Xaos nazariyasi

Lorenz attraktorining qiymatlar boʻyicha grafigi. r = 28, σ = 10, b = 8/3

Xaos nazariyasi (yoki xaologiya) – bu fanlararo ilmiy tadqiqot sohasi va matematikaga oid boʻlim. Ushbu nazariya dinamik tizimlarning boshlangʻich sharoitlarga nisbatan yuqori sezgirlikka ega boʻlgan asosiy qonuniyatlari va deterministik tamoyillariga eʼtibor qaratadi. Ilgari bu tizimlar butunlay tasodifiy tartibsizlik va tartibsizlik holatlariga ega deb hisoblangan. Xaos nazariyasiga koʻra, murakkab va xaotik tizimlarning koʻrinadigan tasodifiyligi ichida tub qonuniyatlar, oʻzaro bogʻliqlik, doimiy teskari aloqa zanjirlari, takrorlanish, oʻz-oʻziga oʻxshashlik, fraktallar va oʻz-oʻzini tashkil etish jarayonlari mavjud. Xaos nazariyasining asosiy tamoyillaridan biri boʻlgan kapalak effekti deterministik, chiziqli boʻlmagan tizimning bir holatidagi kichik oʻzgarishlar keyingi holatlarda katta farqlarga olib kelishi mumkinligini tavsiflaydi. Bu nazariyaga koʻra, boshlangʻich sharoitlarga nisbatan yuqori sezuvchanlik mavjud. Metaforik yoʻl bilan ifodalaganda Braziliyadagi bir kapalak qanotlarini qoqishi Texasda tornado keltirib chiqarishi mumkin deb hisoblangan^:181-184.

Boshlangʻich sharoitlardagi kichik farqlar, masalan, oʻlchov xatoliklari yoki sonli hisoblashlardagi yaxlitlash xatolari tufayli, bunday dinamik tizimlar juda farqli natijalarga olib kelishi mumkin. Bu esa, umuman olganda, ularning uzoq muddatli xulq-atvorini bashorat qilishni imkonsiz qiladi. Bu holat, ushbu tizimlar deterministik boʻlsa ham sodir boʻlishi mumkin, yaʼni ularning kelajakdagi xatti-harakati noyob evolyutsiyaga amal qiladi va faqat boshlangʻich sharoitlar tomonidan toʻliq aniqlanadi, tasodifiy elementlar ishtirok etmaydi. Boshqacha aytganda, ushbu tizimlarning deterministik tabiati ularni taxmin qilinadigan qilmaydi. Bunday xatti-harakat determinizm xaosi yoki shunchaki xaos deb ataladi.

Ikki sterjenli mayatnikning xaotik harakatini koʻrsatuvchi animatsiya. Oraliq energiya holatidagi oʻzgarishlarni koʻrsatadi.

Xaotik xatti-harakatlar koʻplab tabiiy tizimlarda, jumladan suyuqlik oqimi, yurak aritmiyasini buzilishi, ob-havo va iqlimda mavjud. Shuningdek, yoʻl harakati kabi sunʼiy tarkibiy qismlarga ega baʼzi tizimlarda oʻz-oʻzidan sodir boʻladi. Ushbu xatti-harakatni xaotik matematik modelni tahlil qilish yoki takrorlanish grafiklari va Puankare xaritalari kabi analitik usullar orqali oʻrganish mumkin. Xaos nazariyasi turli fanlarda, jumladan, meteorologiya, antropologiya, sotsiologiya, atrof-muhit fanlari, informatika, muhandislik, iqtisodiyot, ekologiyasi va pandemiya krizislarini boshqarish sohalarda qoʻllanilishi mumkin. Nazariya murakkab dinamik tizimlar, xaos nazariyasining chekkasi va oʻz-oʻzini yigʻish jarayonlari kabi oʻrganish sohalari uchun asos boʻldi.

Kirish

Xaos nazariyasi determinizm tizimlariga taalluqli boʻlib, ularning xatti-harakatlarini oldindan aytib berish mumkinligi bilan izohlanadi. Xaotik tizimlar maʼlum vaqtgacha prognoz qilinadi va keyin tasodifiy boʻlib qoladi. Xaotik tizimning xatti-harakatini samarali prognoz qilish mumkin boʻlgan vaqt hajmi uchta omilga bogʻliq: prognozda qanchalik noaniqlikka yoʻl qoʻyilishi mumkinligi, uning joriy holatini qanchalik aniq oʻlchash mumkinligi va tizimning dinamikasiga bogʻliq boʻlgan vaqt shkalasi Lyapunov vaqti deb ataladi. Lyapunov ning baʼzi misollari: tartibsiz elektr zanjirlari, taxminan 1 millisekund; ob-havo tizimlari, bir necha kun (isbotlanmagan); ichki quyosh tizimi, 4-5 million yil. Tartibsiz tizimlarda prognozdagi noaniqlik oʻtgan vaqt bilan eksponensial tarzda ortib boradi. Demak, matematik jihatdan prognoz vaqtini ikki baravar oshirish prognozdagi proporsional noaniqlikni kvadratga nisbatan koʻpaytiradi. Bu shuni anglatadiki, amalda Lyapunov vaqtining ikki yoki uch baravaridan ortiq vaqt oraligʻida mazmunli prognoz qilish mumkin emas. Mantiqiy bashorat qilish imkoni boʻlmaganda, tizim tasodifiy tarzda paydo boʻladi.

Xaotik dinamika

x → 4 x (1 – x) va y → (x + y) mod 1 bilan aniqlangan xarita boshlangʻich x holatlarga sezgirlikni koʻrsatadi. Bu yerda x va y qiymatlarining ikkita qatori vaqt oʻtishi bilan kichik boshlangʻich farqdan sezilarli darajada uzoqlashadi

Odatda, „xaos“ soʻzi „ tartibsizlik holati“ degan maʼnoni anglatadi. Ammo xaos nazariyasida bu atamaga aniqroq taʼrif berilgan. Garchi xaosning umumiy qabul qilingan matematik taʼrifi mavjud boʻlmasa-da, dastlab Robert L. Devaney tomonidan ishlab chiqilgan umumiy taʼrifga koʻra, dinamik tizimni xaotik deb tasniflash uchun u quyidagi xususiyatlarga ega boʻlishi kerak:

1. Boshlangʻich sharoitlarga sezgir boʻlishi kerak,
2. Topologik jihatdan tranzitiv boʻlishi kerak,
3. Zich davriy orbitlarga ega boʻlishi kerak.

