Darajaga koʻtarish

bn
izoh
b – asos, n – daraja

Arifmetik operatsiyalar Qoʻshish (+) 1-qoʻshiluvchi + 2-qoʻshiluvchi = yigʻindi Ayirish (−) Kamayuvchi − ayriluvchi = ayirma Koʻpaytirish (×) 1-koʻpayuvchi × 1-koʻpayuvchi = koʻpaytma Boʻlish (:) Boʻlinuvchi : boʻluvchi = boʻlinma ${\text{asos}}^{\text{daraja}}$ = darajaga koʻtarish Arifmetik ildiz (√) ${\sqrt[{\text{koʻrsatkich}}]{\text{son}}}$ = ildiz Logarifm (log) $\log _{\text{asos}}$(son) = logarifm

y = b^x grafigida b:   10 ning darajalari,   darajali funksiya,   2 ning darajalari,   1/2 daraja. Har bir chiziq (0, 1) nuqtadan oʻtadi.

Darajaga koʻtarish – sonni oʻziga bir necha marta koʻpaytirish natijasida aniqlanadigan arifmetik amal. Darajaga koʻtarilgan ifoda bⁿ shaklida yoziladi hamda „bning n-darajasi“ deb oʻqiladi. Bunda b asos, n esa daraja koʻrsatkichi hisoblanadi. Agar n daraja musbat son boʻlsa, darajaga koʻtarish uchun son oʻziga n marotaba koʻpaytiriladi. Bu bⁿ – b ning n marotaba koʻpaytirilganiga teng: $$b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ marta}}}.$$Bunda, $b^{1}=b$.

Daraja koʻrsatkichi asosning oʻng tomonida koʻrsatiladi. Shuningdek, bu fanda „n darajaga koʻtarilgan b soni“, „bning n darajasi“ sifatida ataladi.

Darajalarning koʻpaytirilishi quyidagi tartibda amalga oshiriladi: $${\begin{aligned}b^{n}\times b^{m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ marta}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ marta}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ marta}}}\ =\ b^{n+m}.\end{aligned}}$$ Bunda darajalar oʻzaro koʻpaytirilganda daraja koʻrsatkichlari qoʻshiladi. Qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichi 0 ga teng boʻlganda, yigʻindi 2-qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichiga teng boʻladi: $b^{0}\times b^{n}=b^{0+n}=b^{n}$.

Biroq, daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan hollarda darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi: $$b^{-n}=1/b^{n}.$$

Shuningdek, qoʻshiluvchi daraja koʻrsatkichlardan biri manfiy hamda biri musbat boʻlgan hollarda yigʻindi manfiy va musbat sonlarni qoʻshish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi: $b^{-n}\times b^{n}=b^{-n+n}=b^{0}=1$

Daraja koʻrsatkichi kasr boʻlgan sonlar darajaga quyidagi tartibda koʻtariladi: $$b^{n/m}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}.$$ Misol uchun, $b^{1/2}\times b^{1/2}=b^{1/2\,+\,1/2}=b^{1}=b$ ifodasida b ning qiymati $(b^{1/2})^{2}$ hisoblanadi.

Muavr formulasi orqali ham kompleks sonni darajaga koʻtarish mumkin.

Darajaga koʻtarish turli sohalarda keng qoʻllaniladi, jumladan, iqtisodiyot, biologiya, kimyo, fizika, informatika, kimyoviy reaksiyalarning kinetik tezliklarini hisoblash sohalari.

Etimologiyasi

„Darajaga koʻtarish“ atamasi lotin tilida exponent deb ataladi. Bu soʻz exponentem feʼlining hozirgi zamon shakli hisoblanib, oʻzbek tilida „oldinga qoʻymoq“ deya tarjima qilinadi. „Daraja“ atamasi esa, lotin tilida dignitas deya nomlanadi. Bu soʻz yunoncha dúnamis soʻzidan olingan boʻlib, „kuchaytirish“ degan maʼnoni anglatadi. Darajaga koʻtarish atamasi, ilk bor yunon matematigi Yevklid tomonidan chiziqli tenglamani ifodalashda qoʻllanilgan.

