalan, kvadrat matritsa invertible bo‘ladi, agar u nolga teng bo‘lmagan aniqlovchiga ega bo‘lsa va kvadrat matritsaning o‘z qiymatilari ko‘pnomli determinantning ildizlari bo‘lsa.

geometriyada matritsalar geometrik oʻzgartirishlarni (masalan, aylanishlar) va koordinata oʻzgarishilarni belgilash va ifodalash uchun keng qoʻllaniladi. sonli tahlilda koʻpgina hisoblash masalalari ularni matritsali hisoblashga qisqartirish yoʻli bilan hal qilinadi va bu koʻpincha katta oʻlchamdagi matritsalar bilan hisoblashni oʻz ichiga oladi. Matritsalar to'g'ridan-to'g'ri yoki geometriya va raqamli tahlilda foydalanish orqali matematika va ilmiy sohalarning aksariyat sohalarida qo'llaniladi.

Matritsalar nazariyasi - matematikaning bo'limi matritsalarni o'rganishga qaratilgan. U dastlab chiziqli algebraning kichik tarmogʻi boʻlgan, lekin tez orada grafik nazariya, algebra, kombinatorika va statistika bilan bogʻliq fanlarni oʻz ichiga olgan.

Ta'rifi

matritsa sonlardan (yoki boshqa matematik ob'ektlardan) iborat to'rtburchaklar massiv bo'lib, matritsaning yozuvlari deb ataladi. Matritsalar standart operatsiyalarga bo'ysunadi, masalan, qo'shish va ko'paytirish. Odatda, maydon F - F ning elementlari to'rtburchaklar massivi. haqiqiy matritsa va kompleks matritsa yozuvlari mos ravishda haqiqiy son yoki kompleks son bo'lgan matritsalardir. Yozuvlarning umumiy turlari quyida muhokama qilinadi. Masalan, bu haqiqiy matritsa:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1,3va0,6\\20,4va5,5\\9,7va-6,2\end{bmatrix}}.$

Matritsadagi raqamlar, belgilar yoki iboralar uning “yozuvlari” yoki “elementlari” deb ataladi. Matritsadagi yozuvlarning gorizontal va vertikal chiziqlari mos ravishda “satrlar” va “ustunlar” deb ataladi.

Hajmi

Matritsaning o'lchami uning tarkibidagi qatorlar va ustunlar soni bilan belgilanadi. Matritsa (odatiy ma'noda) musbat butun sonlar bo'lsa, bo'lishi mumkin bo'lgan satrlar va ustunlar soniga hech qanday cheklov yo'q . ${m}$ qatorlari va ${n}$ ustunlari boʻlgan matritsa ${m\times n}$ matritsasi yoki ${mdebataladi.}$-by-${n}$ matritsasi, bu yerda ${m}$ va ${n}$ uning deyiladi. o'lchamlar. Masalan, yuqoridagi ${\mathbf {A} }$ matritsasi ${3\times 2}$ matritsasidir.

Bitta qatorli matritsalar satr vektoris, bitta ustunlilari esa ustun vektorlari deyiladi. Satrlar va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsa kvadrat matritsa deyiladi. Cheksiz qatorlar yoki ustunlar (yoki ikkalasi) bo'lgan matritsa cheksiz deb ataladi. matritsa . Ba'zi kontekstlarda, masalan, kompyuter algebrasi dasturlari, empty matritsa deb ataladigan qatorlar yoki ustunlarsiz matritsani ko'rib chiqish foydali bo'ladi.

Matrisa o‘lchamining umumiy ko‘rinishi

Ism	Hajmi	Misol	Tavsif	Belgilash
Qator vektor	1 × n	${\begin{bmatrix}3,7va2\end{bmatrix}}$	Bir qatorli matritsa, ba'zan vektorni ifodalash uchun ishlatiladi	${a_{i}}$
Ustun vektor	n × 1	${\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}$	Bir ustunli matritsa, ba'zan vektorni ifodalash uchun ishlatiladi	${a_{j}}$
Kvadrat matritsa	n × n	${\begin{bmatrix}9,13va5\\1,11va7\\2,6va3\end{bmatrix}}$	Bir xil qator va ustunlar soniga ega matritsa, baʼzan vektor fazodan oʻziga chiziqli oʻzgarishlarni ifodalash uchun ishlatiladi, masalan, aks ettirish, aylanish yoki qirqish.	${\mathbf {A} }$

Izoh

Ramziy matritsa belgilarining o'ziga xos xususiyatlari ba'zi bir ustunlik tendentsiyalari bilan juda xilma-xildir. Matritsalar odatda kvadrat qavslar yoki qavslar ichida yoziladi, shuning uchun $m\times n$ matritsasi $\mathbf {A}$ quyidagicha ifodalanadi. $$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$$ Buni faqat bitta umumiy atamani, ehtimol indekslar bilan birga yozish orqali qisqartirish mumkin. Failed to parse (unknown function "\o"): \mathbf{A} = \left(a_{ij}\o'ng), \quad \left[ a_{ij}\right], \quad \text{yoki} \quad \left(a_{ij}\right)_ {1\leq i\leq m, \; 1\leq j\leq n} yoki $n=m$ bo‘lgan holatda $\mathbf {A} =(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$.

Matritsalar odatda katta harflar yordamida (masalan, yuqoridagi misollarda ${\mathbf {A} }$), mos keladigan kichik-kichik harflar ikkitadan iborat. pastki indeks indekslari (masalan, ${a_{11}}$ yoki ${a_{1,1}}$), yozuvlarni ifodalaydi. Matritsalarni ramziy qilish uchun katta harflardan foydalanish bilan bir qatorda, koʻpgina mualliflar matritsalarni boshqa matematik obʼyektlardan ajratib koʻrsatish uchun maxsus tipografik uslub, odatda qalin rim (kursiv boʻlmagan) dan foydalanadilar. Muqobil yozuv, ${\underline {\underline {A}}}$ da boʻlgani kabi, oʻzgaruvchi nomi bilan, qalin harflar bilan yoki boʻlmasdan, qoʻsh chiziqdan foydalanishni oʻz ichiga oladi.

Andoza:Matematika matritsaning i-chi qator va j-chi ustunidagi yozuv ba'zan matritsaning ${i,j}$ yoki ${(i,j)}$ yozuvi deb ataladi va odatda quyidagicha belgilanadi. ${a_{i,j}}$ yoki ${a_{ij}}$. Ushbu yozuv uchun muqobil belgilar ${\mathbf {A} [i,j]}$ va ${\mathbf {A} _{i,j}}$ hisoblanadi. Masalan, quyidagi $\mathbf {A}$ matritsasining $(1,3)$ yozuvi 5 (shuningdek, ${a_{debhambelgilanadi)13}}$, ${a_{1,3}}$, $\mathbf {A} [1,3]$ yoki ${{\mathbf {A} }_{1,3}}$):

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/uz.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 4 & -7 & \ rang {qizil {5} & 0 \\ -2, 0, 11, 8 \\ 19 va 1 va -3 va 12 \end{bmatrix}}

Ba'zan matritsaning yozuvlari $a_{i,j}=f(i,j)$ kabi formulalar bilan aniqlanishi mumkin. Masalan, quyidagi $\mathbf {A}$ matritsasining har bir yozuvi $a_{ij}=ij$ formulasi bilan aniqlanadi.

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}$

Bunday holda, matritsaning o'zi ba'zan kvadrat qavslar yoki qo'sh qavslar ichida ushbu formula bilan aniqlanadi. Masalan, yuqoridagi matritsa ${\mathbf {A} }=[ij]$ yoki ${\mathbf {A} }=((ij))$ sifatida aniqlanadi. Agar matritsa hajmi $m\times n$ boʻlsa, yuqorida qayd etilgan $f(i,j)$ formulasi har qanday $i=1,\dots ,m<uchunamalqiladi./math>vaharqanday<math>j=1,\dots ,n$. Bu alohida belgilanishi yoki pastki belgisi sifatida $m\times n$ yordamida koʻrsatilishi mumkin. Masalan, yuqoridagi $\mathbf {A}$ matritsasi $3\times 4$ ga teng va uni ${\mathbf {A} }=[ij](i=1,2,3;j=1,\dots ,4)$ yoki ${\mathbf {A} }=[ij]_{3\times 4}$.

Ba'zi dasturlash tillari m-by-n matritsasini ifodalash uchun ikki barobar obunali massivlardan (yoki massivlar massivlaridan) foydalanadi. Ba'zi dasturlash tillari massiv indekslarini raqamlashni noldan boshlaydi, bu holda m-by-n matritsaning yozuvlari $0\leq i\leq m-1$ va $0\leq j\leq n-1$. Ushbu maqolada sanab o'tish 1 dan boshlanadigan matematik yozishda keng tarqalgan qoidaga amal qilinadi.

Barcha m-by-n haqiqiy matritsalarning to'plami ko'pincha ${\mathcal {Mbilanbelgilanadi.}}(m,n),$ yoki ${\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {R} ).$ Hammasi toʻplami Andoza:Matematik-by-Andoza:Matematik matritsalar boshqa maydon yoki halqasi ustidan R, xuddi shunday belgilanadi: ${\mathcal {M}}(m,n,R),$ yoki ${\mathcal {M}}_{m\times n}(R).$ Agar m = n bo'lsa, masalan [ [kvadrat matritsalar]] oʻlchami takrorlanmaydi: ${\mathcal {M}}(n,R),$ yoki ${\mathcal {M}}_{n}(R).$ Ko'pincha o'z o'rnida $M$ yoki $\operatorname {Mat}$ ishlatiladi. ${\mathcal {M}}.$

Asosiy operatsiyalar

Matritsalarga bir nechta asosiy amallarni qo'llash mumkin. Ba'zilari, masalan, transpozitsiya va submatritsa yozuvlarning tabiatiga bog'liq emas. Boshqalar, masalan, matritsalarni qo'shish, skalyar ko'paytirish, matritsalarni ko'paytirish va satr operatsiyalari matritsa yozuvlari bo'yicha operatsiyalarni o'z ichiga oladi va shuning uchun matritsa yozuvlari raqamlar bo'lishini yoki [ga tegishli bo'lishini talab qiladi. [maydon (matematika)|maydon]] yoki ring.