Baʼzi hollarda yuqoridagi oxirgi ikkita xususiyat aslida boshlangʻich sharoitlarga sezgirlikni nazarda tutishi koʻrsatilgan. Diskret vaqt holida bu metrik fazolardagi barcha uzluksiz xaritalar uchun toʻgʻri keladi. Bunday hollarda, bu koʻpincha eng muhim amaliy xususiyat boʻlsa-da, taʼrifda „dastlabki sharoitlarga sezgirlik“ni taʼkidlash shart emas.

Agar eʼtibor faqat intervallarga qaratilsa, ikkinchi xususiyat qolgan ikkitasini ham oʻz ichiga oladi. Xaosning muqobil va odatda zaifroq taʼrifi esa yuqoridagi roʻyxatda faqat dastlabki ikkita xususiyatga asoslanadi.

Boshlangʻich sharoitlarga sezgirlik

Asosiy maqola: Kapalak effekti

Boshlangʻich shartlarga sezgirlik degani, xaotik tizimdagi har bir nuqta boshqa nuqtalar tomonidan tasodifiy ravishda juda yaqinlashib, kelajakdagi yoʻnalishlari yoki harakat yoʻli sezilarli darajada farq qilishidir. Shunday qilib, hozirgi yoʻnalishdagi juda kichik oʻzgarish yoki kelajakdagi xatti-harakatlarini sezilarli darajada farq qilishiga olib kelishi mumkin.

Davriy boʻlmaganlik

Animatsiya doiraviy boshlangʻich shartlarning birinchi va oltinchi iteratsiyasini koʻrsatadi. Koʻrinib turibdiki, iteratsiyalar davomida aralashish sodir boʻladi. Oltinchi iteratsiya nuqtalarning fazalar fazosida deyarli toʻliq sochilganligini koʻrsatadi. Agar biz iteratsiyalarni davom ettirganimizda edi, aralashtirish bir xil va qaytmas boʻlar edi.

Xaotik tizim oʻzgaruvchining qiymatlari ketma-ketligiga ega boʻlishi mumkin, ular aynan takrorlanadi va ushbu ketma-ketlikning istalgan nuqtasidan boshlab davriy harakatni beradi. Biroq, bunday davriy ketma-ketliklar tortish emas, balki itarishdir, yaʼni agar evolyutsion oʻzgaruvchi ketma-ketlikdan tashqarida boʻlsa, qanchalik yaqin boʻlmasin, u ketma-ketlikka kirmaydi va aslida undan uzoqlashadi. Shunday qilib, deyarli barcha boshlangʻich shartlar uchun oʻzgaruvchi davriy boʻlmagan xatti-harakatlar bilan xaotik ravishda rivojlanadi.

Topologik aralashuv

x → 4 x (1 – x) va y → (x + y) mod 1 bilan aniqlangan xaritada ham topologik aralashuv kuzatiladi. Bu yerda koʻk soha dinamika orqali avval binafsha rangga, keyin pushti va qizil sohalarga va oxir-oqibat fazo boʻylab tarqalgan vertikal chiziqlar bulutiga aylanadi.

Topologik aralashuv (yoki topologik uzluksizlikning zaif sharti) shuni anglatadiki, tizim vaqt oʻtishi bilan oʻz faza maydonining har qanday berilgan sohasi yoki ochiq toʻplami oxir-oqibat boshqa bir berilgan soha bilan kesishadi. Bu matematik „aralashuv“ tushunchasi oddiy intuitiv tushunchaga mos keladi va rangli boʻyoqlar yoki suyuqliklarning aralashishi xaotik tizimga misol boʻladi.

Davriy orbitalar zichligi

Xaotik sistemaning zich davriy orbitalarga ega boʻlishi fazoning har bir nuqtasiga ixtiyoriy ravishda davriy orbitalar yaqinlashganini anglatadi. x → 4 x (1 – x) orqali aniqlangan bir oʻlchovli logistik xarita davriy orbitalar zichligiga ega boʻlgan eng sodda tizimlardan biridir. Masalan: ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$→${\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}$→${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ (taxminan 0.3454915 → 0.9045085 → 0.3454915) 2 davrli (noturgʻun) orbita boʻlib, shunga oʻxshash orbitalar 4, 8, 16 davrlar va boshqalar uchun mavjud.

Sharkovskiyning teoremasi Li va Yorkening (1975) isboti boʻlib, uchinchi davrning muntazam sikliga ega boʻlgan har qanday uzluksiz bir oʻlchovli tizim har bir boshqa uzunlikdagi muntazam sikllarni, shuningdek, butunlay tartibsiz orbitalarni ham koʻrsatadi.

Noodatiy attraktorlar

Lorenz attraktori xaotik holati koʻrsatilgan. Ushbu ikkita grafik attraktor egallagan faza fazosi sohasidagi boshlangʻich shartlarga sezgir bogʻliqlikni koʻrsatadi.

Baʼzi dinamik sistemalar, masalan, x → 4 x (1 – x) orqali aniqlangan bir oʻlchovli logistik xarita hamma joyda xaotik boʻladi, lekin koʻp hollarda xaotik holat faqat fazali fazoning qism toʻplamida uchraydi. Eng qiziqarli holatlar xaotik xatti-harakatlar attraktorda sodir boʻlganda paydo boʻladi, shuning uchun boshlangʻich shartlarning katta toʻplami ushbu xaotik sohaga yaqinlashuvchi orbitalarga olib keladi.

Xaotik attraktorni tasavvur qilishning eng oson usuli bu attraktorning tortish havzasidagi nuqtadan boshlash va keyin uning keyingi orbitasini chizishdir. Topologik oʻtkazuvchanlik sharti tufayli bu yakuniy attraktorning toʻliq rasmini hosil qilishi mumkin va haqiqatan ham oʻng tomondagi rasmda koʻrsatilgan ikkala orbita Lorenz attraktorining umumiy shaklini tasvirlaydi. Ushbu attraktor Lorenz ob-havo tizimining oddiy uch oʻlchovli modelidan kelib chiqadi. Lorenz attraktori, ehtimol, eng mashhur xaotik tizim diagrammalaridan biridir, chunki u nafaqat birinchilardan biri, balki eng murakkablaridan biri hamdir va shuning uchun biroz tasavvur bilan kapalak qanotlariga oʻxshagan juda qiziqarli naqshni keltirib chiqaradi.