Tarixi

Antik davr

The Sand Reckoner

Qadimgi yunon olimi Arximed „The Sand Reckoner“ asarida 10 ning darajalariga oid 10^a · 10^b = 10^a+b qonuniyat isbotlagan. Arximed olamdagi barcha qum zarralarining umumiy hisobini topishda 10 sonini darajaga koʻtarish orqali topgan.

Islom oltin davri

Māl va kaʼbah („kvadrat“ va „kub“)

IX asrda Oʻrta Osiyo qomusiy olimi Al-Xorazmiy sonning 2-darajasi kvadrat uchun مَال (māl, „mol-mulk“) hamda sonning 3-darajasi boʻlgan kub uchun كَعْبَة (kaʿbah, „kub“) atamalarini fanga kiritgan. Musulmonlar uchun oʻsha davrda yer maydonlarini oʻlchashda kvadratning oʻrni muhim boʻlgan. XV asrlarda Abu’l-Hasan ibn Ali al-Qalasadi asarlarida kvadratni mīm (m) tarzida hamda kubni esa, kāf (k) tarzida ifodalashgan.

XV—XVIII asrlar

Darajalarning ifodalanishi

XV asrlarda oʻrta asrlar fransuz matematigi Nicolas Chuquet oʻz asarlarida darajalarga koʻtarishni koʻrsatkichlar bilan ifodalagan. Masalan, 12²ni 12x² sifatida belgilagan. Daraja koʻrsatkichlarini bu koʻrinishda ifodalash XVI asrlarda Henricus Grammateus va Michael Stifel tomonidan ham amalga oshirilgan. XVI asr oxirlarida shved matematigi Jost Bürgi sonlarni darajaga koʻtarishda 4x³ni 4 sonining ustida 3 ta iii harflarini qoʻyish orqali ifodalagan.

Darajalar

„Daraja“ atamasi ilk marotaba 1544-yilda Michael Stifel tomonidan qoʻllanilgan. XVI asrda matematik Robert Recorde asarlarida kvadrat, kub atamalaridan tashqari zenzizenzik (4-daraja), sursolid (5-daraja), zenzikub (6-daraja), ikkinchi sursolid (7-daraja) va zenzizenzizenzik (8-daraja) atamalaridan ham foydalangan.

Hozirgi darajalarning ifodalanishi

1636-yilda matematik James Hume „L’algèbre de Viète“ asarida A³ni Aⁱⁱⁱ sifatida ifodalagani hozirgi daraja koʻrsatkichining shakli uchun muhim rol oʻynagan. Dastlab, daraja koʻrsatkichi Rim raqamlarida ifodalangan, keyinchalik esa, XVII asrning boshlarida fransuz matematigi René Descartes tomonidan „La Geométrie“ kitobida daraja koʻrsatkichlari Rim raqamidan Arab raqamlariga oʻzgartirilgan. Olim bu haqida shunday degan:

Men a sonini oʻz-oʻziga koʻpaytirishda aa yoki a² sifatida belgiladim va son 3 marta koʻpaytirilsa daraja yoniga yana bir son qoʻshiladi va davom etadi…

XX asr

XX asrda hisoblash jarayoni mexanizatsiyalashtirilgani sababli, darajalarni yozish qulayroq shaklda yozishga eʼtibor qaratildi. 1938-yilda nemis muhandisi Konrad Zuse tomonidan oʻzining Z1 kompyuteri yordamida nuqta arifmetikasi ishlab chiqildi. Bunga koʻra, jadvalning 1-katakchasida sonning asosi hamda 2-katakchasida esa, 10 sonining darajasi yozilgan. 1946-yilda nuqta arifmetikasiga asoslangan tizim Bell Labaratories kompyuterlariga oʻrnatilgan.

Terminologiyasi

b² = b · b ifodasi „b kvadrat“ deya nomlanadi. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni bga teng boʻlgan kvadratning yuzi b²ga teng boʻladi.

b³ = b · b · b ifodasi „b kub“ deb nomlanadi. Bunday nomlanishiga sabab, tomoni bga teng boʻlgan kubning hajmi b³ga teng boʻladi.