Ushbu bo'limda matritsa yozuvlari odatda raqamlar maydoni bo'lgan sobit halqaga tegishli deb taxmin qilinadi.

Qo'shish, skalyar ko'paytirish, ayirish va transpozitsiya

Qo'shimcha

Ikkita Andoza:Matematik matritsaning yig'indisi Andoza:Matematik Andoza:Matematika va Andoza:Matematika kiritma bo'yicha hisoblanadi: $({\mathbf {A}}+{\mathbf {B}})_{i,j}={\mathbf {A}}_{i,j}+{\mathbf {B}}_{i,j},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.$ Masalan,

<matematika>

\begin{bmatrix} 1, 3 va 1 \\ 1 va 0 va 0 \end{bmatritsa} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7, 5 va 0 \end{bmatritsa} = \begin{bmatrix} 1+0 va 3+0 va 1+5 \\ 1+7 va 0+5 va 0+0 \end{bmatritsa} = \begin{bmatrix} 1, 3 va 6 \\ 8, 5 va 0 \end{bmatritsa} </math>

Skalyar ko'paytirish

c sonining Andoza:Matematik ko'paytmasi (shuningdek, bu kontekstda skalar deb ham ataladi) va Andoza:Matematik matritsasi Andoza:Matematik ning har bir yozuvini c ga ko'paytirish yo'li bilan hisoblanadi: $$(c{\mathbf {A}})_{i,j}=c\cdot {\mathbf {A}}_{i,j}$$ Bu amal skalyar ko'paytirish deb ataladi, lekin uning natijasi chalkashmaslik uchun "skalar ko'paytma" deb nomlanmagan, chunki "skalar ko'paytma" ko'pincha "ichki mahsulot" ning sinonimi sifatida ishlatiladi. Masalan:

Failed to parse (unknown function "\begin{bmatrix}"): {\displaystyle 2\cdot \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 va -2 va 5 \end{bmatritsa} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 va 2\cdot 8 va 2\cdot -3 \\ 2\cdot 4 va 2\cdot -2 va 2\cdot 5 \end{bmatritsa} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 va -4 va 10 \end{bmatritsa} }

ayirish

Ikkita m×n matritsalarni ayirish matritsani skaler ko'paytirish bilan –1 ga qo'shish orqali aniqlanadi:

$\mathbf {A} -\mathbf {B} =\mathbf {A} +(-1)\cdot \mathbf {B}$

Transpozitsiya

Andoza:Matematik matritsaning ko'chirilishi Andoza:Matematik Andoza:Matematik matritsa Andoza:Matematika (shuningdek belgilanadi) Andoza:Matematik yoki Andoza:Matematik) satrlarni ustunlar va o'rinbosarlarga aylantirish orqali hosil qilingan aksincha: $$\left({\mathbf {A}}^{\rm {T}}\right)_{i,j}={\mathbf {A}}_{j,i}.$$ Masalan:

<matematika>

\begin{bmatrix} 1, 2 va 3 \\ 0 & -6 va 7 \end{bmatrix}^\mathrm{T} = \begin{bmatrix} 1 va 0 \\ 2 va -6 \\ 3 va 7 \end{bmatritsa} </math>

Sonlarning tanish xossalari matritsalar ustidagi bu amallarga taalluqli: masalan, qo‘shish kommutativ, ya’ni matritsa yig‘indisi yig‘indilarning tartibiga bog‘liq emas: 'A ' + B = B + A. Transpoze qoʻshish va skaler koʻpaytirish bilan mos keladi, bu bilan ifodalangan (cA)^T = c( A^T) va Andoza:Matematik. Nihoyat, (A^T)^T = A.

Matritsani ko'paytirish

Asosiy maqola: Matritsani koʻpaytirish

Ikkita matritsaning Andoza:Matematik matritsa mahsulotining sxematik tasviri Andoza:Matematik va Andoza:Matematik

Ikki matritsaning ko'paytirilishi, agar chap matritsaning ustunlari soni o'ng matritsaning satrlari soni bilan bir xil bo'lsagina aniqlanadi. Agar Andoza:Matematik Andoza:Matematik matritsa va Andoza:Matematik bo'lsa Andoza:Matematik matritsa, keyin ularning matritsa mahsuloti Andoza:Matematik Andoza:Matematik matritsa, uning yozuvlari tegishli Andoza:Matematik qatorining nuqta ko'paytmasi va mos keladigan Andoza:Matematika ustuni:

$[\mathbf {AB} ]_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j},$

bu yerda Andoza:Matematik va 1 ≤ j ≤ p. Masalan, mahsulotdagi tagiga chizilgan 2340 yozuvi Andoza:Matematika sifatida hisoblanadi.

<matematika>

\begin{align} \begin{bmatrix} \pastiga chizing{2} & \pastiga 3-chizing va \tastiga chizing 4\\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatritsa}

\begin{bmatrix} 0 va \ ostiga{1000} \\ 1 va \pastini chizish{100} \\ 0 va \ostiga chizilgan{10} \\ \end{bmatritsa} &= \begin{bmatrix} 3 va \tagini chizish{2340} \\ 0 va 1000 \\ \end{bmatritsa}. \end{tekislash} </math>

Matritsani koʻpaytirish qoidalariga javob beradi Andoza:Matematika (assotsiativlik ) va (A + B)C = AC + BC, shuningdek C(A + B) = CA + CB (chap va o'ng taqsimlanish), matritsalarning o'lchami har xil mahsulotlar aniqlanganda. Andoza:Matematik mahsuloti Andoza:Matematik aniqlanadi, agar Andoza:Matematik va Andoza:Matematik bo'lsa m×n va n×k matritsalar va m ≠ k. Ikkala mahsulot ham aniqlangan bo'lsa ham, ular odatda teng bo'lishi shart emas, ya'ni: $${\mathbf {AB}}\neq {\mathbf {BA}}.$$

Boshqacha qilib aytganda, koʻpaytmasi tartibdan mustaqil boʻlgan (ratsional, haqiqiy yoki murakkab) raqamlardan farqli oʻlaroq, matritsani koʻpaytirish kommutativ emas, omillarning. Ikki matritsaning bir-biri bilan almashmasligiga misol:

Failed to parse (unknown function "\begin{bmatrix}"): {\displaystyle \begin{bmatrix} 1 va 2\\ 3 va 4\\ \end{bmatritsa} \begin{bmatrix} 0 va 1\\ 0 va 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 va 1\\ 0 va 3\\ \end{bmatrix}, }

holbuki

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/uz.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix} 0 va 1\\ 0 va 0\\ \end{bmatritsa} \begin{bmatrix} 1 va 2\\ 3 va 4\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 va 4\\ 0 va 0\\ \end{bmatritsa}. }

Yuqorida tavsiflangan oddiy matritsalarni ko'paytirishdan tashqari, ko'paytirish shakllari deb hisoblanishi mumkin bo'lgan matritsalar ustida kamroq qo'llaniladigan amallar ham mavjud, masalan, Hadamard mahsuloti va Kroneker mahsuloti.< ref>Andoza:Garvard iqtiboslari</ref> Ular Silvester tenglamasi kabi matritsali tenglamalarni yechishda yuzaga keladi.

Qator operatsiyalari

Asosiy maqola: Qator operatsiyalari

Satr operatsiyalarining uch turi mavjud:

1. qator qo'shish, ya'ni qatorni boshqasiga qo'shish.
2. qatorni ko'paytirish, ya'ni qatorning barcha yozuvlarini nolga teng bo'lmagan doimiyga ko'paytirish;
3. qatorni almashtirish, ya'ni matritsaning ikki qatorini almashtirish;

Bu amallar chiziqli tenglamalarni yechish va matritsaga teskarilarni topish kabi bir qancha usullarda qoʻllaniladi.

Andoza:Langar Submatritsa

Matritsaning submatritsasi har qanday qatorlar va/yoki ustunlar to'plamini o'chirish orqali olingan matritsadir. Masalan, quyidagi 3 ga 4 matritsadan 3 va 3 qatorni olib tashlash orqali 2 ga 3 kichik matritsa qurishimiz mumkin. 2-ustun:

Failed to parse (unknown function "\begin{bmatrix}"): {\displaystyle \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & \rang{qizil}{2} & 3 & 4 \\ 5 & \color{red}{6} & 7 & 8 \\ \color{red}{9} & \color{red}{10} & \color{red}{11} & \color{12} \end{bmatritsa} \o'ngga strelka \begin{bmatritsa} 1, 3 va 4 \\ 5, 7 va 8 \end{bmatritsa}. }

Matritsaning kichik va kofaktorlari ma'lum submatritsalarning determinant larini hisoblash yo'li bilan topiladi.

'Asosiy submatritsa - bu ma'lum qatorlar va ustunlarni olib tashlash orqali olingan kvadrat submatritsa. Ta'rif muallifdan muallifga farq qiladi. Ba'zi mualliflarning fikriga ko'ra, asosiy submatritsa - bu qolgan qator indekslari to'plami qolgan ustun indekslari to'plami bilan bir xil bo'lgan pastki matritsadir. Boshqa mualliflar asosiy submatritsani birinchi k qator va ustunlardan iborat boʻlgan maʼlum bir son sifatida aniqlang. k, qolganlar; bu tur submatritsaning "" yetakchisi deb ham atalgan submatritsa.

Chiziqli tenglamalar

Asosiy maqola: Chiziqli tenglama va Chiziqli tenglamalar tizimi

Matritsalar ixcham yozish va bir nechta chiziqli tenglamalar, ya'ni chiziqli tenglamalar tizimlari bilan ishlash uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, agar A Andoza:Matematik matritsa bo'lsa, Andoza:Matematik.

spektral teorema boʻyicha haqiqiy simmetrik matritsalar va murakkab Germit matritsalari oʻziga xos asosga ega; ya'ni har bir vektor xos vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi. Ikkala holatda ham barcha xos qiymatlar haqiqiydir. Bu teoremani umumlashtirish mumkin. cheksiz ko'p satr va ustunli matritsalar bilan bog'liq cheksiz o'lchovli vaziyatlarga qarang pastda.