Qoʻzgʻalmas nuqtaviy attraktorlar va limit sikllardan farqli oʻlaroq, noodatiy attraktorlar deb nomlanuvchi xaotik tizimlardan kelib chiqadigan attraktorlar katta tafsilotlarga va murakkablikka ega. Noodatiy attraktorlar ham uzluksiz dinamik tizimlarda (masalan, Lorenz tizimi), ham baʼzi diskret tizimlarda (masalan, Henon xaritasi) uchraydi. Boshqa diskret dinamik sistemalar qatʼiy nuqtalarning tortishish havzalari oʻrtasidagi chegarada hosil boʻladigan Julia toʻplami deb ataladigan itaruvchi tuzilishga ega. Juliya toʻplamlarini gʻalati repellerlar deb oʻylash mumkin. Gʻalati attraktorlar ham, Julia toʻplamlari ham odatda fraktal tuzilishga ega va ular uchun fraktal oʻlchamni hisoblash mumkin.

Xaotik sistemaning minimal murakkabligi

Logistik xaritaning bifurkatsion sxemasi x → r x (1 – x). Har bir vertikal boʻlak r ning maʼlum bir qiymati uchun attraktorni koʻrsatadi. Diagrammada r ortishi bilan davrning ikki baravar koʻpayishi va oxir-oqibat xaos hosil boʻlishi koʻrsatilgan.

Diskret xaotik tizimlar. Masalan: logistika xaritasi, oʻzlarining oʻlchamidan qatʼiy nazar, noodatiy attraktorlarni namoyon qilishi mumkin. Aksincha, uzluksiz dinamik tizimlar uchun Poincaré–Bendixson teoremasi shuni koʻrsatadiki, noodatiy attraktor faqat uch yoki undan ortiq oʻlchamda paydo boʻlishi mumkin. Cheklangan oʻlchamli chiziqli tizimlar hech qachon xaotik boʻlmaydi; bir dinamik tizim xaotik xatti-harakatni koʻrsatishi uchun u noxatolik yoki cheksiz oʻlchamli boʻlishi kerak.

Poincaré–Bendixson teoremasi shuni taʼkidlaydiki, ikki oʻlchovli differensial tenglama juda muntazam xatti-harakatga ega. Quyida muhokama qilinadigan Lorenz attraktori uchta differensial tenglamadan iborat tizim tomonidan hosil boʻladi, masalan:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}$

bu yerda x, y va z sistema holatini tashkil qiladi, t – vaqt, σ, ρ va β tizim parametrlari hisoblanadi. Oʻng tomondagi hadlarning beshtasi chiziqli, ikkitasi kvadratik; jami yettita had. Yana bir mashhur xaotik attraktor Rössler tenglamalari orqali hosil qilinadi, ular yettitadan faqat bitta chiziqli boʻlmagan hadga ega. Sprott faqat beshta hadga ega boʻlgan uch oʻlchovli tizimni topdi, unda faqat bitta chiziqsiz had mavjud boʻlib, baʼzi parametr qiymatlari uchun tartibsizlikni namoyish etadi. Zhang va Heidel koʻrsatdiki, hech boʻlmaganda dissipativ va konservativ kvadratik tizimlar uchun oʻng tomonda atigi uchta yoki toʻrtta hadga ega boʻlgan uch oʻlchovli kvadratik tizimlar tartibsiz xatti-harakatni namoyon qila olmaydi. Sababi, sodda qilib aytganda, bunday sistemalarning yechimlari ikki oʻlchovli sirtga asimptotik va shuning uchun yechimlar yaxshi tuzilgan.

Poincaré–Bendixson teoremasi, Evklid tekisligidagi uzluksiz dinamik tizim xaotik boʻla olmasligini koʻrsatsa-da, Evklid boʻlmagan geometriyaga ega boʻlgan ikki oʻlchovli uzluksiz tizimlar baʼzi xaotik xususiyatlarni koʻrsatishi mumkin. Kutilmaganda, xaos chiziqli tizimlarda ham yuzaga kelishi mumkin, agar ular cheksiz oʻlchamli boʻlsa. Chiziqli xaos nazariyasi funktsional tahlil deb nomlanuvchi matematik tahlil boʻlimida ishlab chiqilmoqda.

Yuqoridagi uchta oddiy differensial tenglamalarning toʻplami uch oʻlchovli Lorenz modeli deb ataladi. 1963-yildan boshlab yuqori oʻlchovli Lorenz modellari koʻplab tadqiqotlarda ishlab chiqilgan boʻlib, ular yechimning barqarorligiga taʼsir qiluvchi noaniqlik darajasining oshishi, shuningdek, isitish va energiya yoʻqotishlari bilan bogʻliq umumiy taʼsirni oʻrganishda qoʻllanilgan.

Cheksiz oʻlchamli xaritalar

Bogʻlangan diskret xaritalarning toʻgʻridan-toʻgʻri umumlashtirilishi fazoviy taqsimlangan xaritalar oʻrtasidagi oʻzaro taʼsirga vositachilik qiluvchi konvolyutsiya integraliga asoslanadi:

$\psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}$

Bu yerda yadro $K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)$ fizik tizimning Green funksiyasidan hosil boʻlgan tarqatuvchi hisoblanadi. $f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]$ logistik xarita singari $\psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]$ yoki murakkab xaritalar boʻlishi mumkin. Murakkab xaritalarga misol sifatida Julia toʻplami $f[\psi ]=\psi ^{2}$ yoki Ikeda xaritasi $\psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}$ keltirilishi mumkin. Toʻlqin tarqalishi masalalarida $L=ct$ masofa va $\lambda =2\pi /k$ toʻlqin uzunligi hisobga olinganda, yadroviy yadro $K$ Schrödinger tenglamasi uchun Green funksiyasi koʻrinishida boʻlishi mumkin:

$K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]$

Tasodifiy tartib

Toʻgʻri sharoitlar mavjud boʻlsa, xaos oʻz-oʻzidan tartibli naqshga aylanadi. Kuramoto modelida, xaotik tizimda sinxronlashishni hosil qilish uchun toʻrtta shart yetarli. Misollar qatoriga Christiaan Huygensning pendulumlarining birikkan tebranishlari, yoritgichlar, neyronlar, London Millennium koʻprigi rezonansi va Josephson bogʻlanishlarining katta massivlari kiradi.