Daraja koʻrsatkichi musbat son boʻlsa, koʻrsatkichning qiymati asosning oʻz-oʻziga necha marotaba koʻpaytirilganini bildiradi. Masalan, 3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 ifodasida asosi oʻz-oʻziga 5 marotaba koʻpaytirilgan, chunki darajaning koʻrsatkichi 5 ga teng. Bu ifodada, 243 soni 3 ning 5-darajasi hisoblanadi.

Ayrim hollarda ifodani oʻqishda darajasi soʻzi tushirilib qoldiriladi. Misol uchun, 3⁵ ifodasi qisqa qilib 3ning 5-si tarzida oʻqiladi.

Butun sonli darajalar

Daraja koʻrsatkichi butun boʻlgan sonlarni darajaga koʻtarish amalini elementar matematik bilimlar orqali amalga oshirish mumkin.

Musbat darajalar

Induksiya yordamida musbat darajali sonlarni darajaga koʻtarishni quyidagi tartibda amalga oshirish mumkin:

$b^{1}=b$

Rekursiya qilinganda esa: $b^{n+1}=b^{n}\cdot b.$

Koʻpaytirishning assotsiativligiga koʻra, m va n ixtiyoriy sonlar boʻlishi mumkin:

$b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},$

va

$(b^{m})^{n}=b^{mn}.$

Nol darajalar

Har qanday sonning 0 darajasi 1 ga teng.

$b^{0}=1.$

Manfiy darajalar

Daraja koʻrsatkichi manfiy boʻlgan ifoda quyidagicha aniqlanadi:

$b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}$

Bunda, n – ixtiyoriy son, b – noldan farq qiluvchi ixtiyoriy son.

Ayniyatlar

Quyidagi ayniyatlar „darajalar qonuniyatlari“ deb ataladi hamda barcha daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar uchun tegishli hisoblanadi:

${\begin{aligned}b^{m}\cdot b^{n}&=b^{m+n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\b^{n}\cdot c^{n}&=(b\cdot c)^{n}\end{aligned}}$

Qoʻshish va koʻpaytirish amallarida qoʻshiluvchilar yoki koʻpayuvchilarni oʻrnini almashtirsa ham natija oʻzgarmaydi. Biroq, daraja koʻrsatkichlari hamda asosning oʻrni almashtirilsa oʻzaro natijalar bir-biridan farq qiladi. Masalan, $2^{3}=8$, ammo oʻrin almashtirilsa, ifoda $3^{2}=9$ holatiga keladi.

Darajalar yigʻindisi

Odatda, darajalar yigʻindisi Nyuton binomidan foydalanilgan holda hisoblanadi:

$(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.$

Kombinatorik roʻyxat

Kombinatorik roʻyxatda n toʻplamdan m toʻplamgacha boʻlgan funksiyalarning soni keltirilgan. Bunda, n hamda m – manfiy boʻlmagan sonlar hisoblanadi. m va n ning alohida qiymatlari uchun baʼzi misollar quyidagi jadvalda keltirilgan:

nm	{1, …, n} toʻplamidagi nm qiymatlari
05 = 0	mavjud emas
14 = 1	(1, 1, 1, 1)
23 = 8	(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
32 = 9	(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
41 = 4	(1), (2), (3), (4)
50 = 1	()

Maxsus asoslar

10 ning darajalari

Oʻnlik sanoq sistemasidagi 10 ning butun darajalari 1 raqamidan keyin yoki oldidan 0 raqamlarining ifodalanishi 10 ning darajalari hisoblanadi. Misol uchun, 7003100000000000000♠10³ = 7003100000000000000♠1000, 6996100000000000000♠10⁻⁴ = 6996100000000000000♠0.0001.

Asosi 10 soni boʻlgan 10 ning darajalari fanda keng qoʻllaniladi. Masalan, 7008299792458000000♠299792458 m/s qiymati (vakuumdagi yorugʻlik tezligi) 7008299792458000000♠2.99792458×10⁸ m/s sifatida yozilishi ham mumkin. Taqriban esa, 7008299800000000000♠2.998×10⁸ m/s shaklida 10 ning darajasi hisobiga qisqartirib, qulay holatda qoʻllaniladi.

Xalqaro birliklar tizimi ham 10 ning darajalariga asoslangan. Misol uchun, kilo old qoʻshimchasi 7003100000000000000♠10³ = 7003100000000000000♠1000 maʼnosini bildiradi.