Invertible matritsa va uning teskarisi

Andoza:Matematik kvadrat matritsa invertible yoki matritsa mavjud bo'lsa, nosingular deyiladi Andoza:Matematik shundayki $${\mathbf {AB}}={\mathbf {BA}}={\mathbf {I}}_{n},$$ bu yerda Andoza:Matematik Andoza:Matematik identifikatsiya matritsasi asosiy diagonalda 1lar va boshqa joylarda 0lar bilan. Agar B mavjud bo'lsa, u yagona bo'lib, teskari matritsa Andoza:Matematik deb ataladi. , belgilangan Andoza:Matematik.

Aniq matritsa

Ijobiy aniq matritsa	Noaniq matritsa
${\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}va0\\0va1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}va0\\0va-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}$
$Q(x,y)={\frac {1}{4}}x^{2}+y^{2}$	$Q(x,y)={\frac {1}{4}}x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}$
Fayl:Yarim o'qli labelled.svg koordinata tizimidagi ellips Shunday nuqtalar: ${\textstyle Q(x,y)=1}$ ([ [ellips]])	${\textstyle Q(x,y)=1}$ (Giperbola) boʻladigan nuqtalar

Simmetrik haqiqiy matritsa Andoza:Matematika, agar bog'langan kvadrat shakl bo'lsa, musbat-aniq deyiladi. $$f({\mathbf {x}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ax}}$$ har bir nolga teng boʻlmagan vektor uchun musbat qiymatga ega x Andoza:Tmath Agar f (x ) faqat manfiy qiymatlarni beradi, keyin Andoza:Matematik [[matritsaning aniqligi#Salbiy] aniq|salbiy-aniqli]]; agar f ham manfiy, ham ijobiy qiymatlarni hosil qilsa, Andoza:Matematika noaniq bo'ladi. Agar kvadratik shakl f faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni (musbat yoki nol) beradi, simmetrik matritsa musbat-yarim aniq (yoki faqat ijobiy bo'lmagan qiymatlar bo'lsa, u holda manfiy-yarim aniq) deb ataladi; demak, matritsa na musbat-yarim-aniqli, na manfiy-yarim-aniq bo'lmaganda aniq noaniq bo'ladi.

Simmetrik matritsa musbat-aniqli, agar uning barcha xos qiymatlari musbat bo‘lsa, ya’ni matritsa musbat-yarim aniq va teskari bo‘lsa. O'ngdagi jadval ko'rsatilgan 2 ga 2 matritsalar uchun ikkita imkoniyat.

Ikki xil vektorga kirishga ruxsat berilsa, A bilan bog'langan bilinear shakl hosil bo'ladi: $$B_{\mathbf {A}}({\mathbf {x}},{\mathbf {y}})={\mathbf {x}}^{\rm {T}}{\mathbf {Ay}}.$$

Murakkab matritsalar bo'lsa, xuddi shunday atama va natija simmetrik matritsa, kvadrat shakl, bilinear shakl va transpoze Andoza:Matematik mos ravishda Germitian matritsasi, Germitian shakli, sesquilinear bilan almashtirildi. shakl va konjugat transpose Andoza:Matematik.

Ortogonal matritsa

Asosiy maqola: Ortogonal matritsa

Ortogonal matritsa ustunlari va satrlari ortogonal birlik vektors (ya'ni, ortonormal vektorlar bo'lgan haqiqiy yozuvli kvadrat matritsadir. ). Ekvivalent tarzda, A matritsa ortogonal bo'ladi, agar uning ko'chirish teskari ga teng bo'lsa:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1},\,$

o'z ichiga oladi

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n},$

bu yerda Andoza:Matematik n o'lchamdagi identifikatsiya matritsasi.

Ortogonal matritsa Andoza:Matematika shartli ravishda invertible (teskari {{math|1=A^ustqatori), unitar (A⁻¹ = A*) va normal (Andoza:Matematik). Har qanday ortogonal matritsaning determinanti +1 yoki −1 boʻladi. maxsus ortogonal matritsa determinant +1 bo'lgan ortogonal matritsadir. chiziqli transformatsiya sifatida, +1 determinantli har bir ortogonal matritsa aks ettirilmasdan sof aylanish hisoblanadi, yaʼni transformatsiya oʻzgartirilgan strukturaning yoʻnalishini saqlaydi, -1 determinantli har bir ortogonal matritsa orientatsiyani o'zgartiradi, ya'ni sof matritsaning kompozitsiyasidir. fikrlash va (ehtimol null) aylanish. Identifikatsiya matritsalari 1 determinantga ega va ular nol burchak bilan sof aylanishlardir.

Ortogonal matritsaning kompleks analogi unitar matritsadir.

Asosiy operatsiyalar

Iz

Kvadrat matritsaning A iz, tr(A) uning yig'indisidir. diagonal yozuvlar. Matritsalarni ko'paytirish yuqorida aytib o'tilganidek kommutativ bo'lmasa-da, ikkita matritsa ko'paytmasining izi omillar tartibiga bog'liq emas:

$\operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).$

Bu matritsalarni ko'paytirishning ta'rifidan darhol:

$\operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).$

Bundan kelib chiqadiki, ikkitadan ortiq matritsalar koʻpaytmasining izi matritsalarning siklik almashtirish lariga bogʻliq emas, lekin bu umuman ixtiyoriy almashtirishlarga taalluqli emas (masalan , tr() 'ABC') ≠ tr(BAC), umuman). Shuningdek, matritsaning izi uning transpozitsiyasiga teng, ya'ni $$\operatorname {tr} ({\mathbf {A}})=\operatorname {tr} ({\mathbf {A}}^{\rm {T}}).$$

Aniqlovchi

Asosiy maqola: Aniqlovchi

Ko'rsatilgan matritsa tomonidan berilgan Andoza:Tmath bo'yicha chiziqli o'zgartirish. Bu matritsaning determinanti −1 ga teng, chunki o‘ngdagi yashil parallelogrammning maydoni 1 ga teng, lekin xarita orientatsiyani teskari qiladi, chunki u vektorlarning soat miliga teskari yo‘nalishini soat miliga aylantiradi. bir.

Kvadrat matritsaning determinanti Andoza:Matematik (belgilangan det(A) yoki Andoza:Matematik) - matritsaning ma'lum xususiyatlarini kodlovchi raqam. Matritsa teskari bo'ladi faqat va agar uning determinanti nolga teng bo'lmasa. Uning mutlaq qiymati birlik kvadrat (yoki kub) tasvirining maydoniga (Andoza:Tmath) yoki hajmiga (Andoza:Tmath da) tengdir, uning belgisi esa mos chiziqli xaritaning yo'nalishiga mos keladi: determinant faqat va faqat yo'nalish saqlanib qolganda ijobiy bo'ladi.

2 ga 2 matritsalarning determinanti bilan berilgan

$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

3 ga 3 matritsalarning determinanti 6 ta haddan iborat (Sarrus qoidasi). Uzunroq Leybnits formulasi bu ikki formulani barcha o'lchamlarga umumlashtiradi.

Kvadrat matritsalar mahsulotining determinanti ularning determinantlarining mahsulotiga teng: $$\det({\mathbf {AB}})=\det({\mathbf {A}})\cdot \det({\mathbf {B}}),$$ yoki muqobil yozuvdan foydalanish: $$|{\mathbf {AB}}|=|{\mathbf {A}}|\cdot |{\mathbf {B}}|.$$ Boshqa qatorga istalgan satrning karrali yoki boshqa ustunga har qanday ustunning karrali qo‘shilishi determinantni o‘zgartirmaydi. Ikki qator yoki ikkita ustunni almashtirish determinantni −1 ga ko'paytirish orqali ta'sir qiladi. Bulardan foydalanish operatsiyalarda har qanday matritsa pastki (yoki yuqori) uchburchak matritsaga aylantirilishi mumkin va bunday matritsalar uchun determinant asosiy diagonaldagi yozuvlar mahsulotiga teng; bu har qanday matritsaning determinantini hisoblash usulini beradi. Nihoyat, Laplas kengayishi determinantni kichiklar, yaʼni kichikroq matritsalarning determinantlari bilan ifodalaydi. Ushbu kengaytma rekursiv ta'rif uchun ishlatilishi mumkin determinantlar (boshlang'ich holat sifatida 1 ga 1 matritsaning determinanti, ya'ni uning yagona kirishi yoki hatto 0 ga 0 matritsaning determinanti, ya'ni 1) ekvivalent deb ko'rish mumkin Leybnits formulasi. Determinantlardan chiziqli tizimlarni Kramer qoidasi yordamida yechish uchun foydalanish mumkin, bunda ikkita bogʻliq kvadrat matritsalar determinantlarining boʻlinishi tizimning har bir oʻzgaruvchisi qiymatiga teng boʻladi.

Xususiy qiymatlar va xos vektorlar

Asosiy maqola: Xususiy qiymatlar va xos vektorlar

${\textstyle \lambda }$ va nolga teng bo'lmagan vektor v qanoatlantiruvchi

$\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$

mos ravishda A ning o'ziga xos qiymat va o'zvektori deb ataladi. l soni Andoza:Matematik-matritsa A agar va faqat agar Andoza:Matematik teskari emas, bu ekvivalent

$\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.$

ni baholash orqali berilgan noaniq p_A polinomi. determinant det(X I_n − A) Andoza:Matematik ning xarakteristik polinomi deb ataladi. U daraja n monik polinom. Shuning uchun p_A(l) = 0 polinom tenglamasi ko'pi bilan n xil yechimga ega, ya'ni , matritsaning xos qiymatlari. Ular A yozuvlari haqiqiy bo'lsa ham murakkab bo'lishi mumkin. Keyli–Gamilton teoremasiga koʻra, p_A(A) = 0 , ya'ni matritsaning o'zini o'ziga xos ko'phadga qo'yish natijasida nol matritsa hosil bo'ladi.

Hisoblash aspektlari

Matritsalarni hisoblash ko'pincha turli xil texnikalar bilan amalga oshirilishi mumkin. Ko'pgina muammolarni to'g'ridan-to'g'ri algoritmlar va iterativ yondashuvlar bilan hal qilish mumkin. Masalan, kvadrat matritsaning xos vektorlarini vektorlarning ketma-ketligi {{matematik|x_n} topib olish mumkin. } konversiya xos vektorga n moyil boʻlganda infinity.