Bundan tashqari, nazariy fizika nuqtai nazaridan dinamik xaosning oʻzi, eng umumiy koʻrinishida, oʻz-oʻzidan paydo boʻladigan tartibdir. Bu yerda mohiyati shundaki, tabiatdagi koʻpchilik tartiblar turli simmetriyalarning oʻz-oʻzidan parchalanishi natijasida paydo boʻladi. Ushbu katta hodisalar oilasiga elastiklik, oʻta oʻtkazuvchanlik, ferromagnetizm va boshqalar kiradi. Stokastik dinamikalarning supersimmetrik nazariyasiga koʻra, xaos yoki aniqrogʻi, uning stokastik umumlashmasi ham ushbu oilaning bir qismidir. Buzilgan simmetriya topologik supersimmetriya boʻlib, barcha stokastik differensial tenglamalarda yashirin va tegishli tartib parametri kapalak effektining maydon-nazariy ifodasidir.

Tarixi

Barnsley fern xaos oʻyini yordamida yaratilgan. Tabiiy shakllar (paporotniklar, bulutlar, togʻlar va boshqalar) takrorlanuvchi funksiyalar tizimi (IFS) orqali qayta yaratilishi mumkin.

James Clerk Maxwell birinchi boʻlib „kapalak effektini“ taʼkidlagan va 1860—1870-yillarda xaos nazariyasini muhokama qilgan dastlabki olimlardan biri sifatida qaraladi. Xaos nazariyasining ilk tarafdori Henri Poincaré boʻldi. 1880-yillarda uch jism masalasini oʻrganayotganda, baʼzi orbitallar mavjud boʻlishi mumkinligini aniqladi, ular doimiy ravishda oshib ketmaydi yoki maʼlum bir nuqtaga yaqinlashmaydi. 1898-yilda Jacques Hadamard doimiy manfiy egri chiziqqa ega yuzada ishqalanmasdan harakatlanayotgan erkin zarrachaning xaotik harakati haqida muhim bir tadqiqot eʼlon qildi, bu tadqiqot „Hadamard dinamik sistemasi“ deb ataladi. Hadamard barcha yoʻnalishlar beqaror ekanligini koʻrsatdi, yaʼni barcha zarralar yoʻnalishlari bir-biridan eksponensial tarzda ajralib ketadi va bu jarayonda Lyapunov eksponenti musbat boʻladi.

Xaos nazariyasi ergodik nazariya sohasidan boshlangan. Keyinchalik chiziqli boʻlmagan differensial tenglamalari mavzusida tadqiqotlar olib borilgan, bu ishlarni George David Birkhoff, Andrey Kolmogorov, Mari Cartwright, Jon Edensor Littlwood va Stephen Smale oʻtkazgan.

Samolyot qanotidan hosil boʻlgan uyurma uchidagi turbulentlik. Tizimda turbulentlik paydo boʻladigan kritik nuqtani oʻrganish xaos nazariyasi uchun muhim ahamiyatga ega.

Edvard Lorenz bu nazariyaning dastlabki tadqiqotchilaridan biri boʻlgan. Uning xaosga boʻlgan qiziqishi 1961-yilda ob-havo prognozi ustida ishlash jarayonida tasodifan yuzaga kelgan. Lorenz va uning hamkasblari Ellen Fetter va Margaret Hamilton ob-havo simulyatsiyalarini oʻtkazish uchun oddiy raqamli kompyuter Royal McBee LGP-30 dan foydalanganlar. Ular maʼlumotlar ketma-ketligini yana koʻrishni xohlashdi va vaqtni tejash maqsadida simulyatsiyani oʻzining oʻrtasidan boshladilar. Ular buni dastlabki simulyatsiyaning oʻrtasidagi shartlarga mos keladigan maʼlumotlarning nusxasini kiritish orqali amalga oshirdilar. Hayratlanarli tomoni shundaki, mashina bashorat qilgan ob-havo avvalgi hisoblashlardan butunlay boshqacha boʻldi. Ular buni kompyuterning chop etgan maʼlumotlariga qarab aniqlashdi. Kompyuter 6 raqamli aniqlikda ishlagan, ammo chop etilgan maʼlumotlar 3 raqamga yaxlitlangan, shuning uchun masalan, 0.506127 raqami 0.506 deb chop etilgan. Bu farq juda kichik edi va oʻsha paytda bunday kichik oʻzgarishning amaliy taʼsiri boʻlmasligi kerak deb hisoblanardi. Biroq, Lorenz kichik boshlangʻich sharoitlar oʻzgarishi uzoq muddatli natijalarda katta farqlarni keltirib chiqarishini aniqladi. Lorenzning Lorenz attraktorlari kashfiyoti shuni koʻrsatdiki hatto batafsil atmosferaviy modellashtirish ham umuman uzoq muddatli ob-havo bashoratlarini aniq qilish mumkin emasligini koʻrsatdi.

1987-yilda Per Bak, Chao Tang va Kurt Wiesenfeld Physical Review Letters jurnalida tabiatda murakkablikning yuzaga kelish mexanizmlaridan biri sifatida oʻz-oʻzini tashkil etgan kritiklik (SOC)ni birinchi marta taʼriflovchi maqola nashr etishgan.

Arzonroq va kuchliroq kompyuterlarning ishlab chiqarishda xaos nazariyasining qoʻllanilish imkoniyatlari kengaytirdi. Hozirgi vaqtda xaos nazariyasi matematika, topologiya, fizika, ijtimoiy tizimlar, populyatsiya modellashtirish, biologiya, meteorologiya, axborot nazariyasi, hisoblash neyrobiologiyasi, pandemiya inqirozini boshqarish kabi turli sohalarni qamrab olgan faol tadqiqot yoʻnalishi boʻlib qolmoqda.