2 ning darajalari

$2^{-1}$ ifodasi yarim, $2^{-2}$ ifodasi esa chorak deb ataladi. Kompyuter sohasida 2 ning darajalarining roli muhim hisoblanadi. Baytlar 2 ning darajalaridan foydalanib ifodalanadi. Masalan, 2⁸ = 256. Ikkilik sanoq tizimida har qanday sonni 2 ning darajalari yigʻindisi sifatida ifodalash mumkin.

1 ning darajalari

1ning har qanday darajasi 1 ga teng:1ⁿ = 1.

−1 ning darajalari

Manfiy sonni boshqa bir manfiy songa koʻpaytirilsa, natija musbat son boʻladi:

$(-1)^{n}=\left\{{\begin{array}{rl}1&{\text{juft }}n,\\-1&{\text{toq }}n.\\\end{array}}\right.$

Darajali funksiyalar

Juft darajali funksiyalar n = 2, 4, 6

$f(x)=cx^{n}$ shaklidagi funksiyalar „darajali funksiyalar“ deb ataladi. Bunda $c\neq 0$ boʻlishi lozim. Darajali funksiyalar 2 turga boʻlinadi, toq darajali funksiyalar hamda juft darajali funksiyalar. Juft darajali funksiyalar ($f(-x)=-f(x)$) shaklida belgilash ham mumkin.

Oʻngacha boʻlgan musbat sonlarning daraja qiymatlari

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	7003218700000000000♠2187	7003656100000000000♠6561	7004196830000000000♠19683	7004590490000000000♠59049
4	16	64	256	7003102400000000000♠1024	7003409600000000000♠4096	7004163840000000000♠16384	7004655360000000000♠65536	7005262144000000000♠262144	7006104857600000000♠1048576
5	25	125	625	7003312500000000000♠3125	7004156250000000000♠15625	7004781250000000000♠78125	7005390625000000000♠390625	7006195312500000000♠1953125	7006976562500000000♠9765625
6	36	216	7003129600000000000♠1296	7003777600000000000♠7776	7004466560000000000♠46656	7005279936000000000♠279936	7006167961600000000♠1679616	7007100776960000000♠10077696	7007604661760000000♠60466176
7	49	343	7003240100000000000♠2401	7004168070000000000♠16807	7005117649000000000♠117649	7005823543000000000♠823543	7006576480100000000♠5764801	7007403536070000000♠40353607	7008282475249000000♠282475249
8	64	512	7003409600000000000♠4096	7004327680000000000♠32768	7005262144000000000♠262144	7006209715200000000♠2097152	7007167772160000000♠16777216	7008134217728000000♠134217728	7009107374182400000♠1073741824
9	81	729	7003656100000000000♠6561	7004590490000000000♠59049	7005531441000000000♠531441	7006478296900000000♠4782969	7007430467210000000♠43046721	7008387420489000000♠387420489	7009348678440100000♠3486784401
10	100	7003100000000000000♠1000	7004100000000000000♠10000	7005100000000000000♠100000	7006100000000000000♠1000000	7007100000000000000♠10000000	7008100000000000000♠100000000	7009100000000000000♠1000000000	7010100000000000000♠10000000000

Ratsional darajalar

Tepadan pastga: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸.

Agar x nomanfiy butun son boʻlsa, n musbat butun son boʻlsa, $x^{1/n}$ yoki ${\sqrt[{n}]{x}}$ haqiqiy ildiz hisoblanadi. yning qiymati esa musbat boʻladi.

Agar x musbat butun son boʻlsa, ${\frac {p}{q}}$ ratsional son hamda p va q > 0ga teng boʻlsa, ${\textstyle x^{p/q}}$ quyidagicha aniqlanadi:

$x^{\frac {p}{q}}=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}.$

Oʻng tomondagi $y=x^{\frac {1}{q}}$ tengligini quyidagicha yozish mumkin: $(x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.$

Agar r musbat ratsional son boʻlsa, unda 0^r = 0 boʻladi.