Har bir aniq muammo uchun eng mos algoritmni tanlash uchun barcha mavjud algoritmlarning samaradorligi va aniqligini aniqlash muhimdir. Ushbu masalalarni o'rganadigan domen sonli chiziqli algebra deb ataladi. Boshqa raqamli vaziyatlarda bo'lgani kabi , ikkita asosiy jihat algoritmlarning murakkabligi va ularning [[raqamliligi] barqarorlik]].

Algoritmning murakkabligini aniqlash yuqori chegaralarni topish yoki ba'zi bir algoritmni bajarish uchun skalerlarni qo'shish va ko'paytirish kabi qancha elementar amallar zarurligini taxmin qilishni anglatadi, masalan, matritsalarni ko'paytirish . Yuqorida berilgan ta'rifdan foydalanib, ikkita n-n matritsaning matritsa mahsulotini hisoblash uchun n³ ko'paytirish kerak, chunki mahsulotning har qanday n² yozuvlari uchun n ko'paytirish kerak. Strassen algoritmi bu "sodda" algoritmdan ustundir; unga faqat Andoza:Matematik ko'paytirish kerak. Takomillashtirilgan yondashuv hisoblash qurilmalarining o'ziga xos xususiyatlarini ham o'z ichiga oladi.

Ko'pgina amaliy vaziyatlarda matritsalar haqida qo'shimcha ma'lumotlar ma'lum. Muhim holat bu siyrak matritsalar, yaʼni koʻpchilik yozuvlari nolga teng boʻlgan matritsalardir. Aytaylik, chiziqli tizimlarni echish uchun maxsus moslashtirilgan algoritmlar mavjud Ax = b siyrak matritsalar uchun {{matematik|A} }, masalan, konjugat gradient usuli.

Agar kirish qiymatlaridagi kichik og'ishlar natijada katta og'ishlarga olib kelmasa, algoritm, qo'pol qilib aytganda, raqamli barqaror hisoblanadi. Masalan, Laplas kengaytmasi orqali matritsaning teskarisini hisoblash (adj(A) A} ning tuzatuvchi matritsasini bildiradi. }) $${\mathbf {A}}^{-1}=\operatorname {adj} ({\mathbf {A}})/\det({\mathbf {A}})$$ matritsaning determinanti juda kichik bo'lsa, yaxlitlashda sezilarli xatolarga olib kelishi mumkin. Matritsaning teskarisini hisoblash kabi chiziqli algebraik masalalarning shartini olish uchun matritsa normasi ishlatilishi mumkin.

Ko'pgina kompyuterlar dasturlash tili massivlarni qo'llab-quvvatlaydi, lekin matritsalar uchun o'rnatilgan buyruqlar bilan ishlab chiqilmagan. Buning o'rniga mavjud tashqi kutubxonalar deyarli barcha hozirda foydalanilayotgan dasturlash tillarida massivlarda matritsa operatsiyalarini ta'minlaydi. Matritsalarni manipulyatsiya qilish kompyuterlarning eng dastlabki raqamli ilovalaridan biri edi. Asl Dartmut BASIC 1964-yilda ikkinchi nashr tatbiq qilingan massivlarda matritsa arifmetikasi uchun o‘rnatilgan buyruqlarga ega edi. 1970-yillardayoq ba’zi muhandislik ish stoli kompyuterlari, masalan, [[HP 9830] ]] da ROM kartridjlari bor edi matritsalar uchun BASIC buyruqlarini qo'shing. APL kabi ba'zi kompyuter tillari matritsalarni manipulyatsiya qilish uchun mo'ljallangan va turli matematik dasturlar matritsalar bilan hisoblashda yordam berish uchun ishlatilishi mumkin. 2023-yil holatiga ko‘ra, ko‘pchilik kompyuterlar standart BLAS spetsifikatsiyasini amalga oshiradigan past darajada o‘rnatilgan matritsa operatsiyalarining bir turiga ega bo‘lib, ko‘pchilik yuqori darajadagi matritsa va chiziqli algebraga ega. kutubxonalar (masalan, EISPACK, LINPACK, LAPACK) tayanadi. Ushbu kutubxonalarning aksariyati professional darajadagi kodlashni talab qilsa-da, LAPACK ga NumPy/SciPy, R, GNU oktava, MATLAB.

Parchalanish

Asosiy maqola: Matritsaning parchalanishi, Matritsa diagonalizatsiyasi, Gaussni bartaraf etish va Bareys algoritmi

Matritsalarni qulayroq shaklga keltirishning bir necha usullari mavjud. Ular odatda "matritsalarni parchalash" yoki "matritsalarni faktorizatsiya qilish" usullari deb ataladi. Ushbu usullarning barchasining qiziqishi shundaki, ular determinant, daraja yoki teskari kabi matritsalarning ma'lum xususiyatlarini saqlab qoladi, shuning uchun transformatsiya qo'llanilgandan keyin bu miqdorlarni hisoblash mumkin yoki ma'lum matritsa operatsiyalari algoritmik jihatdan osonroq bo'ladi. matritsalarning ayrim turlari uchun.

LU parchalanishi omillar matritsalari pastki (L) va yuqori uchburchak matritsalar (U) ko'paytmasi sifatida ). Ushbu parchalanish hisoblangandan so'ng, chiziqli tizimlarni oldinga va orqaga almashtirish deb nomlangan oddiy texnika yordamida samaraliroq hal qilish mumkin. Xuddi shunday, uchburchak matritsalarning teskarilarini hisoblash algoritmik jihatdan osonroq. Gaussni yo'q qilish xuddi shunday algoritmdir; u har qanday matritsani satr eshelon shakli ga o‘zgartiradi. Har ikki usul ham davom etadi matritsani mos elementar matritsalarga ko‘paytirish orqali [[o‘rin almashtirish] matritsa|satr yoki ustunlarni almashtirish]] va bir qatorning koʻpaytmalarini boshqa qatorga qoʻshish. Singular qiymat dekompozitsiyasi har qanday matritsani Andoza:Matematik mahsulot sifatida ifodalaydi Andoza:Matematik, bu yerda Andoza:Matematik va Andoza:Matematik unitar matritsalar va Andoza:Matematik diagonal matritsadir.

Iordaniya oddiy shakldagi matritsaga misol. Kulrang bloklar Jordan bloklari deb ataladi.

eigendecomposition yoki diagonalizatsiya A ni mahsulot sifatida ifodalaydi Andoza:Matematik , bu yerda D diagonal matritsa va V mos invertible. matritsa. Agar A bu shaklda yozilishi mumkin, u diagonallashtiriladigan deb ataladi. Umuman olganda va barcha matritsalarga taalluqli, Jordan parchalanishi matritsani Iordaniya normal shakl ga aylantiradi, yaʼni nolga teng boʻlmagan yozuvlari xos qiymatlar l_{1 boʻlgan matritsalarga aylanadi.} dan l_n gacha Andoza:Matematik, asosiy diagonalga joylashtirilgan va oʻng tomonda koʻrsatilganidek, toʻgʻridan-toʻgʻri asosiy diagonal ustidagi bittaga teng boʻlgan yozuvlar. Eigendekompozitsiyani hisobga olgan holda, A ning n-chi kuchi (ya'ni, n-katlama takrorlangan matritsani ko'paytirish) orqali hisoblash mumkin $${\mathbf {A}}^{n}=({\mathbf {VDV}}^{-1})^{n}={\mathbf {VDV}}^{-1}{\mathbf {VDV}}^{-1}\ ldots{\mathbf {VDV}}^{-1}={\mathbf {VD}}^{n}{\mathbf {V}}^{-1}$$ va diagonal matritsaning quvvatini diagonal yozuvlarning mos keladigan vakolatlarini olish yo'li bilan hisoblash mumkin, bu uning o'rniga A uchun darajani ko'rsatishdan ko'ra ancha osondir. Bu matritsa eksponentsial Andoza:Matematika, [[chiziqli differentsial tenglamani] yechishda tez-tez yuzaga keladigan ehtiyojni hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. ]s, matritsa logarifmi va matritsalarning kvadrat ildizlari. Raqamli shartsiz holatlarning oldini olish uchun, masalan, boshqa algoritmlar Schur dekompozitsiyasi dan foydalanish mumkin.

Mavhum algebraik jihatlar va umumlashtirishlar

Matritsalarni turli yo'llar bilan umumlashtirish mumkin. Abstrakt algebra umumiyroq maydonlar yoki hatto halqalardagi yozuvlari bilan matritsalardan foydalanadi, chiziqli algebra esa chiziqli xaritalar tushunchasida matritsalarning xossalarini kodlaydi. Cheksiz ko'p ustun va qatorli matritsalarni ko'rib chiqish mumkin. Yana bir kengaytma tensorlar boʻlib, ular vektorlardan farqli oʻlaroq, koʻpincha sonlar ketma-ketligi sifatida amalga oshirilishi mumkin boʻlgan yuqori oʻlchamli raqamlar massivlari sifatida koʻrish mumkin, matritsalar esa toʻrtburchaklar yoki ikki oʻlchovli raqamlar massivlaridir.< ref>Andoza:Garvard iqtiboslari</ref> Muayyan talablarga javob beradigan matritsalar matritsa guruhlari deb nomlanuvchi guruhlarni hosil qiladi. Xuddi shunday muayyan sharoitlarda matritsalar matritsali halqalar deb nomlanuvchi halqalar hosil qiladi. Matritsalar koʻpaytmasi umuman kommutativ boʻlmasa-da, baʼzi matritsalar matrisa maydoni deb nomlanuvchi maydonlar ni hosil qiladi. Umuman olganda, matritsalar va ularning ko‘paytirish kategoriya, matritsalar toifasini ham tashkil qiladi.