Lorenzning xaotik modellashtirishga qoʻshgan ilk hissasi

Professor Edvard Lorenz oʻz faoliyati davomida jami 61 ta ilmiy maqola muallifi boʻlib, ulardan 58 tasi yakka mualiflikdagi maqolalar hisoblanadi. 1960-yil Yaponiyada boʻlib oʻtgan konferensiyadan boshlab, Lorenz SDIC va xaotik xususiyatlarni ochib berish maqsadida turli modellarning rivojlanishiga kirishdi. 1960-yildan 2008-yilgacha boʻlgan Lorenz modelining rivojlanishini yaqinda koʻrib chiqish uning xaotik hodisalarni tasvirlash uchun turli xil jismoniy tizimlardan foydalanish qobiliyatini ochib berdi. Bu tizimlar quyidagilarni oʻz ichiga oladi: kvazi-geostrofik tizimlar, Rayleigh-Bénard konveksiya tenglamalari va sayoz suv tenglamalari. Bundan tashqari, Lorenz logistik xarita orqali xaotik yechimlarni oʻrganishda birinchi boʻlib amaliyotga qoʻllagan, bu uning hamkasblaridan oldin erishgan muhim yutugʻi boʻlgan (masalan, Lorenz 1964).

1972-yilda Lorenz „kapalak effekti“ atamasini kichik bir oʻzgarishning uch oʻlchovli, tashkil etilgan va mantiqiy tuzilishga ega boʻlgan tornado hosil qilishi mumkinligini muhokama qilish uchun metafora sifatida kiritdi. Asl kapalak effekti bilan bogʻliq boʻlsa-da, uning metaforik varianti oʻziga xos farqlarga ega. Ushbu muhim voqeani yodga olish uchun, ikkala kapalak effekti haqidagi tushunchamizni chuqurlashtiradigan taklif qilingan maqolalar joylashtirilgan qayta nashr qilingan kitob rasmiy ravishda chop etildi, bu esa metaforik kapalak effektining 50 yilligini nishonlash uchun amalga oshirildi.

Xaosning ommabop, ammo noaniq analogiyasi

Dastlabki sharoitga sezgir bogʻliqlik (yaʼni kapalak effekti) quyidagi folklorizmlar orqali tasvirlangan:

Yuqoridagilarga asoslanib, koʻplab odamlar kichik boshlangʻich noaniqlikning taʼsiri vaqt oʻtishi bilan monoton ravishda ortib borishini va har qanday kichik noaniqlik oxir-oqibat raqamli integratsiyalarni katta taʼsir qilishiga olib kelishini notoʻgʻri tushunishadi. 2008-yilda Lorenz bu misra haqiqiy xaosni tasvirlamasligini, balki beqarorlikning oddiyroq hodisasini yaxshiroq tasvirlaydi deb aytgan. Misra, shuningdek, keyingi kichik voqealar natijani teskari oʻzgartirmasligini nazarda tutadi. Tahlilga asoslanib, bu misra faqat ajralishni bildiradi, cheklanganlikni emas. Cheklanganlik kapalak naqshining cheklangan oʻlchami uchun muhimdir. Yaqinda oʻtkazilgan bir tadqiqotda, yuqoridagi misraning xususiyati „cheklangan vaqtli sezgirlik“ deb atalgan.

Qoʻllanishi

Tashqi koʻrinishi rule 30 ga oʻxshash konussimon qobigʻi.

Garchi xaos nazariyasi ob-havo qonuniyatlarini kuzatishidan paydo boʻlgan boʻlsa-da, boshqa turli vaziyatlarda qoʻllanilishi mumkin. Bugungi kunda xaos nazariyasidan foydalanayotgan baʼzi sohalar geologiya, matematika, biologiya, kompyuter fanlari, iqtisod, muhandislik, moliya, meteorologiya, falsafa, antropologiya, fizika, siyosat, aholi dinamikasi, va robototexnika kiradi. Quyida bir nechta toifalar misollar bilan keltirilgan, ammo bu toʻliq roʻyxat emas, chunki yangi qoʻllanadigan sohalar ham paydo boʻlmoqda.

Kriptografiya

Asosiy maqola: Xaotik kriptologiya

Xaos nazariyasi kriptografiyada koʻp yillardan beri qoʻllanib kelinmoqda. Soʻnggi oʻn yilliklarda xaos va nolinellar dinamikasi yuzlab kriptografik primitivalarni loyihalashda ishlatilgan. Bu algoritmlar tasvirni shifrlash algoritmlari, xesh-funksiyalar, xavfsiz pseudo-tasodifiy sonlar generatorlari, oqim shifrlar, raqamli suv belgilari qoʻyish va steganografiya kabi texnikalarni oʻz ichiga oladi.

Robototexnika

Robototexnika sohasi soʻnggi paytlarda xaos nazariyasidan foydalangan yana bir soha hisoblanadi. Xaos nazariyasi robotlar atrof-muhit bilan oʻzaro taʼsir qilish uchun sinovdan oʻtkazish va xatolarni yaxshilash oʻrniga, bashoratli modelni yaratish uchun xaos nazariyasidan foydalangan. Xaotik dinamika passiv yuradigan ikki oyoqli robotlar tomonidan namoyish etilgan.

Biologiya

Yuz yildan ortiq vaqt davomida biologlar turli xil turlar populyatsiyalarini oʻrganib, populyatsiya modellari orqali kuzatib kelishgan. Koʻplab modellari uzluksiz, lekin soʻnggi paytlarda olimlar baʼzi populyatsiyalarni xaotik modellarda amalga oshirishga muvaffaq boʻlishdi. Misol uchun, Kanada lynxlarining populyatsiya oʻsishini oʻrganish boʻyicha olib borilgan tadqiqotlar populyatsiya oʻsishida xaotik xatti-harakatlarni koʻrsatdi. Xaos ekologik tizimlarda ham uchraydi, masalan, gidrologiya sohasida. Gidrologiya uchun xaotik modelning baʼzi kamchiliklari boʻlsa-da, maʼlumotlarga xaos nazariyasi nuqtai nazaridan qarash orqali koʻplab yangi maʼlumotlarni olish mumkin. Yana bir biologik qoʻllanma kardiotokografiyada uchraydi. Homila holatini kuzatishda aniq maʼlumot olish va iloji boricha noinvaziv usullardan foydalanish oʻrtasidagi nozik muvozanatdir. Xaotik modellashtirish orqali homila gipoksiyasining ogohlantiruvchi belgilarini aniqlashning yanada samarali modellari yaratilishi mumkin.