Boshqa tomondan, bu taʼriflarni musbat haqiqiy son boʻlmagan asoslar bilan bogʻliq muammolar mavjud. Masalan, manfiy haqiqiy sonning haqiqiy n-darajali ildizi, n toq boʻlganda manfiy boʻladi, n juft boʻlganda esa haqiqiy ildizi boʻlmaydi. Shuningdek, $x^{\frac {1}{n}},$ uchun har qanday n-ildiz tanlansa ham, $(x^{a})^{b}=x^{ab}$ ayniyatni qanoatlantirib boʻlmaydi:

$\left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.$

Haqiqiy darajalar

Musbat haqiqiy sonlar uchun haqiqiy darajalar koʻrsatkichni ikki usulda, ratsional hamda asos logarifmi hamda uning koʻrsatkichli funksiyasi orqali aniqlash mumkin. Funksiya natijasi doim musbat son boʻladi.

Manfiy haqiqiy sonning darajaga koʻtarish oson jarayon emas, chunki darajaga koʻtarilganda natija haqiqiy son boʻlmasligi yoki bir necha qiymatlarga ega boʻlishi mumkin. Biroq, quyidagi ayniyat qiymatni aniqlashga yordam beradi:

$\left(b^{r}\right)^{s}=b^{rs}$

Shu sababli, musbat haqiqiy son boʻlmagan asosni darajaga koʻtarishni koʻp qiymatli funksiya deb ham ataladi.

Ratsional darajalarning limitlari

Har qanday irratsional son ratsional sonlar ketma-ketligining limiti sifatida ifodalanishi mumkin. Quyidagi ayniyatda x ixtiyoriy haqiqiy daraja koʻrsatkichi, b esa, ixtiyoriy haqiqiy son:

$b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),$

Bunda, r ratsional son qiymatlariga teng hisoblanadi.

Masalan, agar x = π boʻlsa, π qiymati π = 3.14159... ratsional darajalarning monotonligi hamda chegaralangan intervallar orqali ifodalash mumkin: $b^{\pi }:$

$\left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots$

Bunda, intervallarning yuqori va quyi chegaralari bir xil limitga ega boʻlgan ikkita ketma-ketlikni hosil qiladi. Bu limit $b^{\pi }.$ bilan belgilanadi.

Koʻrsatkichli funksiya

Asosiy maqola: Koʻrsatkichli funksiya

Koʻrsatkichli funksiyani qisqacha qilib $x\mapsto e^{x},$ shaklida yozish mumkin. Bu yerda, $e\approx 2.718$ „Eyler soni“ hisoblanadi. $\exp(x),$ koʻrsatkichli funksiyaning $e=\exp(1)$ qiymati quyidagicha: $\exp(x)=e^{x}.$.

Koʻrsatkichli funksiyani aniqlashning koʻplab usullari mavjud boʻlib, ulardan biri shunday:

$\exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

Boshqa holatda, $\exp(0)=1,$, $\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)$ boʻlganida, bu usul ham oʻrinli hisoblanadi:

$\exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},$

Logarifm darajalar

e^xni koʻrsatkichli funksiya sifatida har qanday musbat haqiqiy b soni uchun b^xni logarifmik funksiyalar orqali ifodalash mumkin. Natural logarifm ln(x) , koʻrsatkichli funksiya e^xning teskari funksiyasi ekanligidan kelib chiqib, quyidagi tenglik oʻrinli hisoblanadi:

$b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}$

bunda, b > 0.

$b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}$

Musbat asosli murakkab darajalar

Agar b asos musbat haqiqiy son boʻlsa, z kompleks koʻrsatkichli daraja boʻlsa, daraja koʻrsatkichi koʻrsatkichli funksiya yordamida aniqlanadi.

$b^{z}=e^{(z\ln b)},$

Bunda, $\ln b$ natural logarifmni bildiradi.

Quyidagi tenglik ayniyatni qanoatlantiradi:

$b^{z+t}=b^{z}b^{t},$

Euler formulalariga koʻra tenglik oʻrinli hisoblanadi:

$e^{iy}=\cos y+i\sin y,$

Kompleks sonlarning butun boʻlmagan darajalari

Kompleks sonlarning n ildizlari

Har qanday nolga teng boʻlmagan kompleks son quyidagicha yozilishi mumkin:

$z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),$

Bunda, $\rho$ – zning mutlaq qiymati, $\theta$ esa argumentdir.