Ko'proq umumiy yozuvlari bo'lgan matritsalar

Ushbu maqola yozuvlari haqiqiy yoki murakkab sonlar bo'lgan matritsalarga qaratilgan. Biroq, matritsalar haqiqiy yoki murakkab raqamlarga qaraganda ancha umumiy turdagi yozuvlar bilan ko‘rib chiqilishi mumkin. Umumlashtirishning birinchi bosqichi sifatida har qanday maydon, ya'ni to'plam bu erda qo'shish, ayirish, ko'paytirish va [[bo'lish] (matematika)|bo'linish]] operatsiyalari aniqlangan va yaxshi bajarilgan, Andoza:Tmath yoki Andoza:Tmath o'rniga ishlatilishi mumkin, masalan, ratsional sonlar yoki chekli maydons. Masalan, kodlash nazariyasi cheklangan maydonlar ustidagi matritsalardan foydalanadi. Qaerda o'z qiymatlar ko'rib chiqilmasin, chunki bular ko'phadning ildizlari bo'lgani uchun ular faqat matritsa yozuvlari maydonidan kattaroq maydonda mavjud bo'lishi mumkin; masalan, haqiqiy yozuvlari bo'lgan matritsada ular murakkab bo'lishi mumkin. Matritsaning yozuvlarini kattaroq maydonning elementlari sifatida qayta talqin qilish imkoniyati (masalan, haqiqiy matritsani kirishlari hammasi haqiqiy bo'lgan murakkab matritsa sifatida ko'rish), keyin har bir kvadrat matritsani to'liq o'z qiymatlari to'plamiga ega bo'lishini ko'rib chiqish imkonini beradi. Shu bilan bir qatorda, faqat boshidan Andoza:Tmath kabi algebraik yopiq maydondagi yozuvlari bo'lgan matritsalarni ko'rib chiqish mumkin.

Umuman olganda, ring R yozuvlari boʻlgan matritsalar matematikada keng qoʻllaniladi. Halqalar maydonlarga qaraganda umumiyroq tushuncha boʻlib, boʻlinish amali mavjud boʻlishi shart emas. Matritsalarni bir xil qo'shish va ko'paytirish amallari ushbu parametrga ham tegishli. Toʻplam M(n, R) (shuningdek, M_n(R)) halqasi matritsali halqa, chap R-modul Rⁿ ning endomorfizm halqasi ga izomorf. Agar R halqasi kommutativ boʻlsa, yaʼni uning koʻpaytirilishi kommutativ boʻlsa, u holda halqa M(n, R) ham R ustidagi assotsiativ algebra hisoblanadi. R kommutativ halqa ustidagi kvadrat matritsalarning determinanti hali ham Leybnits formulasi yordamida aniqlanishi mumkin; bunday matritsa, agar uning determinanti R da invertible boʻlsa, har bir nolga teng boʻlmagan element teskari boʻlgan F maydon boʻyicha vaziyatni umumlashtirgan holda invertiatsiya qilinadi. Matritsalar ustidan superringlar supermatritsalar deb ataladi.

Matritsalar har doim ham bitta halqada - yoki umuman biron-bir halqada barcha yozuvlarga ega emas. Bitta maxsus, lekin keng tarqalgan holat blok matritsalari boʻlib, u yozuvlari matritsalar boʻlgan matritsalar sifatida koʻrib chiqilishi mumkin. Yozuvlar kvadrat matritsalar bo'lishi shart emas va shuning uchun hech qanday ring a'zosi bo'lishi shart emas; lekin ularning o'lchamlari muayyan muvofiqlik shartlariga javob berishi kerak.

Chiziqli xaritalar bilan aloqasi

$\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ chiziqli xaritalari yuqorida ta'riflanganidek, m-by-n matritsalarga ekvivalentdir. . Umuman olganda, har qanday chiziqli xarita f : V → W chekli-o'lchovli vektor fazolar oralig'ida bo'lishi mumkin. matritsa bilan tavsiflanadi A = (a_ij), asoslar Andoza:Matematika V, va Andoza:Matematika dan W (shuning uchun n V va m W oʻlchami), bu shunday

$f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\qquad {\mbox{for}}\ j=1,\ldots ,n.$

Boshqacha qilib aytganda, A ustunining j ustuni v_{j tasvirini ifodalaydi.} W ning Andoza:Matematik bazis vektorlari bo'yicha; shuning uchun bu munosabat A matritsaning yozuvlarini yagona tarzda aniqlaydi. Matritsa asoslarni tanlashga bog'liq: turli xil asoslarni tanlash turli xil, ammo ekvivalent matritsalarni keltirib chiqaradi. Yuqoridagi aniq tushunchalarning ko'pini shu nuqtai nazardan qayta talqin qilish mumkin, masalan, transpoze matritsasi Andoza:Matematika Andoza:Matematik, dual asoslar haqida.

Bu xossalarni tabiiyroq qayta ko‘rsatish mumkin: $k$ maydonidagi yozuvlar bilan matritsalar toifasi tarkibi sifatida ko‘paytirish bilan ekvivalent chekli o‘lchovlilar toifasiga teng. vektor fazolar va buning ustida chiziqli xaritalar maydon.

Umuman olganda, m×n matritsalar to'plamidan bepul modullar orasidagi R-chiziqli xaritalarni ifodalash uchun foydalanish mumkin R{. {sup}} va Rⁿ birlik bilan ixtiyoriy halqa R uchun. Qachon n = m bu xaritalarning tarkibi mumkin va bu n× ning matritsali halqasini hosil qiladi. Rⁿ ning endomorfizm halqasini ifodalovchi n matritsalar.

Matritsa guruhlari

Asosiy maqola: Matrisa guruhi

guruh — ikkilik amal bilan birga obʼyektlar toʻplamidan tashkil topgan matematik tuzilma, yaʼni maʼlum talablar qoʻyilgan holda istalgan ikkita obʼyektni uchinchiga birlashtiruvchi amal.< ref>Guruhdagi har qanday standart havolani ko'ring.</ref> Ob'ektlar matritsalar va guruh operatsiyasi matritsalarni ko'paytirish bo'lgan guruh ""matritsa" deb ataladi. guruh. Har bir elementning guruhi teskari boʻlishi kerakligi sababli, eng umumiy matritsa guruhlari umumiy chiziqli guruhlar deb ataladigan maʼlum oʻlchamdagi barcha teskari matritsalar guruhlari hisoblanadi.

Matritsalarning ko'paytmalari va teskarilari ostida saqlanadigan matritsalarning har qanday xususiyati keyingi matritsa guruhlarini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, berilgan oʻlchamli va determinanti 1 ga teng boʻlgan matritsalar oʻzlarining umumiy chiziqli guruhini (yaʼni tarkibidagi kichikroq guruh) kichik guruh hosil qiladi, ular maxsus chiziqli guruh deb ataladi. Ortogonal matritsalar, shart bilan aniqlanadi $${\mathbf {M}}^{\rm {T}}{\mathbf {M}}={\mathbf {I}},$$ ortogonal guruh hosil qiladi. Har bir ortogonal matritsada determinant 1 yoki −1. Determinant 1 bo'lgan ortogonal matritsalar maxsus ortogonal guruh deb nomlangan kichik guruhni tashkil qiladi.

Har bir cheklangan guruh matritsali guruhga izomorf bo‘ladi, buni simmetrik guruhning muntazam tasviri ko‘rib chiqish orqali ko‘rish mumkin. Umumiy guruhlarni nisbatan yaxshi tushunilgan matritsa guruhlari yordamida vakolatlilik nazariyasi yordamida oʻrganish mumkin.

Cheksiz matritsalar

Cheksiz koʻp satr va/yoki ustunli matritsalarni ham koʻrib chiqish mumkin “Matrisa” bandiga qarang. Garchi cheksiz ob'ektlar bo'lsa ham, bunday matritsalarni aniq yozib bo'lmaydi. Muhimi shundaki, to'plam indekslash satrlaridagi har bir element va to'plam indekslash ustunlaridagi har bir element uchun aniq belgilangan yozuv mavjud (bu indeks to'plamlari natural sonlarning kichik to'plamlari ham bo'lishi shart emas). Qo'shish, ayirish, skalyar ko'paytirish va transpozitsiyaning asosiy operatsiyalari hali ham muammosiz aniqlanishi mumkin; biroq, matritsalarni ko'paytirish natijaviy yozuvlarni aniqlash uchun cheksiz yig'indilarni o'z ichiga olishi mumkin va ular umuman aniqlanmagan.

Agar R birlikka ega boʻlgan har qanday halqa boʻlsa, toʻgʻri R moduli sifatida $M=\bigoplus _{i\in I}R$ endomorfizmlari halqasi boʻladi. yozuvlari ustunli chekli matritsalar $\mathrm {CFM} _{I}(R)$ halqasiga izomorf $I\times I$ tomonidan indekslanadi va ularning har bir ustunida faqat chekli ko'p nolga teng bo'lmagan yozuvlar mavjud. Chap R modul sifatida koʻrib chiqiladigan M endomorfizmlari natijasida oʻxshash obʼyekt, qator chekli matritsalar Failed to parse (sintaktik xato): {\displaystyle \mathrm{RFM}_I(R) hosil boʻladi. } , ularning har bir qatorida faqat chekli ko'p noldan farqli yozuvlar mavjud.

Agar chiziqli xaritalarni tasvirlash uchun cheksiz matritsalar ishlatilsa, unda quyidagi sabablarga ko'ra faqat chekli sonli nolga teng bo'lmagan yozuvlar ustunlariga ega bo'lgan matritsalardangina foydalanish mumkin. Chiziqli xaritani tavsiflash uchun A matritsa uchun f : V → W, ikkalasi uchun asoslar joylar tanlangan bo'lishi kerak; Shuni esda tutingki, ta'rifga ko'ra, bu fazodagi har bir vektor yagona vektor asosli vektorlarning (cheklangan) chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin, shuning uchun [ ning (ustun) vektori ve sifatida yoziladi. [koeffitsient]]s, faqat chekli ko'p yozuvlar v_I nolga teng emas. Endi A ustunlari V ning individual bazis vektorlarining f tasvirlarini W} asosida tasvirlaydi. }, bu ustunlar faqat chekli ko'p nolga teng bo'lmagan yozuvlarga ega bo'lsagina mazmunli bo'ladi. A qatorlarida hech qanday cheklov yo'q, ammo: mahsulotda Andoza:Matematik faqat cheksiz ko'p. v ning nolga teng boʻlmagan koeffitsientlari ishtirok etadi, shuning uchun uning har bir yozuvi, hattoki u mahsulotlarning cheksiz yigʻindisi sifatida berilgan boʻlsa ham, faqat cheksiz koʻp nolga teng boʻlmagan hadlarni oʻz ichiga oladi va shuning uchun yaxshi. belgilangan. Bundan tashqari, bu A ustunlarining chiziqli birikmasini hosil qilish bilan bog'liq bo'lib, ular faqat cheksiz ko'plarini samarali o'z ichiga oladi, shuning uchun natijada faqat chekli ko'p nolga teng bo'lmagan yozuvlar mavjud, chunki bu ustunlarning har biri shunday qiladi. . Berilgan turdagi ikkita matritsaning mahsuloti yaxshi aniqlangan (agar ustun-indeks va satr-indeks to'plamlari mos bo'lsa), bir xil turdagi va chiziqli xaritalar tarkibiga mos keladi.