Perryning taʼkidlashicha, ekologiyada xaotik vaqt ketma-ketliklarini modellashtirish cheklovlar bilan yordam beradi. Har doim haqiqiy xaosni faqat modeldagi xaosdan ajratish qiyinligi mavjud. Shunday qilib, modelga qoʻshimcha cheklovlar kiritish yoki taqqoslash uchun oʻxshash vaqt qatorlari maʼlumotlaridan foydalanish modelni haqiqiylikka yaqinroq qilishda yordam beradi. Masalan, Perry va Wall 1984-yil tadqiqoti.

Iqtisodiyot

Iqtisodiy modellarga ham xaos nazariyasini qoʻllash orqali yaxshilanishi mumkin, lekin iqtisodiy tizimning holatini va unga eng koʻp taʼsir qiladigan omillarni bashorat qilish juda murakkab vazifa hisoblanadi. Iqtisodiy va moliyaviy tizimlar tabiiy fanlardagi tizimlardan nisbatan farq qiladi, chunki ular tabiatan stoxastik boʻlib, odamlar oʻrtasidagi oʻzaro taʼsirlar natijasida yuzaga keladi. Shuning uchun sof deterministik modellar maʼlumotlarning aniq tasvirini taqdim etishi ehtimoli kam.

Xaos iqtisodiyotda takroriylikni miqdoriy tahlil qilish orqali aniqlanishi mumkin. Masalan, Orlando „takroriylikni miqdoriy oʻlchash indeksi“dan foydalangan holda vaqt qatorlaridagi yashirin oʻzgarishlarni aniqlashga muvaffaq boʻlishgan. Keyinchalik ushbu usul laminar (muntazam) fazalardan turbulent (xaotik) fazalarga oʻtish jarayonlarini, makroiqtisodiy oʻzgaruvchilar orasidagi farqlarni aniqlash va iqtisodiy dinamikadagi yashirin xususiyatlarni yoritishda qoʻllanilgan. Nihoyat, xaos nazariyasi iqtisodiyot qanday ishlashini modellashtirishda va COVID-19 kabi tashqi hodisalarning taʼsirini modellashtirishda yordam berishi mumkin.

AIni kengaytirilgan modellash tizimi

Sunʼiy intellektga asoslangan katta til modellarida javoblar formatdagi oʻzgarishlar va soʻrovlardagi farqlari kabi omillarga sezgir boʻlishi mumkin. Ushbu sezgirliklar kapalak effektlariga oʻxshaydi. AI bilan ishlaydigan katta til modellarini klassik deterministik xaotik tizimlar sifatida tasniflash mavjud boʻlsa-da, xaosdan ilhomlangan yondashuvlar va usullar (masalan, ansambl modellashtirish) ushbu keng koʻlamli til modellaridan ishonchli maʼlumotlarni olish uchun ishlatilishi mumkin (yana qarang: Ommaviy madaniyatda kapalak effekti).

Boshqa sohalar

The red cars and blue cars take turns to move; the red ones only move upwards, and the blue ones move rightwards. Every time, all the cars of the same colour try to move one step if there is no car in front of it. Here, the model has self-organized in a somewhat geometric pattern where there are some traffic jams and some areas where cars can move at top speed.

Kimyoda gazlarning eruvchanligini bashorat qilish polimerlar ishlab chiqarishda muhim ahamiyatga ega, ammo zarrachalar uyumini optimallashtirish (PSO) usulidan foydalangan holdagi modellarda natijalar notoʻgʻri nuqtalarga kelib qolishga moyil boʻladi. Simulyatsiyalarning bunday holatlarda toʻxtab qolishini oldini olish uchun PSO ning takomillashtirilgan versiyasi yaratilgan boʻlib, unga xaos nazariyasi joriy etilgan. Osmon mexanikasida, ayniqsa asteroidlarga oid kuzatuvlar qilishda, xaos nazariyasini qoʻllash, bu obyektlar Yer va boshqa sayyoralar bilan yaqinlashishi vaqtini yanada aniqroq bashorat qilishga yordam beradi. Plutonning beshta yoʻldoshidan toʻrttasi tartibsiz aylanadi. Kvant fizikasi va elektrotexnikada Jozefson tutashmalarining katta massivlarini oʻrganishda xaos nazariyasidan foydalangan. Uyga yaqinroq boʻlgan koʻmir konlari har doim tabiiy gazning tez-tez sizib chiqishi koʻplab odamlarning oʻlimiga olib keladigan xavfli joylar boʻlgan. Yaqin-yaqingacha ularning qachon sodir boʻlishini bashorat qilishning ishonchli usuli yoʻq edi. Ammo bu gaz sizib chiqishi xaotik tendensiyaga ega boʻlib, agar toʻgʻri modellashtirilsa, uni yetarlicha aniq bashorat qilish mumkin.

Redington va Reidbord (1992) odamning yuragi xaotik xususiyatlarga ega boʻlishi mumkinligini koʻrsatishga harakat qilishgan. Ular bir nafar psixoterapiya bemorining yurak urishlari orasidagi vaqt intervallarini kuzatgan, bemor psixoterapiya jarayonida turli hissiy intensivlik davrlaridan oʻtgan paytda. Natijalar aniq boʻlmagan. Olimlar tomonidan xaotik dinamikani koʻrsatishga harakat qilgan grafiklar (spektral tahlil, faza trajektoriyasi va avtokorrelyatsiya grafiklari) oʻrtasida noaniqliklar bor edi, shuningdek, Lyapunov eksponentini hisoblashga urinishlari ham muvaffaqiyatsiz boʻldi. Olimlar bu ishni ishonchli bajarishmaganini aniqladilar.