Ikki kompleks sonning koʻpaytmasi mutlaq qiymatlarni koʻpaytirish va argumentlarni qoʻshish orqali topiladi. Shuningdek, kompleks sonning n-ta ildizining mutlaq qiymati esa, argumentni n ga boʻlish orqali aniqlanadi:

$\left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.$

Birlikning ildizlari

1ning 3 ta 3-darajali ildizlari

Birliklarning n-darajali ildizlari deb, wⁿ = 1 boʻlgan n kompleks sonlarga aytiladi. Birliklarning n ta ildizlari matematikaning turli sohalarida qoʻllaniladi.

Birliklarning n ta ildizlari $\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}$ning n-darajalari hisoblanadi. Bunda, $1=\omega ^{0}=\omega ^{n},\omega =\omega ^{1},\omega ^{2},\omega ^{n-1}.$

Geometrik jihatdan, birlikning n-ta ildizlari kompleks tekislikdagi birlik doirasida joylashgan boʻlib, doiraning eng markazidagi koʻrsatkich 1 hisoblanadi.

Kompleks darajaga koʻtarish

Kompleks sonlarni darajaga koʻtarish bir qancha muammolarni keltirib chiqarishi mumkin. $z^{w}$ ifodasi uchun har qanday kompleks sonni oʻrniga qoʻyib ishlash mumkinligini inobatga olgan holda, biron-bir son qiymat oʻlaroq tanlanadi. Bunday holatda ifodani koʻp qiymatli funksiya orqali ishlash mumkin boʻladi.

Barcha holatlarda kompleks logarifm orqali kompleks darajaga koʻtarishni amalga oshirish mumkin:

$z^{w}=e^{w\log z},$

bu yerda, $\log z$ – kompleks logarifm hisoblanib, funksiyani qanoatlantirish uchun quyidagi tenglikdan foydalanish lozim:

$e^{\log z}=z$.

Asosiy qiymati

$z^{w}$ murakkab ifodasining qiymati quyidagicha aniqlanadi: $z^{w}=e^{w\log z},$ bunda, $\log z$ – logarifmning asosiy qiymati hisoblanadi.

Koʻp qiymatli funksiya

Asosiy maqola: Koʻp qiymatli funksiya

Koʻp qiymatli funksiyalar deganda, biror argumentga bir nechta turli qiymatlarni beradigan funksiyalar tushuniladi. Masalan, logarifm funksiyasi koʻp qiymatli, chunki uning argumenti manfiy yoki kompleks sonlar boʻlishi mumkin va har bir argument uchun logarifmning bir nechta qiymatlari mavjud boʻladi.

Agar $\log z$ koʻp qiymatli logarifmning bir qiymatini ifodalasa, boshqa qiymatlar $2ik\pi +\log z$ orqali topiladi. Bunda, k – har qanday butun son.

Hisoblash

$z^{w}$ning kanonik yoyilmasi $x+iy$ hisoblanadi. Bunda x hamda y haqiqiy sonlardir.

• zning logarifmi. Logarifmning asosiy qiymati quyidagicha boʻladi:

$\log z=\ln \rho +i\theta ,$ bunda, $\ln$ natural logarifmni bildiradi.

Irratsionallik va tranzendentallik

Gelfond–Schneider nazariyasiga koʻra, agar b musbat haqiqiy son hamda x ratsional son boʻlsa, unda b^x algebraik son boʻladi.

Agar x irratsional boʻlsa hamda b va x algebraik son boʻlsa, b^xning barcha qiymatlari tranzendental boʻladi.

Algebrada butun sonli darajalar

Algebraik toʻplam, unga tegishli assotsiativ operatsiya hamda koʻpaytiruvchi birliklarning tuzilmasi monoid deb ataladi. Bunday monoidda, xni darajaga koʻtarish quyidagicha amalga oshiriladi:

• $x^{0}=1,$
• $x^{n+1}=xx^{n}$, bunda n – manfiy boʻlmagan istalgan son.

Agar n manfiy butun son boʻlsa, $x^{n}$ ifodasi $\left(x^{-1}\right)^{-n}$ shaklida yoziladi.