Agar R normalangan halqa boʻlsa, u holda satr yoki ustun cheklilik shartini yumshatish mumkin. Norma mavjud bo‘lganda, chekli yig‘indilar o‘rniga mutlaq yaqinlashuvchi qator qo‘llanilishi mumkin. Misol uchun, ustun yig'indilari konvergent ketma-ketliklar bo'lgan matritsalar halqa hosil qiladi. Shunga o'xshab, qator yig'indilari yaqinlashuvchi qator bo'lgan matritsalar ham halqa hosil qiladi.

Cheksiz matritsalar Gilbert fazolaridagi operatorlarni tasvirlash uchun ham ishlatilishi mumkin, bu yerda konvergentsiya va uzluksizlik savollari paydo bo‘ladi, bu esa yana qo‘yilishi kerak bo‘lgan muayyan cheklovlarga olib keladi. Biroq, matritsalarning aniq nuqtai nazari masalani chalkashtirib yuborishga intiladi, va funksional tahlil ning mavhum va kuchliroq vositalaridan foydalanish mumkin.

Bo'sh matritsa

Bo'sh matritsa qatorlar yoki ustunlar (yoki ikkalasi) soni nolga teng bo'lgan matritsadir. Boʻsh matritsalar nol vektor fazo ishtirok etgan xaritalar bilan ishlashga yordam beradi. Masalan, agar A 3 ga 0 matritsa va B 0 ga 3 matritsa bo'lsa, u holda { {matematik 3 o'lchovli V fazodan o'ziga bo'lgan nol xaritaga mos keladigan 3x3 nol matritsadir, shu bilan birga Andoza:Matematik 0 ga 0 matritsadir. Bo'sh matritsalar uchun umumiy belgi mavjud emas, lekin ko'pchilik kompyuter algebrasi tizimi ular bilan yaratish va hisoblash imkonini beradi. 0 ga 0 matritsaning determinanti Leybnits formulasida determinant uchun 1 bo'lgan bo'sh mahsulotga nisbatan quyidagicha 1 ga teng. Bu qiymat ham har qanday chekli o'lchovli o'lchovdan o'ziga xoslik xaritasi ekanligiga mos keladi. fazoning o'zi determinantga ega 1, bu fakt ko'pincha determinantlarni tavsiflashning bir qismi sifatida ishlatiladi.

Ilovalar

Matritsalarning matematikada ham, boshqa fanlarda ham ko'plab qo'llanilishi mavjud. Ulardan ba'zilari faqat matritsadagi raqamlar to'plamining ixcham ko'rinishidan foydalanadilar. Masalan, o‘yin nazariyasi va iqtisod fanlarida to‘lov matritsasi ikki o‘yinchi uchun berilgan (cheklangan) strategiyalar to‘plamidan qaysi birini o‘yinchilar tanlaganiga qarab daromadni kodlaydi. Matn qazib olish va avtomatlashtirilgan tezaurus kompilyatsiyasi kuzatish uchun hujjat-term matritsasi kabi tf-idf dan foydalanadi. bir nechta hujjatlardagi ma'lum so'zlarning chastotalari.

Murakkab sonlar ma'lum haqiqiy 2 ga 2 matritsalar orqali ifodalanishi mumkin

$a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},$

bunda kompleks sonlar va matritsalarni qo'shish va ko'paytirish bir-biriga mos keladi. Misol uchun, 2 ga 2 aylanish matritsalari mutlaq qiymat 1 ning qandaydir murakkab soni bilan ko'paytirishni ifodalaydi, chunki yuqorida. Xuddi shunday talqin quaternions va umuman Klifford algebrasilar.

Hill shifrlash kabi dastlabki shifrlash usullari ham matritsalardan foydalangan. Biroq, matritsalarning chiziqli tabiati tufayli, bu kodlarni sindirish nisbatan oson. Kompyuter grafikasi obyektlarni tasvirlash uchun matritsalardan foydalanadi; nazariy kamera kuzatuviga mos keladigan uch o‘lchamli ob’ektni ikki o‘lchovli ekranga proyeksiya qilish kabi vazifalarni bajarish uchun affin aylanish matritsalari yordamida ob’ektlarning o‘zgarishlarini hisoblash; va aniqlashtirish, xiralashtirish, qirralarni aniqlash va boshqalar kabi tasvir konvolyutsiyalarini qo'llash uchun. koʻpnomli halqa ustidagi matritsalar boshqaruv nazariyasini oʻrganishda muhim ahamiyatga ega.

Kimyo matritsalardan turli yoʻllar bilan foydalanadi, xususan, molekulyar bogʻlanish va spektroskopiya masalalarini muhokama qilish uchun kvant nazariyasi dan foydalanilganidan beri. Masalan, Hartri-Fok usulining molekulyar orbitallarini olish uchun Ruthan tenglamalari ni yechishda qoʻllaniladigan qoplama matritsasi va Fok matritsasi.

Grafik nazariyasi

Qoʻshni matritsali yoʻnaltirilmagan grafik: $${\begin{bmatrix}1&1&0\\1va0va1\\0,1va0\end{bmatrix}}.$$

cheklangan grafik ning qo‘shnilik matritsasi grafik nazariyasining asosiy tushunchasidir. Grafikning qaysi uchlari chekka bilan bog'langanligini qayd qiladi. Ikki xil qiymatdan iborat bo'lgan matritsalar (1 va 0 mos ravishda "ha" va "yo'q" degan ma'noni anglatadi) mantiqiy matritsalar deb ataladi. masofa (yoki xarajat) matritsasi qirralarning masofalari haqidagi maʼlumotlarni oʻz ichiga oladi. Bu tushunchalar web-saytlar orqali ulangan giperhavolalar yoki yoʻllar bilan bogʻlangan shaharlar va hokazolarga nisbatan qoʻllanilishi mumkin, bu holda (agar ulanish tarmogʻi juda katta boʻlmasa) zich) matritsalar siyrak bo'ladi, ya'ni bir nechta noldan farqli yozuvlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun tarmoq nazariyasida maxsus moslashtirilgan matritsali algoritmlardan foydalanish mumkin.

Tahlil va geometriya

differentsiallanuvchi funksiya $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ning Gessian matritsasi ƒ ning ikkinchi hosilasilardan iborat. bir necha koordinata yo'nalishlari haqida, ya'ni,

Failed to parse (unknown function "\qisman"): {\displaystyle H(f) = \left [\frac {\partial^2f}{\qisman x_i \, \qisman x_j} \right ].}

Egar nuqtasi (x = 0, y = 0) (qizil) funktsiyaning f (x,−y) = x² − y², Gessi matritsasi ${\begin{bmatrix}2va0\\0va-2\end{bmatrix}}$ noaniq.

U funksiyaning mahalliy oʻsish harakati haqidagi maʼlumotlarni kodlaydi: berilgan kritik nuqta Andoza:Matematika., bu ƒ ning birinchi qisman hosilasis $\partial f/\partial x_{i}$ yoʻqolib ketadigan nuqta, funktsiya lokal minimum ga ega boʻladi, agar Gess matritsasi musbat aniq. Kvadrat dasturlash matritsalarga biriktirilganlar bilan chambarchas bog'liq bo'lgan kvadratik funksiyalarning global minimal yoki maksimallarini topish uchun ishlatilishi mumkin (qarang: yuqorida).

Geometrik vaziyatlarda tez-tez ishlatiladigan boshqa matritsa bu Failed to parse (sintaktik xato): {\displaystyle f: \R^n \to \R^ ning <span id="Jacobi_matrix">[[Yakobiy matritsasi va determinant|Yakobi matritsasi]]</span>dir. m.} Agar f₁, ..., f_m f komponentlarini bildiradi, keyin Yakobi matritsasi shunday aniqlanadi

$J(f)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.$

Agar n > m bo'lsa va Yakobi matritsasi darajasi o'zining maksimal qiymatiga m erishsa, f da lokal ravishda teskari bo'ladi. bu nuqta, yopiq funksiya teoremasi tomonidan.

Qisman differensial tenglamalarni tenglamaning eng yuqori tartibli differentsial operatorlari koeffitsientlari matritsasi hisobga olingan holda tasniflash mumkin. elliptik qisman differensial tenglamalar uchun bu matritsa musbat aniq boʻlib, koʻrilayotgan tenglamaning mumkin boʻlgan yechimlari toʻplamiga hal qiluvchi taʼsir koʻrsatadi.

cheklangan elementlar usuli qisman differentsial tenglamalarni yechishning muhim raqamli usuli boʻlib, murakkab fizik tizimlarni simulyatsiya qilishda keng qoʻllaniladi. U ba'zi bir tenglamaning yechimini bo'lak-bo'lak chiziqli funksiyalar orqali yaqinlashishga harakat qiladi, bunda bo'laklar etarlicha nozik to'rga tegishli bo'lib tanlanadi, bu esa o'z navbatida matritsali tenglama sifatida qayta ishlanishi mumkin.

Ehtimollar nazariyasi va statistikasi

Fayl:Markov zanjiri SVG.svg

Ikki xil Markov zanjiri. Grafikda "2" holatidagi zarrachalar soni (jami 1000 ta) ko'rsatilgan. Har ikkala chegaraviy qiymatni $tomonidanberilgano'tishmatritsalaridananiqlashmumkin{\begin{bmatrix}0,7va0\\0,3va1\end{bmatrix}}$ (qizil) va ${\begin{bmatrix}0,7va0,2\\0,3va0,8\end{bmatrix}}$ (qora).