Yana qarang

Xaotik sistemalarga misollar

• Kontur adveksiyasi
• Arnoldning mushuk xaritasi
• Bifurkatsiya nazariyasi
• Muvozanatlashgan to‘p
• Chua zanjiri
• Kliodinamika
• Birlashtirilgan xarita panjarasi
• Juft mayatnik
• Duffing tenglamasi
• Dinamik bilyardlar
• Iqtisodiy pufak
• Gaspard-Rice tizimi
• Hénon xaritasi
• Xaotik xaritalar ro‘yxati
• Rössler attraktor
• Standard xarita
• Tilt A Whirl

Aloqador mavzular

• Amplituda o‘limi
• Anosov diffeomorfizmi
• Halokat nazariyasi
• Sabablilik
• Stoxastik dinamikaning supersimmetrik nazariyasi
• Xaos mashinasi
• Xaotik aralashtirish
• Determinizm

Odamlar

• Ralph Abraham
• Michael Berry
• Leon O. Chua
• Ivar Ekeland
• Doyne Farmer
• Martin Gutzwiller
• Brosl Hasslacher
• Michel Hénon
• Aleksandr Lyapunov
• Norman Packard
• Otto Rössler
• David Ruelle
• Oleksandr Mikolaiovich Sharkovsky
• Robert Shaw
• Floris Takens
• James A. Yorke
• George M. Zaslavsky

Adabiyotlar

Maqolalar

• Sharkovskii, A.N. (1964). "Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself". Ukrainian Math. J. 16: 61–71. 
• Li, T.Y.; Yorke, J.A. (1975). "Period Three Implies Chaos". American Mathematical Monthly 82 (10): 985–92. doi:10.2307/2318254. http://pb.math.univ.gda.pl/chaos/pdf/li-yorke.pdf. Qaraldi: 2009-08-12. Xaos nazariyasi]]
• Alemansour, Hamed; Miandoab, Ehsan Maani; Pishkenari, Hossein Nejat (March 2017). "Effect of size on the chaotic behavior of nano resonators". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 44: 495–505. doi:10.1016/j.cnsns.2016.09.010. 
• Crutchfield; Tucker; Morrison; J.D. Farmer; Packard; N.H.; Shaw; R.S (December 1986). "Chaos". Scientific American 255 (6): 38–49 (bibliography p.136). doi:10.1038/scientificamerican1286-46.  Online version (Note: the volume and page citation cited for the online text differ from that cited here. The citation here is from a photocopy, which is consistent with other citations found online that donʼt provide article views. The online content is identical to the hardcopy text. Citation variations are related to country of publication).
• Kolyada, S.F. (2004). "Li-Yorke sensitivity and other concepts of chaos". Ukrainian Math. J. 56 (8): 1242–57. doi:10.1007/s11253-005-0055-4. 
• Day, R.H.; Pavlov, O.V. (2004). "Computing Economic Chaos". Computational Economics 23 (4): 289–301. doi:10.1023/B:CSEM.0000026787.81469.1f. 
• Strelioff, C.; Hübler, A. (2006). "Medium-Term Prediction of Chaos". Phys. Rev. Lett. 96 (4): 044101. doi:10.1103/PhysRevLett.96.044101. 044101. PMID 16486826. http://www.ccsr.illinois.edu/web/Techreports/2005-08/CCSR-05-4.pdf. 
• Hübler, A.; Foster, G.; Phelps, K. (2007). "Managing Chaos: Thinking out of the Box". Complexity 12 (3): 10–13. doi:10.1002/cplx.20159. http://server17.how-why.com/blog/ManagingChaos.pdf. Qaraldi: 2011-07-17. Xaos nazariyasi]]
• Motter, Adilson E.; Campbell, David K. (2013). "Chaos at 50". Physics Today 66 (5): 27. doi:10.1063/PT.3.1977. 

Darsliklar

• Alligood, K.T.; Sauer, T.; Yorke, J.A.. Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer-Verlag, 1997. ISBN 978-0-387-94677-1. 
• Baker, G. L.. Chaos, Scattering and Statistical Mechanics. Cambridge University Press, 1996. ISBN 978-0-521-39511-3. 
• ; Politi A.Complexity: hierarchical structures and scaling in physics. Cambridge University Press, 1997. ISBN 978-0-521-66385-4. 
• ; Eckmann, Jean-PierreIterated Maps on the Interval as Dynamical Systems. Birkhauser, 1980. ISBN 978-0-8176-4926-5. 
• Devaney, Robert L.. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2nd, Westview Press, 2003. ISBN 978-0-8133-4085-2. 
• Robinson, Clark. Dynamical systems: Stability, symbolic dynamics, and chaos. CRC Press, 1995. ISBN 0-8493-8493-1. 
• Chaos and Fractals: An Elementary Introduction. Oxford University Press, 2012. ISBN 978-0-19-956644-0. Qaraldi: 2016-yil 29-dekabr. 
• ; Baker, G. L.Chaotic dynamics. Cambridge University Press, 1996. ISBN 978-0-521-47685-0. 
• Guckenheimer, John; Holmes, Philip. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, 1983. ISBN 978-0-387-90819-9. 
• Gulick, Denny. Encounters with Chaos. McGraw-Hill, 1992. ISBN 978-0-07-025203-5. 
• Gutzwiller, Martin. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Springer-Verlag, 1990. ISBN 978-0-387-97173-5. 
• Hoover, William Graham. Time Reversibility, Computer Simulation, and Chaos. World Scientific, 2001. ISBN 978-981-02-4073-8. 
• Kautz, Richard. Chaos: The Science of Predictable Random Motion. Oxford University Press, 2011. ISBN 978-0-19-959458-0. 
• ; Elliott, Euel W.Chaos Theory in the Social Sciences. Perseus Publishing, 1997. ISBN 978-0-472-08472-2. 
• Moon, Francis. Chaotic and Fractal Dynamics. Springer-Verlag, 1990. ISBN 978-0-471-54571-2. 
• Orlando, Giuseppe; Pisarchick, Alexander; Stoop, Ruedi. Nonlinearities in Economics, Dynamic Modeling and Econometrics in Economics and Finance (en-gb), 2021. DOI:10.1007/978-3-030-70982-2. ISBN 978-3-030-70981-5. 
• Ott, Edward. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 2002. ISBN 978-0-521-01084-9. 
• Strogatz, Steven. Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Publishing, 2000. ISBN 978-0-7382-0453-6. 
• Sprott, Julien Clinton. Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press, 2003. ISBN 978-0-19-850840-3. 
• ; Gruiz, MártonChaotic dynamics: An introduction based on classical mechanics. Cambridge University Press, 2006. ISBN 978-0-521-83912-9. 
• Teschl. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0. 
• Nonlinear Dynamics And Chaos. John Wiley and Sons Ltd, 2001. ISBN 978-0-471-87645-8. 
• Tufillaro; Reilly. An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos, American Journal of Physics. Addison-Wesley, 1992 — 958-bet. DOI:10.1119/1.17380. ISBN 978-0-201-55441-0. 
• Wiggins, Stephen. Introduction to Applied Dynamical Systems and Chaos. Springer, 2003. ISBN 978-0-387-00177-7. 
• Zaslavsky, George M.. Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics. Oxford University Press, 2005. ISBN 978-0-19-852604-9. 