Daraja koʻrsatkichi butun son boʻlgan ifodalar quyidagi qonuniyatlarga asoslanib ishlanadi:

${\begin{aligned}x^{0}&=1\\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}\quad {\text{agar }}xy=yx,{\text{kommutativ boʻlsa.}}\end{aligned}}$

Kvadrat matritsa deb, A sonining oʻziga necha marta koʻpaytirilishiga aytiladi. Shuningdek, $A^{0}$ esa matritsaning ayniyati hisoblanadi. Teskari matritsa esa, quyidagi tenglikka asoslanadi:$A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}$.

Takroriy darajalar

Natural sonlarni qayta-qayta darajaga koʻtarish giperoperatsiyalarning 4-darajasi yoxud tetratsiya deb nomlanadi. Ketma-ket darajaga koʻtarishni Akkerman funksiyasi orqali ifodalash mumkin. Misol uchun, 3 soni takroriy darajaga koʻtarilganda, 7012762559748498700♠7625597484987 (=3²⁷ = 3³³ = ³3) natijasini beradi.

Dasturlash tillarida

Darajaga koʻtarish amalini turli dasturlash tillari turlicha amalga oshiradi. Daraja koʻrsatkichini ifodalash eng keng tarqalgan belgi „caret“ (^) hisoblanadi. 1967-yilda Amerika standartiga oʻzgartirish kiritilgan. Bunda, (↑) belgisi oʻrnida (^) belgisidan foydalanishga oʻtilgan. Hozirgi kunda daraja belgisini quyidagicha belgilashlar mavjud:

• x ^ y: AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram (dasturlash tili), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX, TI-BASIC, Haskell, Lua hamda kompyuter algebrasi tizimlari.
• x ** y: Ada, Z shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, Object REXX, F Sharp, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Turing.
• x ↑ y: Algol, Commodore BASIC, TRS-80
• x ^^ y: Haskell, D.
• x⋆y: APL.

Yana qarang

• Muavr formulasi
• Koʻrsatkichli funksiya
• Arifmetik ildiz
• Koʻp qiymatli funksiya

Adabiyotlar

Ilmiy adabiyotlar

• ҚАЮМОВ Ш. ОЛИЙ МАТЕМАТИКА. ИСЛОМ КАРИМОВ НОМИДАГИ ТОШКЕНТ ДАВЛАТ ТЕХНИКА УНИВЕРСИТЕТИ: Toshkent, 2019 — 129-bet. 
• Б.И.Исломов, П.И.Шарипова. АЛГEБРА, МАТEМАТИКА. АЛГEБРА, МАТEМАТИКА: Toshkent, 2003 — 224-bet. 
• P. H. НАЗАРОВ, Б. Т. ТОШПУЛАТОВ, А. Д. ДУСУМБЕТОВ. АЛГЕБРА ВА СОНЛАР НАЗАРИЯСИ, АЛГEБРА, МАТEМАТИКА, 1993 — 320-bet. 
• Карим Муҳаммедов. Элементар математикадан қўлланма. СССР Олий ва махсус ўрта таълим министрлиги: Ўқитувчи нашриёти, 1976 — 416-bet. 
• A.U.Abduhamidov, H. A. Nasimov, U. M . Nosirov, H. Husanov. Algebra va matematik analiz asoslari. Akademik litseylar uchun darslik: "O'qituvchi" nashriyoti, 2007 — 400-bet. 
• N. M. JABBOROV, Е. О. ALIQULOV, Q. S. AXMEDOVA. Oliy matematika. Qarshi: Qarshi davlat universiteti, 2010 — 423-bet. 
• F.R.Usmonov, R.D.Isomov, B.O.Xo'jayev. Matematikadan qo'llanma. Yangi asr avlodi: 0‘zbekiston Respublikasi Oliy va o ‘rta maxsus ta’lim vazirligi, 2006 — 464-bet. 

Maqolalar

• Нуралиев Ф.М., Анарова Ш.А. Муҳаммад ал - Хоразмий асарлари, алгоритм тушунчаси ва алгоритмлаш назарияси асослари. — 2019.

Havolalar

• „Khan Academy“ platformasida mavzuga oid videodarslik