Stokastik matritsalar qatorlari ehtimollik vektori boʻlgan, yaʼni yozuvlari manfiy boʻlmagan va yigʻindisi bittaga teng boʻlgan kvadrat matritsalardir. Stokastik matritsalar chekli ko‘p holatlarga ega Markov zanjirilarni aniqlash uchun ishlatiladi. Bir qator stokastik matritsa hozirda qatorga mos keladigan holatda bo'lgan ba'zi zarrachaning keyingi pozitsiyasi uchun ehtimollik taqsimotini beradi. Markov zanjiriga o'xshash yutuvchi holatlarning xossalari, ya'ni har qanday zarracha oxir-oqibat erishadi, o'tish matritsalarining xos vektorlaridan o'qilishi mumkin.

Statistika matritsalardan turli xil shakllarda ham foydalanadi. Tasviriy statistika koʻpincha maʼlumotlar matritsalari sifatida ifodalanishi mumkin boʻlgan maʼlumotlar toʻplamlarini tavsiflash bilan bogʻliq boʻlib, keyinchalik ular taʼsir qilishi mumkin. o'lchamlarni kamaytirish texnikasi. kovariance matritsasi bir nechta tasodifiy oʻzgaruvchilarning oʻzaro variancesini kodlaydi. Matritsalardan foydalanadigan yana bir usul chiziqli eng kichik kvadratlar, bu usul cheklangan juftlik toʻplamiga yaqinlashadi (x₁ , y₁), (x₂, y₂), ..., (x_N, y_N), chiziqli funksiya bo'yicha Failed to parse (unknown function "\taxminan"): {\displaystyle y_i \taxminan ax_i + b, \quad i = 1, \ldots, N}

matritsalarning birlik qiymatli dekompozitsiyasi bilan bog'liq bo'lgan matritsalar bo'yicha formulalanishi mumkin.

Tasodifiy matritsalar — matritsaning normal taqsimoti kabi mos ehtimollik taqsimotilarga bogʻliq boʻlgan yozuvlari tasodifiy sonlar boʻlgan matritsalar. Ehtimollar nazariyasidan tashqari, ular sonlar nazariyasi dan fizika gacha boʻlgan sohalarda qoʻllaniladi.

Fizikadagi simmetriyalar va transformatsiyalar

Andoza:Bundan keyin Chiziqli o‘zgarishlar va ular bilan bog‘liq simmetriyalar zamonaviy fizikada asosiy o‘rin tutadi. Masalan, kvant maydon nazariyasidagi elementar zarrachalar maxsus nisbiylik nazariyasining Lorents guruhi tasvirlari sifatida va aniqrogʻi, spin guruhi ostidagi xatti-harakatlariga koʻra tasniflanadi. Pauli matritsalari va undan umumiyroq gamma matritsalar ishtirokidagi konkret tasvirlar spinorlar kabi harakat qiluvchi fermionlarning fizik tavsifining ajralmas qismi hisoblanadi. Eng yengil uchta kvark uchun maxsus unitar guruh SU(3) ishtirokidagi guruh-nazariy tasvir mavjud; O'z hisob-kitoblari uchun fiziklar Gell-Mann matritsalari deb nomlanuvchi qulay matritsa tasviridan foydalanadilar, ular kuchli yadroviy o'zaro ta'sirlarning zamonaviy tavsifining asosini tashkil etuvchi SU(3) o'lchov guruhi uchun ham qo'llaniladi. , kvant xromodinamikasi. Kabibbo-Kobayashi-Maskava matritsasi, o'z navbatida, zaif o'zaro ta'sirlar uchun muhim bo'lgan asosiy kvark holatlar bir xil emas, balki ularni aniqlaydigan asosiy kvark holatlar bilan chiziqli bog'liqligini ifodalaydi. o'ziga xos va aniq masslarga ega bo'lgan zarralar.

Kvant holatlarining chiziqli birikmalari

kvant mexanikasining birinchi modeli (Heisenberg, 1925 yil) kvant holatlariga taʼsir qiluvchi cheksiz oʻlchovli matritsalar orqali nazariyaning operatorlarini ifodalagan. Bu matritsa mexanikasi deb ham ataladi. Maxsus misollardan biri, kvant tizimining "aralash" holatini elementar, "sof" o'z holatlar ning chiziqli birikmasi sifatida tavsiflovchi zichlik matritsasidir.

Yana bir matritsa eksperimental zarrachalar fizikasining asosini tashkil etuvchi sochilish tajribalarini tavsiflash uchun asosiy vosita bo'lib xizmat qiladi: To'qnashuv reaksiyalari, masalan, zarrachalar tezlatgichilarda sodir bo'ladi, bu erda o'zaro ta'sir qilmaydigan zarralar bir-biriga qarab yo'naladi va kichik o'zaro ta'sirda to'qnashadi. Natijada o'zaro ta'sir qilmaydigan zarralarning yangi to'plami bo'lgan zonani skalyar mahsulot sifatida tasvirlash mumkin. chiquvchi zarracha holatlari va kiruvchi zarracha holatlarining chiziqli birikmasi. Chiziqli birikma zarralar orasidagi mumkin bo'lgan o'zaro ta'sirlar haqidagi barcha ma'lumotlarni kodlaydigan S-matritsa deb nomlanuvchi matritsa tomonidan berilgan.

Oddiy rejimlar

Matritsalarning fizikada umumiy qo'llanilishi chiziqli bog'langan garmonik tizimlarning tavsifidir. Bunday sistemalarning harakat tenglamalari matritsa ko‘rinishida tasvirlanishi mumkin, bunda massa matritsasi umumlashtirilgan tezlikni ko‘paytirib, kinetik muddatni beradi, kuch matritsa o‘zaro ta’sirlarni xarakterlash uchun siljish vektorini ko‘paytiradi. Yechimlarni olishning eng yaxshi usuli matritsa tenglamasini diagonallash orqali tizimning oʻz vektorlarini, uning normal rejimlarini aniqlashdir. Bu kabi usullar molekulalarning ichki dinamikasi: oʻzaro bogʻlangan komponent atomlaridan tashkil topgan tizimlarning ichki tebranishlari haqida gap ketganda hal qiluvchi ahamiyatga ega. Ular mexanik tebranishlar va tebranishlarni tavsiflash uchun ham kerak. elektr zanjirlari.

Geometrik optika

Geometrik optika qoʻshimcha matritsali ilovalarni taqdim etadi. Bu taxminiy nazariyada yorug'likning to'lqin tabiati e'tiborga olinmaydi. Natijada yorug'lik nurlari haqiqatdan ham geometrik nurlar bo'lgan model paydo bo'ldi. Agar yorug'lik nurlarining optik elementlar tomonidan og'ishi kichik bo'lsa, linza yoki aks ettiruvchi elementning berilgan yorug'lik nuriga ta'sirini ikki komponentli vektorni ikkiga ko'paytirish sifatida ifodalash mumkin. -ikki matritsa nurlarni uzatish matritsasi tahlili deb ataladi: vektorning komponentlari yorug'lik nurining qiyaligi va uning optik o'qdan masofasi, matritsa esa optik elementning xususiyatlarini kodlaydi. Ikki turdagi matritsalar mavjud, ya'ni. linzalar yuzasida sinishni tavsiflovchi sinish matritsasi va boshqa sinish matritsasi qo'llaniladigan keyingi sinish yuzasiga mos yozuvlar tekisligining tarjimasini tavsiflovchi translyatsiya matritsasi . Linzalar va/yoki aks ettiruvchi elementlarning birikmasidan iborat optik tizim oddiygina komponentlar matritsalari mahsuloti natijasida hosil bo'lgan matritsa bilan tavsiflanadi.

Elektronika

Elektronikada an'anaviy to'r tahlili va tugun tahlili matritsa bilan tasvirlanishi mumkin bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimiga olib keladi.

Ko'pgina elektron komponentlarning harakatini matritsalar yordamida tasvirlash mumkin. Komponentning kirish kuchlanishi v₁ va kirish oqimi I{ A 2 o'lchovli vektor bo'lsin. Uning elementlari sifatida {sub va komponentning chiqish kuchlanishi bilan B 2 o‘lchovli vektor bo‘lsin. v₂ va uning elementlari sifatida joriy I₂ chiqaring. Keyin elektron komponentning harakatini B = H · A bilan tavsiflash mumkin, bu erda H 2 x 2 bir empedans element (h₁₂), bitta ruxsat elementni o'z ichiga olgan matritsa (h₂₁) va ikkita o'lchovsiz element ({{math|h₁₁} } va Andoza:Matematika). Sxemani hisoblash endi matritsalarni ko'paytirishga kamayadi.

Tarix

Matritsalar chiziqli tenglamalarni yechishda uzoq vaqtdan beri qoʻllanish tarixiga ega, ammo ular 1800-yillargacha massivlar sifatida tanilgan. Miloddan avvalgi 10–2-asrlarda yozilgan Xitoycha matn Matematika sanʼati boʻyicha toʻqqiz bob [[chiziqli matematika tizimi] yechishda massiv usullaridan foydalanishning birinchi namunasidir. tenglamalar|bir vaqtda tenglamalar]], determinantlar tushunchasini oʻz ichiga oladi. 1545 yilda italyan matematigi Gerolamo Kardano Ars Magna asarini nashr qilganda Yevropaga bu usulni joriy qilgan. Yapon matematigi Seki 1683-yilda bir vaqtda tenglamalarni yechish uchun bir xil massiv usullaridan foydalangan. Gollandiyalik matematik Yan de Vitt o'zining 1659-yilda chop etilgan Elements of Curves kitobida massivlar yordamida transformatsiyalarni ifodalagan. ' (1659). 1700-1710 yillarda Gotfrid Vilgelm Leybnits axborot yoki yechimlarni yozib olish uchun massivlardan foydalanishni eʼlon qildi va 50 dan ortiq turli massivlar tizimi bilan tajriba oʻtkazdi. Kramer uning qoidasi ni taqdim etdi 1750.

“Matrisa” (lotincha “bachadon”, “to‘g‘on” (ko‘paytirish uchun saqlanadigan odam bo‘lmagan urg‘ochi hayvon), “manba”, “kelib chiqishi”, “ro‘yxat” va “registr” atamasi mater—ona) 1850-yilda Jeyms Jozef Silvestr tomonidan yaratilgan, matritsani bugungi kunda kichik deb ataladigan bir nechta determinantlarni keltirib chiqaradigan ob'ekt deb tushunganlar, ya'ni dastlabkisidan kelib chiqadigan kichikroq matritsalarning determinantlari. ustunlar va qatorlarni olib tashlash orqali. 1851 yilgi maqolasida Silvestr shunday tushuntiradi:

Men oldingi maqolalarda "Matritsa" atamalarning to'rtburchaklar majmuasi sifatida ta'riflagan edim, ulardan turli determinantlar tizimlari umumiy ota-onaning bachadonidan paydo bo'lishi mumkin.