Yarim texnik va ommabop asarlar

• Christophe Letellier, Chaos in Nature, World Scientific Publishing Company, 2012, ISBN 978-981-4374-42-2.
• The Chaos Avant-Garde: Memoirs of the Early Days of Chaos Theory, World Scientific Series on Nonlinear Science Series A. World Scientific, 2000. DOI:10.1142/4510. ISBN 978-981-238-647-2. 
• Barnsley, Michael F.. Fractals Everywhere. Morgan Kaufmann, 2000. ISBN 978-0-12-079069-2. 
• Bird, Richard J.. Chaos and Life: Complexity and Order in Evolution and Thought. Columbia University Press, 2003. ISBN 978-0-231-12662-5. 
• John Briggs and David Peat, Turbulent Mirror: : An Illustrated Guide to Chaos Theory and the Science of Wholeness, Harper Perennial 1990, 224 pp.
• John Briggs and David Peat, Seven Life Lessons of Chaos: Spiritual Wisdom from the Science of Change, Harper Perennial 2000, 224 pp.
• Cunningham, Lawrence A. (1994). "From Random Walks to Chaotic Crashes: The Linear Genealogy of the Efficient Capital Market Hypothesis". George Washington Law Review 62: 546. 
• Predrag Cvitanović, Universality in Chaos, Adam Hilger 1989, 648 pp.
• Leon Glass and Michael C. Mackey, From Clocks to Chaos: The Rhythms of Life, Princeton University Press 1988, 272 pp.
• James Gleick, Chaos: Making a New Science, New York: Penguin, 1988. 368 pp.
• John Gribbin. Deep Simplicity, Penguin Press Science. Penguin Books. 
• L Douglas Kiel, Euel W Elliott (ed.), Chaos Theory in the Social Sciences: Foundations and Applications, University of Michigan Press, 1997, 360 pp.
• Arvind Kumar, Chaos, Fractals and Self-Organisation; New Perspectives on Complexity in Nature , National Book Trust, 2003.
• Hans Lauwerier, Fractals, Princeton University Press, 1991.
• Edward Lorenz, The Essence of Chaos, University of Washington Press, 1996.
• Marshall, Alan. The Unity of Nature - Wholeness and Disintegration in Ecology and Science, 2002. DOI:10.1142/9781860949548. ISBN 9781860949548. 
• David Peak and Michael Frame, Chaos Under Control: The Art and Science of Complexity, Freeman, 1994.
• Heinz-Otto Peitgen and Dietmar Saupe (Eds.), The Science of Fractal Images, Springer 1988, 312 pp.
• Nuria Perpinya, Caos, virus, calma. La Teoría del Caos aplicada al desórden artístico, social y político, Páginas de Espuma, 2021.
• Clifford A. Pickover, Computers, Pattern, Chaos, and Beauty: Graphics from an Unseen World , St Martins Pr 1991.
• Clifford A. Pickover, Chaos in Wonderland: Visual Adventures in a Fractal World, St Martins Pr 1994.
• Ilya Prigogine and Isabelle Stengers, Order Out of Chaos, Bantam 1984.
• Peitgen, Heinz-Otto; Richter, Peter H.. The Beauty of Fractals, 1986. DOI:10.1007/978-3-642-61717-1. ISBN 978-3-642-61719-5. 
• David Ruelle, Chance and Chaos, Princeton University Press 1993.
• Ivars Peterson, Newtonʼs Clock: Chaos in the Solar System, Freeman, 1993.
• ; John NorburyInvisible in the Storm: the role of mathematics in understanding weather. Princeton University Press, 2013. ISBN 978-0691152721. 
• Ruelle, D.. Chaotic Evolution and Strange Attractors, 1989. DOI:10.1017/CBO9780511608773. ISBN 9780521362726. 
• Manfred Schroeder, Fractals, Chaos, and Power Laws, Freeman, 1991.
• Smith, Peter. Explaining Chaos, 1998. DOI:10.1017/CBO9780511554544. ISBN 9780511554544. 
• Ian Stewart, Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos , Blackwell Publishers, 1990.
• Steven Strogatz, Sync: The emerging science of spontaneous order, Hyperion, 2003.
• Yoshisuke Ueda, The Road To Chaos, Aerial Pr, 1993.
• M. Mitchell Waldrop, Complexity : The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos, Simon & Schuster, 1992.
• Antonio Sawaya, Financial Time Series Analysis : Chaos and Neurodynamics Approach, Lambert, 2012.

Havolalar

• Nonlinear Dynamics Research Group with Animations in Flash
• The Chaos group at the University of Maryland
• The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals
• ChaosBook.org An advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
• Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences
• Nonlinear Dynamics Research Group at CSDC, Florence, Italy
• Nonlinear dynamics: how science comprehends chaos, talk presented by Sunny Auyang, 1998.
• Nonlinear Dynamics. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
• Gleick’s Chaos (excerpt) (Wayback Machine saytida 2007-02-02 sanasida arxivlangan)
• Systems Analysis, Modelling and Prediction Group at the University of Oxford
• A page about the Mackey-Glass equation
• High Anxieties – The Mathematics of Chaos (2008) BBC documentary directed by David Malone
• The chaos theory of evolution – article published in Newscientist featuring similarities of evolution and non-linear systems including fractal nature of life and chaos.
• Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez, Chaos, A Mathematical Adventure. Nine films about dynamical systems, the butterfly effect and chaos theory, intended for a wide audience.
• „Chaos Theory“, BBC Radio 4 discussion with Susan Greenfield, David Papineau & Neil Johnson (In Our Time, May 16, 2002)
• Chaos: The Science of the Butterfly Effect (2019) an explanation presented by Derek Muller

Mualliflik huquqi eslatmasi

• Ushbu maqola bepul kontent asaridan olingan matnni oʻz ichiga oladi. CC-BY litsenziyasi asosida ruxsat berilgan (litsenziya). Matn Lorenz modellari doirasidagi uch xil kapalak effekti nomli maqoladan olingan boʻlib, mualliflar: Bo-Wen Shen, Roger A. Pielke, Sr., Xubin Zeng, Jialin Cui, Sara Faghih-Naini, Wei Paxson, va Robert Atlas, MDPI. Encyclopedia.