Artur Kayli ilgari qilinganidek tekshirilayotgan koeffitsientlarning aylantirilmagan versiyalari bo'lmagan matritsalar yordamida geometrik o'zgarishlar haqida risolani nashr etdi. Buning o'rniga u qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kabi amallarni ushbu matritsalarning o'zgarishi sifatida aniqladi va assotsiativ va taqsimlovchi xususiyatlarni ko'rsatdi. Keyli matritsalarni ko‘paytirishning o‘zgarmas xususiyatini hamda matritsalarni qo‘shishning kommutativ xususiyatini tadqiq qildi va ko‘rsatdi. Ilk matritsa nazariyasi massivlardan deyarli faqat determinantlar va Artur Keylining mavhum matritsasi bilan foydalanishini cheklab qo‘ygan edi. operatsiyalar inqilobiy edi. U tenglamalar tizimidan mustaqil matritsa kontseptsiyasini taklif qilishda muhim rol o'ynadi. 1858 yilda Keyli o'zining "Matritsalar nazariyasi bo'yicha xotiralar" asarini nashr etdi. Maqolalar II 475-496</ref> unda u Keyli-Gamilton teoremasini taklif qilgan va ko‘rsatgan.

Ingliz matematigi Kutbert Edmund Kullis 1913 yilda birinchi bo'lib matritsalar uchun zamonaviy qavs belgisini qo'llagan va u bir vaqtning o'zida A = [ yozuvidan muhim foydalanishni ko'rsatgan. a_i,j] matritsani ifodalash uchun a_i,j i-chi qator va j-ustunni bildiradi.

Determinantlarni zamonaviy tadqiq qilish bir necha manbalardan kelib chiqqan. Raqam-nazariy muammolari [[Gauss]ga olib keldi. ]] kvadrat shakllarning koeffitsientlarini, yaʼni kabi ifodalarni bogʻlash. Andoza:Matematik va chiziqli xaritalar uch o'lchovli matritsalarga. Eyzenshteyn bu tushunchalarni yanada rivojlantirdi, jumladan, zamonaviy tilda aytganda, matritsa mahsulotilar kommutativ boʻlmagan degan fikrni ham oʻz ichiga oladi. Koshi matritsa determinantining ta'rifi sifatida foydalangan holda birinchi bo'lib determinantlar haqidagi umumiy fikrlarni isbotladi A = [a_{i, j}] quyidagi: vakolatlarni a bilan almashtiring a_jk polinom ichida

$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})\;$,

bu erda $\textstyle \prod$ ko'rsatilgan shartlarning mahsulot ni bildiradi. Shuningdek, u 1829 yilda simmetrik matritsalarning oʻz qiymatilari haqiqiy ekanligini koʻrsatdi. Jacobi "funktsional determinantlar" ni o'rgangan - keyinchalik [[Yakobi] deb nomlangan. matritsa va determinant|Yakobi determinanti Silvestr tomonidan — mahalliy (yoki cheksiz kichik) darajadagi geometrik oʻzgarishlarni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin, yuqoridagi ga qarang. Kronecker Vorlesungen über die Theorie der Determinanten va Weierstrass' Zur Determinantentheorie, ikkalasi ham 1903-yilda nashr etilgan boʻlib, birinchi boʻlib determinantlarga aksiomaatik munosabatda boʻldi, bu esa Koshi formulasi kabi oldingi aniqroq yondashuvlardan farqli oʻlaroq. O'sha paytda determinantlar mustahkam o'rnatildi.

Ko'pgina teoremalar dastlab faqat kichik matritsalar uchun o'rnatildi, masalan, Keyli-Gamilton teoremasi 2×2 matritsalar uchun Keyli tomonidan yuqorida qayd etilgan memuarda, Hamilton tomonidan 4× uchun isbotlangan. 4 ta matritsa. Frobenius bilinear shakllar ustida ish olib, teoremani barcha oʻlchamlarga umumlashtirdi (1898). Shuningdek, 19-asr oxirida Gauss-Iordaniyani bartaraf etish (hozirda Gaussni yoʻq qilish deb nomlanuvchi maxsus holatni umumlashtirish) Vilgelm Jordan tomonidan oʻrnatildi. 20-asr boshlarida matritsalar chiziqli algebrada markaziy oʻrinni egalladi. O'tgan asrdagi giperkompleks sonlar tizimlari.

matritsalar mexanikasining Geyzenberg, Born va Iordaniya tomonidan yaratilishi cheksiz koʻp qator va ustunli matritsalarni oʻrganishga olib keldi Keyinchalik fon Neyman kvant mexanikasining matematik formulasini funksional analitik kabi tushunchalarni yanada rivojlantirish orqali amalga oshirdi. Gilbert fazosi lardagi chiziqli operatorlar, juda qoʻpol qilib aytganda, Yevklid fazosi ga toʻgʻri keladi, lekin cheksiz mustaqil yo'nalishlar bilan.

Matematikada "matritsa" so'zining boshqa tarixiy qo'llanilishi

Bu so'z tarixiy ahamiyatga ega bo'lgan kamida ikkita muallif tomonidan g'ayrioddiy tarzda ishlatilgan.

Bertrand Russell va Alfred North Whitehead Principia Mathematica asarida (1910–1913) o'zlarining qaytariluvchanlik aksiomasi kontekstida "matritsa" so'zidan foydalanadilar. Ular bu aksiomani har qanday funktsiyani ketma-ket pastroq turga qisqartirish vositasi sifatida taklif qildilar, shunda "pastki" (0 tartib)da funktsiya uning [[kengaytma (predikat mantiqi)|kengaytma] bilan bir xil bo'ladi:

Oʻzgaruvchilar koʻp boʻlishidan qatʼi nazar, koʻrinadigan oʻzgaruvchilarni oʻz ichiga olmaydi, har qanday funksiyaga “matritsa” nomini beraylik. Keyin, matritsadan boshqa har qanday mumkin bo'lgan funksiya matritsadan umumlashtirish yordamida, ya'ni ko'rib chiqilayotgan funktsiya barcha mumkin bo'lgan qiymatlar bilan yoki argumentlardan birining ba'zi bir qiymati bilan to'g'ri ekanligi haqidagi taklifni hisobga olgan holda, boshqa argument yoki argumentlar qoladi. aniqlanmagan.

Masalan, x va y ikkita oʻzgaruvchidan iborat P(x, y) funksiyani to'plamga qisqartirish mumkin. bitta o'zgaruvchining funktsiyalari, masalan, y, "individuallar" ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun funktsiyani "ko'rib chiqish" orqali x oʻzgaruvchisi oʻrniga a_i almashtirildi. Va keyin bitta o'zgaruvchining y funktsiyalari to'plami, ya'ni ∀ a_i: P (a_i, y), funktsiyani "ko'rib chiqish" orqali qiymatlarning "matritsasi" ga keltirilishi mumkin y oʻzgaruvchisi oʻrniga almashtirilgan b_i "individuallar" ning barcha mumkin boʻlgan qiymatlari uchun: $$\forall b_{j}\forall a_{i}:\phi (a_{i},b_{j}).$$

Alfred Tarski oʻzining 1946-yilgi “Mantiqqa kirish” asarida “matritsa” soʻzini matematik mantiqda qoʻllanilgan haqiqat jadvali tushunchasi bilan sinonim sifatida ishlatgan.

Shuningdek qarang

• Nomlangan matritsalar roʻyxati
• Andoza:Izohli havola
• Andoza:Izohli havola
• Andoza:Izohlangan havola
• Irregular matritsa
• Andoza:Izohlangan havola
• Andoza:Izohlangan havola
• Matritsani ko'paytirish algoritmi
• Tensor — Istalgan sonli indekslar bilan matritsalarni umumlashtirish
• Andoza:Izohlangan havola
• Matritsalar toifasi — Matritsalar va ularni koʻpaytirish orqali hosil boʻlgan algebraik tuzilma

Ma'lumotnomalar

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{Iqtibos |birinchi1=Jon B. |oxirgi1=Fraleigh |yil=1976 |isbn=0-201-01984-1 |nomi=Abstrakt algebra boʻyicha birinchi kurs |nashr=2-nashriyotchi=[[Addison-Uesli] ] |joy=Oʻqish}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

.

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• Andoza:Lang algebrasi

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{Iqtibos |last1=Oualline |first1=Stiv |title=Amaliy C++ dasturlash |nashriyotchi=O'Reilly |isbn=978-0-596-00419-4 |yil=2003} }

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{Iqtibos |last1=Šolin |first1=Pavel |title=Qisman differensial tenglamalar va sonli elementlar usuli |nashriyotchi=Wiley-Interscience |isbn=978-0-471-76409-0 |yil=2005} }

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

Fizika ma'lumotnomalari

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

Tarixiy manbalar

• A. Kayli Matritsalar nazariyasi bo'yicha memuar. Fil. Trans. 148 1858 17–37; Matematika. Maqolalar II 475–496
• Bocher, Maxime (2004), Yuqori algebraga kirish, Nyu-York, NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486 -49570-5, 1907 yilgi asl nashrning qayta nashri

• {{{1}}}

• {{Iqtibos |tahrirlovchi1-oxirgi=Dieudonne |muharrir1-birinchi=Jan |muharrir1-havola=Jan Dieudonne |sarlavha=Abrége d'histoire des mathematiques 1700-1900 |nashriyotchi=Hermann,Fermann |joy=9=Paris=8 | }

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

• {{{1}}}

Qo'shimcha o'qish

• Andoza:SpringerEOM

• {{{1}}}

• {{{1}}}

Tashqi havolalar

• MacTutor: Matritsalar va determinantlar
• Matritsalar va chiziqli algebra eng dastlabki foydalanish sahifalarida
• Matritsalar va vektorlar uchun belgilarning eng qadimgi qo'llanilishi